Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

= A( h 1M ) + K 1(h1M) p+ O ( )h p+11 .Wird II mit M p multipliziert und I davon abgezogen, erhält man(M p − 1) A = M p A( h ( ) p1M ) + M p h1K 1 − A(h 1 ) − K 1 h p 1 + O(h p+11 )MDurch die Setzung⇒ A = M p A( h 1) − A(h M 1)+ O(h p+1M p 1 ).− 1B(h 1 ) = M p A( h 1M ) − A(h 1)M p − 1ist B(h 1 ) eine Näherung für A der Ordnung p + 1, daA = B(h 1 ) + O(h p+11 ).Auf die MLMC Methode bezogen würde dies bedeuten, dass der einfache SchätzerŶ l = E[ ̂P l − ̂P l−1 ], der einen Fehler der Größenordnung O(h l ) (also p = 1) besitzt, auffolgende Weise verbessert werden kannfür l = 0, 1, .., L und Ŷ−1 = 0.Y l = MŶl − Ŷl−1 ,M − 1Der Fehler von Y l ist somit nur noch von der Größe O(h 2 l ).Indem der gemeinsame Schätzer Ŷ = ∑ Ll=0 Ŷl durch den folgenden Ausdruck ersetztwird(∑ L) { (Ŷ l + (M − 1) −1 MŶ L =1 − 1 ) ( L) }∑Ŷ l + M −1 Ŷ LM − 1 Ml=0l=0{( ) [(ML∑=Ŷ 0 + Ŷ l − 1 L) ]}∑Ŷ l −M − 1MŶL==MM − 1MM − 1l=1l=0{ ( L) (∑Ŷ 0 + Ŷ l − 1 L)}∑Ŷ l−1Ml=1l=1{L∑) }Ŷ 0 +(Ŷl − M −1 Ŷ l−1l=124