Ausgleichs- und Interpolationsrechnung

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte Mathematik3-37Ausgleichs- und Interpolationsrechnung3.3.5.4 Natürliche kubische SplinesWir gehen von einer Menge (n+1) verschiedener Datenpunkten (x k, y k), k=0..n aus und verlangen, dassdiese Punkte nach aufsteigenden x-Werten sortiert sind:x 0< x 1< x 2< ... < x nAuf jedem Teilintervall [x k,x k+1] für k=0,..,n-1 definieren wir ein Polynom 3. Grades durch2 3k k k k k k k kp ( x): = d + c ( x- x ) + b ( x- x ) + a ( x-x)(3.52)Die Interpolation im gesamten Bereich wird dann durch n Spline-Polynome beschrieben:Für jeden inneren Punkt x k, k=1,..,n-1 verlangen wir, dass die Anschlussbedingung für dienachfolgende Kurve erfüllt ist, d.h. die nachfolgende Polynomfunktion muss 'glatt' auf dieVorgängerfunktion folgen.Wir haben einen glatten Übergang, wenn folgende Bedingungen in den inneren Punkten erfüllt sind:Funktionswerte stimmen überein: pk( xk) = pk+1 ( xk)(Stetigkeit)Tangentensteigungen stimmen überein:''pk( xk) = pk+1 ( xk)(Knickfrei)Krümmungen stimmen überein:''''p ( x ) = p +1 ( x ) (Biegungsfrei)k k k kAusserdem sollen die Interpolationsbedingungen erfüllt sein:yk = pk( xk)(3.53)(3.54)(3.55)(3.56)Für die sog. natürliche Spline-Interpolation wird festgelegt, dass die Krümmung in den Anfangs- undEndpunkten 0 betragen soll:''''0 0 n-1 n 0p ( x ) = p ( x ) =(3.57)Ausgabe: 1996/98, G. Krucker