Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

Wendet man das Theorem bezüglich anderer Aufgabenstellungen an, so dürfte es wenigerdie Schwierigkeit sein den richtigen Parameter α für Bedingung i) zu finden.Ähnliches gilt für die Bedingung ii) und iv). Problematischer ist es jedoch den richtigenExponenten β herzuleiten oder bessere Schätzer für größere Betas zu finden.3.3 Erweiterungen3.3.1 Optimales MEine wichtige Frage für die MLMC Methode ist die Wahl des Paramaters M. Im Folgendensoll gezeigt werden, dass für das Euler-Verfahren unter Gültigkeit der Lipschitzschranke(2.6) für die Payofffunktion, M = 4 gute Ergebnisse bringt.Aus Kapitel 3.1 ist bekannt, dass in diesem Fall asymptotisch die Beziehung Var[ ̂P l −P ] ≈ c 0 h l für eine positive Konstante c 0 gilt. Damit erhält man für den Korrelationskoeffizientenρ ∈ [−1, 1]Var[ ̂P l − ̂P)l−1 ] = Var[(̂Pl − P= Var[ ̂P l − P ] − 2ρ≈h l =h l−1 M −1( )− ̂Pl−1 − P ]√c 0 h l + c 0 h l−1 − 2ρ √ c 0 h l√c0 h l−1= c 0 h l + c 0 h l M − 2ρ √ √c 0 h l c0 h l M= c 0 h l(1 − 2ρ √ )M + M .Var[ ̂P l − P ]Var[ ̂P l−1 − P ] + Var[ ̂P l−1 − P ]Durch Einsetzen des größten und kleinsten Wertes für ρ, also ρ = 1 bzw. ρ = −1, erhältman mit der binomischen Formel die Ungleichung(√ ) 2M − 1 c0 h l ≤ Var[ ̂P l − ̂P(√ ) 2l−1 ] ≤ M + 1 c0 h l . (3.23)Die obere Schranke entspricht also der Varianz des Samples bei perfekter positiverKorrelation und die untere Schranke der Varianz des Samples bei perfekter negativerKorrelation der beiden Schätzer.Angenommen, der Wert für Var[ ̂P l − ̂P l−1 ] ist durch das arithmetische Mittel der beidenSchranken aus (3.23) gegeben, dann ergibt sich nach Ausmultiplizieren der quadrierten20