Physikalische Möglichkeiten und Grenzen

108 ANHANG A. HERLEITUNGEN ZUR DOSISBERECHNUNGWegen Γ(1/p)Γ(1 − 1/p) = π/ sin(π/p) [24] kann dies auch geschrieben werden alsW(R) = F(d b − R) = p ( ) α 1/pπ sin(π/p) . (A.23)d b − RSoll nun erreicht werden, daß das Plateau erst bei d = d a beginnt, so muß W(R) aufdas Intervall R ∈ [d a , d b ] beschränkt werden, und es folgt damit Gleichung 2.9.A.2.2Berechnung des SOBPAnalog zu Gleichung A.15 wird jetzt für die Superposition der Bragg-Peaks geschrieben:D SOBP (d) =∫ d bd aW(R) D BP (d, R) dR= 1 ∫d bπ sin(π/p)(A.24)1dR. (A.25)(d b − R) 1/p (R − d)1−1/pd aDie Grenzen des Integrals ergeben sich aus der Tatsache, daß W(R) gemäß Gleichung2.9 auf das Intervall [d a , d b ] beschränkt ist. Nach Substitution entsprechend GleichungA.17 ergibt sichD SOBP (d) =1 d b ∫−d aπ sin(π/p)= 1 d b ∫−d aπ sin(π/p)001duu 1/p (v − u) (A.26)1−1/p1u( ) u 1−1/pdu. (A.27)v − uDieses Integral kann nach folgender Substitution (s. [37] Seite 71) gelöst werden:bzw.( ) v − u 1−1/pt = , (A.28)uu =vt p/(p−1) + 1 ,(A.29)p v t 1/(p−1)du = −dt. (A.30)(p − 1)(t p/(p−1) + 1)2Einsetzen dieser Beziehungen in Gleichung A.26 liefert:mitD SOBP (d) = p sin(π/p)π(p − 1)ˆd =∫∞(da − dd b − d a) 1−1/p.ˆdt (2−p)/(p−1)t p/(p−1) + 1 dt(A.31)(A.32)