Ausgleichs- und Interpolationsrechnung

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte Mathematik3-35Ausgleichs- und Interpolationsrechnung3.3.5.2.1 Konstruktion quadratischer SplinesEs existieren zahlreiche Verfahren zur Berechnung von quadratischen Spline-Funktionen.Eine einfache Methode zur Berechnung der einzelnen quadratischen Teilfunktionen ist wie folgt:zi+1 - ziQi( x)=2 xi+1 - xiz = frei wählbarz0i+1=- z + 2ib g b g b gFHGyix+ 1i+1--x- x + z x- x + yyixiIKJ2i i i i(3.50)(3.51)Die z iverkörpern hierbei die Steigungen in den einzelnen Knoten. Die Anfangssteigung ist freiwählbar. Daher ist die Darstellung dieser quadratischen Spline-Interpolation nicht eindeutig. Jenachdem was für eine Anfangssteigung gewählt wurde erhält man einen anderen Satz anTeilfunktionen.Beispiel:Folgende Datenpunkte sollen mit einer quadratischen Spline-Interpolation beschrieben werden:x i0 2 3 4y i1 4 5 5i 0 1 2 3Lösung: z 0wird frei gewählt mit dem Wert z 0=0. Damit werden die einzelnen Steigungen:⎛ y − y ⎞ ⎛ 4−1⎞z1 =− z0+ ⎜ ⎟=− + ⎜ ⎟=⎝ x1 −x0⎠ ⎝2−0⎠1 02 0 2 3⎛ y −y⎞ ⎛5−4⎞z2 =− z1+ ⎜ ⎟=− + ⎜ ⎟=−⎝ x2 −x1⎠ ⎝3−2⎠2 12 3 2 1⎛ y − y ⎞ ⎛5−5⎞z3 =− z2+ ⎜ ⎟= + ⎜ ⎟=⎝ x3 −x2⎠ ⎝4−3⎠3 22 1 2 1Die Teilpolynome werden demnach:z1 - z023-02 3 2Q0( x) = x- x0+ z0 x- x0 + y0= ( x- 0)+ 0 x- 0 + 1= x + 12 x - x22-04b 1 0g g b g b g b gb 2 1g g b g b g b gz2 - z121 32 2Q1( x) = x- x1+ z1 x- x1 + y1= - - ( x- 2)+ 3 x- 2 + 4= - 2x + 11x-102 x - x23-2z3 - z22Q2( x)= x- x2+ z2 x- x2+ y2bx3 - x2g b g b g 5 12 22 = - - ( - ) ( x- 3 ) +-1 x- 3 + 5= x - 7x+1724-3b g b gDie graphische Darstellung der drei Polynomfunktionen zeigt, wie sich die Einzelfunktionen in denKnoten knickfrei anschmiegen:Ausgabe: 1996/98, G. Krucker