Ausgleichs- und Interpolationsrechnung

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte Mathematik3-23Ausgleichs- und InterpolationsrechnungD( ab , ) =axi+ b-yiy2∂D( ab , ) xi axi + b-yiX X X= 2 = 2 a + b -Âai yiY Y YKJ == 022 2∂∂D( ab , ) axi+ b - yiX 1 1= 2 = 2 a + b -2 2 2 Â∂byY Y YaaXYXY2ÂiFHGi+ bX X=Y Y+ b1 1=Y Y 2  2  2  2 ÂbbiiIKJ2ggFIHGFIHG K J ==0(3.33)(3.34)(3.35)Die Lösung für a, b werden unter Verwendung der Cramerschen Regel:a =b =X 1 1 X-2Y Y Y YX F 22X-Y Y H G 21 I2  2  2Y K J   ÂÂXYXY1-Y1YXYXÂY 2  2ÂÂ22Â- F H G I K J2 2 2XY2(3.36)(3.37)Dieser Ansatz wird nun mit der normalen linearen Regression nach der Methode der kleinstenFehlerquadrate verglichen. Wir entwickeln die Lösungen mit EXCEL. Dies hat insofern den Vorteil,dass mit Hilfe des Solvers der optimale Exponent k bestimmt werden kann.Wir erhalten die Lösungen:1.2474f1( x) = 0. 35033 + 026305x( kleinste Fehlerquadratsumme)1.2092f ( x) = 0. 32578 + 0. 28873x( kleinste relative Fehlerquadratsumme)2Ein grafischer Vergleich zeigt, dass die nach der relativen Methode entwickelte Kurve besser bei denkleinen x-Werten annähert. Bezüglich absolutem Fehler ist sie aber etwas schlechter.Regressionsfunktion nach der Methode der kleinstenrelativen Fehlerquadratsumme f 2(x), verglichen mit derMethode der kleinsten absoluten Fehlerquadratsumme f 1(x).Wir erkennen bei logarithmischen Darstellung eine bessereNäherung bezüglich der relativen Fehler in jedem Punkt.Ausgabe: 1996/98, G. Krucker