Ausgleichs- und Interpolationsrechnung

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte Mathematik3-11Ausgleichs- und InterpolationsrechnungGrundsätzlich ist polynomiale Ausgleichsfunktion als normale Polynomfunktion vom Grad n definiert:nÂy( x)= a x = a + a x+ a x + ⋯ + a xi=0ii0 1 22nn(3.19)Diese Definition beinhaltet auch die lineare Regressionsfunktion wenn n=1 gesetzt wird.Die Bestimmung der Koeffizienten a 0,...,a nerfolgt in bekannter Weise durch Minimieren der Fehlerquadratsumme.Für eine Polynomfunktion vom Grad n lautet die Fehlerquadratsumme:m nin   i kk=1 i=0qa ( , a, …, a)= ax - y0 1FHGkIKJ2m:Anzahl Datenpunkten:Grad des AusgleichspolynomsDie Koeffizienten a ifür eine minimale Fehlerquadratsumme werden über Nullsetzen der partiellenAbleitungen ∂ q∂a ifür i=0,..,n bestimmt.∂q∂aimÂikn= 2 x a x - y 0k=1FHGÂi=0iikkI=KJ(3.20)(3.21)Wir erhalten dann durch Auflösen der i-Summen die Normalgleichungen:ii 1i ji ni k 0  + k 1 Â+ k j Â+k n  k k0kkkkkxa + x a + + x a + + x a = xy i: ,..., n(3.22)Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit n+1 Bestimmungsgleichungen und n+1 Unbekannten. DieUnbekannten stellen hier die Koeffizienten a 0,...,a ndar.i+jDie Koeffizientenmatrix G hat die Elemente: gij=  xki, j: 0,...,nDie Elemente des Konstantenvektor c (rechte Seite des Systems): c =  x y i: 0,...,nSomit lautet das zu lösende Gleichungssystem:G◊ a=cikkik k(3.23)(3.24)(3.25)Dieses System wird mit den bekannten Verfahren gelöst und wir erhalten als Resultat die gesuchtenPolynomkoeffizienten.Auf den Entwurf einer programmierten Lösung wird hier verzichtet. Die Implementierung ist aber an sichproblemlos. Nach dem Aufbauen der Koeffizientenmatrix wird das System mit einem geeigneten Verfahren(z.B. Gauss-Jordan) gelöst.Stattdessen wollen wir ein Beispiel mit EXCEL durchrechnen. Sicherlich ist die Tabellenkalkulation füreine direkte Rechnung nicht die erste Wahl. Sie erlaubt aber alle berechneten Werte sauber darzustellenund die Werte grafisch zu präsentieren.Im Rahmen einer Übung zeigen wir, wie man eine allgemeine EXCEL-Funktion für polynomialenAusgleich in Visual BASIC definieren kann. Diese Lösung wird aus einer Lösung in der Sprache Cabgeleitet.Ausgabe: 1996/98, G. Krucker