Physikalische Möglichkeiten und Grenzen

114 ANHANG B. BERECHNUNGEN VON STRAHLPROFILENFür |x ′ | ≥ R 0 + w gilt entsprechendP(x ′ ) ≈ D |x ′ |+w⎛⎞∫0|u|⎝1 − √ ⎠du4πw u|x ′ |−w2 − R02[√ ] |x ′u 2 − R02 |+w= D 02π − D 04πw= D 02π(1 − 12w|x ′ |−w√(|x ′ | + w) 2 − R 2 0 + 12w(B.34)(B.35)√)(|x ′ | − w) 2 − R02 . (B.36)B.2 Beispielfall eines dreieckigen ZielvolumensDas Projektionsprofil P ∗ (x ′′ , θ) wurde bereits in Abschnitt 2.3.4 bestimmt (Gleichung2.28). Es wird demnach gleich der zweite Schritt bei der Berechnung der Strahlprofiledurchgeführt – die Fouriertransformation. Die Fouriertransformierte von P ∗ (x ′′ , θ)berechnet sich gemäß⎛⎞˜P ∗ (ξ ′′ , θ) = 2D ∫L 1( ))0A ⎜⎝ 1 − x′′e −2πiξ′′ x ′′ dx ′′ + 1 + x′′e −2πiξ′′ x ′′ dx ′′ ⎟⎠.L 1 + L 2 L 1 L 2Die Ausführung der Integration liefert:˜P ∗ (ξ ′′ , θ) =0D 0 A2π 2 (L 1 + L 2 )( 1 − e−2πiL 1 ξ ′′∫0 (−L 2(B.37)L 1 ξ ′′2 + 1 − e2πiL 2ξ ′′L 2 ξ ′′2 ). (B.38)Multiplikation mit dem Filter ˜K µ für µ = 0 (s. Gleichung 2.20) ergibt dann(˜P(ξ ′′ D 0 A 1 − e−2πiL 1 ξ ′′, θ) =+ 1 − )e2πiL 2ξ ′′. (B.39)4π 2 (L 1 + L 2 ) L 1 |ξ ′′ | L 2 |ξ ′′ |Schließlich muß die inverse Fouriertransformation dieser Funktion berechnet werden.Dazu werden die beiden Summanden auf der rechten Seite getrennt behandelt. Dieinverse Fouriertransformierte des ersten Summanden ergibt sich zu:P 1 (x ′′ , θ) ===D 0 A4π 2 (L 1 + L 2 )∫∞D 0 A4π 2 L 1 (L 1 + L 2 )D 0 A2π 2 L 1 (L 1 + L 2 )1 − e −2πiL 1ξ ′′e 2πiξ′′ x ′′ dξ ′′L 1 |ξ ′′ |−∞⎛∫∞⎝−∞∫ ∞−−∞⎛∫ ∞⎝−0∫∞01|ξ ′′ | (1 − cos(2πL 1ξ ′′ )) cos(2πξ ′′ x ′′ ) dξ ′′⎞1|ξ ′′ | sin(2πL 1ξ ′′ ) sin(2πξ ′′ x ′′ ) dξ ′′ ⎠1ξ ′′(1 − cos(2πL 1ξ ′′ )) cos(2πξ ′′ x ′′ ) dξ ′′⎞1ξ sin(2πL 1ξ ′′ ) sin(2πξ ′′ x ′′ ) dξ ′′ ′′(B.40)(B.41)⎠. (B.42)