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[für c 1 = sup h∈(0,1] Var f(Ŝ(i) T/h]. ) Außerdem istE[Y − Ŷ ] ≈ c 2h,aufgrund der schwachen Konvergenz des Euler-Verfahrens (vgl. Definition 2.3).Ziel soll generell sein, einen MSE der Größenordnung O(ɛ 2 ) zu erhalten, damit der erwarteteFehler E[|Ŷ − Y |] von der Größenordnung O(ɛ) ist. Dafür muss in Gleichung(2.7) gelten, dass N = O(ɛ −2 ) und h = O(ɛ) ist, da die Rechenkosten C proportionalzu N/h sind (weil N mal simuliert wird und für einen simulierten Pfad 1/h Iterationennotwendig sind). Damit folgt also C = O(ɛ −3 ).7
Kapitel 3Multilevel Monte Carlo MethodeAufbauend auf dem Abschnitt über die Monte Carlo Methode soll in diesem Kapitelgezeigt werden, dass die Multilevel Monte Carlo Methode den Rechenaufwand C imFalle eines Lipschitzpayoffs unter Benutzung des Euler-Verfahrens bei einem erwartetenFehler der Größe O(ɛ) auf C = O(ɛ −2 (log ɛ) 2 ) senken kann (dieses und das folgende Kapitelbeziehen sich auf [6]). Der Name Multilevel“ Monte Carlo kommt daher, dass die”Pfade der Aktienkurse mit unterschiedlichen Schrittweiten simuliert werden. Im Komplexitätstheoremwird das Ergebnis dann verallgemeinert, indem der Rechenaufwandvon der starken und schwachen Konvergenzordnung des numerischen Approximationsverfahrenabhängig gemacht wird. Der letzte Abschnitt beschäftigt sich daraufhin mitmöglichen Verbesserungen des Algorithmus.3.1 VorbereitungenFür die MLMC Methode werden nun Pfadsimulationen mit unterschiedlichen Schrittweitenh l = M −l T und l = 0, 1, ..., L betrachtet (vgl. Kapitel 3.3.1 zur Bestimmung desoptimalen Wertes für M). Für einen gegebenen Brownschen Pfad W (t) sei P = f(S(T ))der Payoff einer Option zu diesem Pfad. Weiter seien Ŝl,M und ̂P die Approximationlvon S(T ) und P , die man durch das numerische Diskretisierungsverfahren (in dieserArbeit immer das Euler-Verfahren) mit Schrittweite h l erhält.Der Trick der MLMC Methode besteht darin, den erwarteten Payoff der Approximationauf dem feinsten Diskretisierungslevel mittels einer Teleskopsumme wie folgt umzu-8
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Seite 3 und 4: 5.1.1 Voraussetzungen . . . . . . .
Seite 5 und 6: DanksagungSehr bedanken möchte ich
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Seite 41 und 42: für ein ɛ ∈ (0, 1], da die Chi-
Seite 43 und 44: [∣∣∣χ[K,∞)Ungleichung (5.7
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Seite 49 und 50: wobei der letzte Schritt wegen 3 |
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Seite 57 und 58: typischerweise die pfadweise Ableit
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wobei Z n ∼ N(0, 1) für alle n
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für alle f ∈ {a, b} und einer vo
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wobei in (*) für den ersten Summan
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Hilfe von Satz 5.9 und Bemerkung 5.
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L(ɛ)∑ 1 1.l=0= 1 2 ɛ2 M − L(
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Gesamtschätzers 1 beträgt. Es gil
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Abbildung 7.1: Ergebnisse Digitale
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Abbildung 7.3: Ergebnisse Delta mit
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Anhang AProgrammierung mit VBA in E
Seite 81 und 82:
ReDim Differenz(1 + LL, maxanzahl)R
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'optimales Nl für alle l für MLMC
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S1(i + 1, 1) = S1(i, 1) + S1(i, 1)
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summe = 0For i = 0 To zahlensumme =
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PayoffDelta2 = SS(T / hh + 1, 2) *
Seite 93 und 94:
ElseIf op = 7 ThenIf laeng > 0 Then
Seite 95:
[10] Hull, John C.: Options, Future
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