Physikalische Möglichkeiten und Grenzen

30 KAPITEL 2. THEORETISCHE ABSCHÄTZUNGENDasselbe Ergebnis (mit Beschränkung auf den Bereich x ′ > R i und ohne den Faktor1/2π) 6 wurde von Brahme [22] auf andere Weise hergeleitet. Es ist bemerkenswert,daß in der Literatur bezweifelt wurde, daß diese Lösung mit Hilfe der Theorie derRadontransformation gefunden werden könne [29].Nun kann man sich leicht davon überzeugen, daß P R (x ′ ) für praktisch relevanteWerte von µ und x ′ nicht negativ wird und daher prinzipiell physikalisch realisierbar ist.Probleme bereitet jedoch die Singularität bei x ′ = ±R i , die direkt mit der Singularitätvon P(x ′ ) gemäß Gleichung 2.23 bei x ′ = ±R 0 zusammenhängt.Da P(x ′ ) integrierbar ist, besteht eine naheliegende Möglichkeit zur Aufhebungder Singularität in der Integration von P(x ′ ) über schmale Intervalle der Breite 2w,zentriert um x ′ . Dies entspricht einer Mittelung über endlich große Volumenelemente,die in der Praxis ohnehin (u. a. durch die seitliche Streuung und die endliche Auflösungder Strahlformungssysteme) auftritt. Um eine einfache nicht-singuläre Näherung vonP(x ′ ) finden zu können, wird zunächst cos(µ . . .) durch 1 approximiert, was wegen derin der Praxis kleinen Werte von µ gerechtfertigt ist (bei geladenen Teilchen muß µ nachobigen Betrachtungen ohnehin gleich Null gesetzt werden). Die Integration über dasIntervall der Breite 2w liefert dann nach Anhang B.1.4 die Näherung⎧⎪⎨P(x ′ ) ≈⎪⎩D 02πD 02πD 02π(1 − 12w(1 − 12w√)(|x ′ | + w) 2 − R02für |x ′ | ≤ R 0 − wfür R 0 − w < |x ′ | < R 0 + w√(|x ′ | + w) 2 − R0 2 + 1 √)(|x2w′ | − w) 2 − R02sonst.(2.27)Diese Näherung des Strahlprofils ist mit w = 1 mm in Abbildung 2.10 als durchgezogeneLinie dargestellt.2.3.4 Beispiel 2: Dreieckige SolldosisverteilungDreieckige Zielvolumina treten in der Praxis kaum auf. Trotzdem ist es sinnvoll, diesesBeispiel hier kurz zu behandeln, weil beliebig geformte Zielvolumina aus Dreiecken zusammengesetztwerden können. Kennt man die Strahlprofile, die eine dreieckige Dosisverteilungergeben, so kann man die Strahlprofile für beliebige Dosisverteilungen durchÜberlagerung der entsprechenden Dreieck-Strahlprofile ermitteln. Das geht besonderseinfach, wenn, wie in der Praxis üblich, der Rand des Zielvolumens als Polygonzugvorgegeben ist (s. Abbildung 2.11).Die gewünschte Dosis sei D 0 innerhalb des Dreiecks und 0 außerhalb. Bei der Berechnungder Profile wird, ausgehend von den Untersuchungen im vorigen Abschnitt,6 Die Abweichung um den konstanten Faktor erklärt sich teils aus der Einschränkung des Definitionsbereichsder Profile in [22] und teils aus der Integration des Faktors 1/π in die dort verwendeteDefinition des Rückprojektionsoperators.