Ausgleichs- und Interpolationsrechnung

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte Mathematik3-2Ausgleichs- und Interpolationsrechnung3.2 Prinzip der AusgleichsrechnungDie Ausgleichsrechnung bestimmt die Parameter einer Funktion, die eine Menge von gegebenenDatenpunkten optimal annähert.Prinzipiell kann die ausgleichende Funktion eine beliebige stetige Funktion sein. In der Regelbeschränkt man sich aber auf lineare Funktionen oder Polynomfunktionen niederen Grades, da diesemit wenig Aufwand zu entwickeln sind. Weniger häufig werden trigonometrische oderExponentialfunktionen verwendet. Auch Kombinationen sind möglich.Grundsätzlich wird bei der Ausgleichsrechnung mit einer einfachen Funktion eine grössere Menge anDatenpunkten näherungsweise beschrieben. Deshalb sind im Regelfall mit Ausgleichsfunktionen keineexakte Darstellung möglich.Die Güte der Näherung wird Korrelation genannt und besagt wie gut die Ausgleichsfunktion dieDatenwerte approximiert. Ein Mass für die Güte der Anpassung wird durch die Summe der2 2 2Fehlerquadrate d 1 + d2+ + d n definiert. Ist sie klein ist die Anpassung gut, ist sie gross, ist dieAnpassung schlecht.Für einen linearen Ausgleich wird die Güte in der Regel mit dem Korrelationskoeffizient r xybeschrieben.Grundsätzlich wird aber bei allen Ausgleichsverfahren die beste Näherung als diejenige bestimmt, diedie kleinste Fehlerquadratsumme q liefert:YAusgleichsfunktion f(x)(x 3 ,y 3 )(x 5 ,y 5 )(x 6 ,y 6 )(x 7 ,y 7 )(x 1 ,y 1 )f(x 2 )(x 2 ,y 2 )(x 4 ,y 4 )nq= Â f( xi)- yii=1b g 2yi: Gegebene Datenwertef( x ): Näherungswerte der AusgleichsfunktioniBemerkung: Für Sonderanwendungen sind auch andere Kriterien möglich. Vgl. hierzu KapitelAusgleich mit relativer minimaler Fehlerquadratsumme.Präzise kann also eine Ausgleichsaufgabe so formuliert werden:.Zu einer gegebenen Menge von n Datenpunkten (x i, y i) ist aus einer vorgegebenen Klasse vonFunktionen, diejenige zu bestimmen, deren Fehlerquadratsumme minimal ist. Funktionen , welchediese Bedingung erfüllen, heissen Regressionsfunktionen.Für eine lineare Ausgleichsfunktion wird daher die folgende Fehlerquadratsumme minimiert:XFehlerquadratsumme(3.1)q= q a b = ax + b-ynÂ( , ) b g 2i=1ii(3.2)Die Fehlerquadratsumme q ist hierbei von den beiden Parametern a, und b abhängig. Ziel derAusgleichsrechnung ist das Bestimmen der Parameter a und b so, dass die Fehlerquadratsummeminimal wird.Ausgabe: 1996/98, G. Krucker