Ausgleichs- und Interpolationsrechnung

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte Mathematik3-5Ausgleichs- und InterpolationsrechnungÂÂn XY - X Y 4a == ◊ 18 - 12 ◊ 5= 03 .22 2nÂX -cÂXh4◊46-122cÂYhdÂX i-cÂXhcÂXYh546b == ◊ - 1218 ◊ = 035 .22 2n X - X4◊46-12Âc hc hfi yx ( ) = 03 . x+035 .cÂÂhBemerkung:Die lineare Ausgleichsfunktion kann auch über die Standardabweichung s xund Kovarianz c xybestimmtwerden. Diese Methode wird im Kapitel Statistik kurz vorgestellt.Wir kennen nun die lineare Ausgleichsfunktion für die gegebenen Datenpunkte. Jedoch können wirkeine Aussage machen wie ‘gut’ die Gerade ausgleicht, d.h. die Gerade die Datenpunkte beschreibt.3.2.2.1 KorrelationskoeffizientDer (lineare) Korrelationskoeffizient r xydient zur Beurteilung des linearen Zusammenhanges von nPaaren (x i, y i). Der Korrelationskoeffizient liegt immer in [-1,1] und ist wie folgt zu interpretieren:Ist r xy=0 so sind die Werte unkorreliert, d.h. zwischen x iund y ibesteht keine lineare Beziehung. Isthingegen r xynahe bei 1 so sprechen wir von starker Korrelation. Bei r xy= 1 liegen alle Punkte auf derRegressionsgeraden.Wir definieren den Korrelationskoeffizienten:ÂcÂhcÂhn XY X Yrxy = -F 22Hn X - X IKF 2Â Â HnÂY - ÂY2c h c hIKEine Herleitung für r xywird im Kapitel Statistik ausführlich gezeigt.Korrelationskoeffizient(3.14)Beispiel:Bestimmung des linearen Korrelationskoeffizienten r xyfür die vorherige lineare Regressionsaufgabef ( x) = 03 . x + 035: .x 2 4 5 1y 2 1 2 0ÂrxyY=2= 4+ 1+ 4+ 0=9FHÂcÂhcÂhIFn XY - X Y2 2 2c h c h d4◊46-12id4◊9-5i222nÂX - ÂX KHnÂY - ÂY4 18 12 5IK = ◊ - ◊= 0. 57207...Wir interpretieren diese Zahl als mässige bis schlechte Korrelation. Gute Korrelationskoeffizientenliegen bei nahe bei 1 .Ausgabe: 1996/98, G. Krucker