Ausgleichs- und Interpolationsrechnung

Hochschule für Technik und Architektur BernInformatik und angewandte Mathematik3-39Ausgleichs- und InterpolationsrechnungS'' zi+ 1 zii ( x) = ( x- yi) + (h h y i+ 1 - x ) h i = x i+1 - x i ( 0£ i £ n -1)ii(3.59)Wir integrieren S'' i ( x ) zweimal und erhalten so die Gleichung für das natürliche kubische Spline-Polynom S i(x) bei gegebenen Krümmungen an den Anfangs- und Endpunkten:i+1S xzh x y 3 ziiih y x 3( ) = ( - ) + ( i+1 - ) + cx + d ( 0£ i £ n -1)6 6iiDie Grössen c und d sind Integrationskonstanten. Ihre Werte können unter Zuhilfenahme derInterpolationsbedingung Si( xi)= yiund Si( xi+ 1)= yi+1bestimmt werden und wir erhalten:FHGIb g F IHG b gi+1S xzh x y 3 i zh y x 3 yi+ 1 hiy hiiz x yi i( ) = ( - ) + ( i+1 - ) + - i+1 - i + - z i y i - x ( 0£ i £ n -1)6 i 6 ihi6 KJhi6 KJ(3.60)(3.61)Sind die Krümmungen z 0,..z nbekannt, können mit dieser Gleichung die kubischen SplinesS0( x),.., Sn- 1( x)bestimmt werden.Die Krümmungen werden auch dadurch bestimmt, dass die Tangentensteigung im Anschlusspunkt''übereinstimmen muss, d.h. Si( xi) = Si -1 ( xi)für 1 ≤ i ≤ n-1, also für alle inneren Knoten der Spline-Interpolation (Knickfreiheit im Übergang).Wir leiten (3.61) ab und erhalten:S ' i+1xzh x y 2 i zh y x 2 yi+ 1 hiy hiiizi i( ) = ( - ) + ( + 1 - ) + - i+1 - + z i2 2 h 6 h 6iiii(3.62)Die Auswertung der Steigung bei x iergibt:S ' i+1xzh x y 2 i zh y x 2 yi+ 1 hiy hi ii ii izi i( ) = ( - ) + ( + 1 - ) + - i+1 - + z i2 2 h 6 h 6Ebenso wird SSihih zi=- i+ 1 - z i +h y i+1 - y i6 3'i-1( x ):iii1b ghihx zi 1( i) =- i - z i + byi-yi-1g6 6 h'i-1 -1i-1Wir setzen beide Steigungen gleich und erhalten das Gleichungssystem für die Krümmungen:ii6h z h h z hzh y y 6h y y 1£ i£ n-1i-1 i-1 + 2b i- 1 - ig i + i i+ 1 = b i+ 1 - ig- b i - i-1g n:Anzahl Datenpunkte - 1iiFHGIKJ(3.63)(3.64)(3.65)Dieses tridiagonale Gleichungssystem ist immer und leicht lösbar. Zusammengefasst lassen sich diegesuchten Teilfunktionen für die natürliche kubische Spline-Interpolation bestimmen, wobei wir dieKrümmungen aus dem vorherigen Ansatz nun mit y 0'',..,y n'' beschreiben:1. Vorgaben für Anfangskrümmung: y0 : = 0, yn: = 0 n:Anzahl Datenpunkte - 1''''Ausgabe: 1996/98, G. Krucker