Ausgleichs- und Interpolationsrechnung

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte MathematikFHGÂ ÂÂ Â ÂÂ Â Ân X XX X XX X X22 32 3 4IFKJHGAAA012I FKJ = HGÂÂÂYXY2XYIKJ3-21Ausgleichs- und InterpolationsrechnungDie Regressionsfunktionen, welche sich über eine quadratische Substitution lösen lassen sindnachfolgend tabelliert:Typ Funktion SubstitutionenY= X= A 0= A 1= A 2=8 yx a ax k k( )= + + ax0 1 22 y x k a 0a 1a 2k ≥ 1Bedingungen91yx ( )=a + a x k + a x0 1 22k1yx k a 0a 1a 2y ≠ 0k ≥ 1k 210 x xyx ( )= a 0 a 1 a 211yx ae a x -( )=a0k21 2ln(y) x k ln(a 0) ln(a 1) ln(a 2) y > 0k ≥ 1a2+ a a -2a 1a 2a 1y > 0b g ln(y) x ln( )0 1 2Ebenso lassen sich Substitutionen für vier Regressionskoeffizienten bestimmen, die dann in eineallgemeine Form mit vier Parameter gebracht wird.3.2.8.3 Beispiele für Regressionen mit zwei RegressionskoeffizientenFür folgende Messreihe soll eine Ausgleichsfunktion nach allen Verfahren aus Tabelle 1 bestimmtwerden. k ist dem Wert 1.5 zu wählen:Wir verwenden dazu das Programm NichtlineareRegression.EXE. Es bestimmt in der Konsolenversiondie Regressionskoeffizienten für Regressionen mit zwei Regressionskoeffizienten. Mit der Win32-können auch Regressionen mit drei Regressionskoeffizienten durchgeführt werden. Aus Platzgründenwerden hier die Listings nicht aufgeführt.x 1 2 4 8 12 14 18 22y 1.7 1.8 1.9 2.5 3.1 3.5 4.4 5.2Resultate:15 .1: 1. 678027 + 0. 034666x+ x r = 0.9992:115 .0. 539379 - 0.003952xrxy=-0.9543: 1. 065247 + 1. 020555◊ ln( x) rxy= 0.8794: 1rxy=-0.9650.642606 - 0.133833◊ln(x)5:0.9691690. 153601x+ 1. 5 r = 0.98215 . x6: 1. 594536 ◊ 1. 03776 r = 0.9980.011224 15 .x7: 1. 807221er = 0.986Achtung:r xymacht keine Aussage zur Korrelation der nichtlinearen Regressionsfunktion!Besser ist hier die Aussage bezüglich der Fehlerquadratsumme.xyxyxyxyGrafische Darstellung der einzelnenRegressionsfunktionen765432135 10 15 20261754Ausgabe: 1996/98, G. Krucker