Ausgleichs- und Interpolationsrechnung

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte Mathematik3-9Ausgleichs- und Interpolationsrechnung3.2.3 Exponentieller AusgleichErreichen wir mit einem linearen Ausgleichsverfahren nur einen schlechten Korrelationskoeffizientenr xy, so heisst dies nicht, dass die Datenwerte mit einer nichtlinearen Ausgleichsfunktion gut korrelieren.Wenn schon zum vornherein ein nichtlinearer funktioneller Zusammenhang feststeht, ist eine lineareRegression unzweckmässig. Ein Beispiel dafür wäre die Messung von 10 Stromwerten im Bereich[0,0.8]V durch eine Diode in Vorwärtsrichtung.Der wichtigste Vertreter der nichtlinearen Ausgleichsfunktion ist die exponentielle Ausgleichsfunktiony=be axExponentielleAusgleichsfunktionDie Bestimmung der Parameter a und b erfolgt durch einelogarithmische Transformation. Unter der Voraussetzung, dass alle y i> 0 gilt:(3.15)axY = ln y= lnbe = a◊ x+ lnb= A◊ X + BB= lnb Æ b=eA=aX = xB(3.16)womit wir die Aufgabe in eine lineare Ausgleichsrechnung übergeführt haben: Die exponentielleAusgleichskurve im (x,y)-System wurde in eine lineare Ausgleichskurve im (x, ln y)-Systemtransformiert.Nach der Transformation der y-Werte können wir das lineare System mit den bekannten Formeln(3.12, 3.13) problemlos lösen. Die erhaltenen Koeffizienten werden nachher zurück transformiert undwir erhalten die gesuchte exponentielle Ausgleichsfunktion.Beispiel:Die nachfolgenden 4 Datenpunkte (x i,y i) sind durch eine exponentielle Ausgleichskurveaxy = be ioptimal anzunähern:ix 0 2 3 4y 1 4 27 50Ausgabe: 1996/98, G. Krucker