Physikalische Möglichkeiten und Grenzen

A.2. GELADENE TEILCHEN 107A.2 Geladene TeilchenA.2.1Berechnung der WichtungsfunktionHier soll zunächst die Wichtungsfunktion W(R) so bestimmt werden, daß die gewichteteÜberlagerung von Bragg-Peak Kurven D BP mit verschiedenen Reichweiten R einbis zum Punkt d = d b reichendes Plateau ergibt. Mathematisch kann dies beschriebenwerden durchH(d b − d) =∫ d bdW(R)D BP (d, R) dR.(A.15)Die R-Abhängigkeit von D BP wurde dabei explizit ausgeschrieben. H ist die Heaviside-Sprungfunktion. Einsetzen von D BP aus Gleichung 2.8 ergibtH(d b − d) =∫ d bd1W(R)dR.p α 1/p (R − d) (A.16)1−1/pUm W(R) zu bestimmen, wird nun das Integral als Faltungsintegral geschrieben undüber Laplacetransformation gelöst. Dazu wird zunächst folgende Substitution durchgeführt:u := d b − R, v := d b − d. (A.17)Dann gilt v − u = R − d, und es folgt:H(v) =∫ vwas als Faltungsintegral der Form01W(d b − u)du,p α 1/p (v − u) (A.18)1−1/pH(v) =∫v0F(u)G(v − u) du(A.19)erkannt wird. Dabei ist F(u) = W(d b − u) bzw. W(R) = F(d b − R), was späterbenutzt wird. Eine Anwendung der Laplacetransformation auf beide Seiten der obigenGleichung ergibt nach dem Faltungstheorem˜H(η) =˜F(η) ˜G(η).(A.20)Die Laplacetransformierte der Heaviside-Funktion ist ˜H(η) = 1/η (s. [37] Seite 1144).Ferner gilt ˜G(η) = Γ(1/p)/(p α 1/p η 1/p ) (s. [37] Seite 317). Damit ergibt sich˜F(η) =p α 1/pΓ(1/p)η 1−1/p.Die Rücktransformation liefert schließlich (vgl. [37] Seite 317):F(u) =p α 1/pΓ(1/p)Γ(1 − 1/p) u 1/p.(A.21)(A.22)