Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

ErgebnisL∑l=0h −1l< M ( ) 2−1/α ɛ√ < M 2 (√ ) 1/α2c1 ɛ −2 . (3.16)M − 1 2c1 M − 1Es folgt nun eine Fallunterscheidung für die möglichen Werte von β.a) Falls β = 1 setzt manN l = ⌈ 2ɛ −2 (L + 1)c 2 h l⌉,so dassVar[Ŷ ] =L∑l=0Var[Ŷl] iii)≤L∑l=0c 2 N −1lh l ≤L∑l=0c 2 h l(2ɛ −2 (L + 1)c 2 h l) −1≤12 ɛ2und somit genügt die Varianz des Schätzers der oberen Schranke 1 2 ɛ2 , so dass mit derSchranke für den Bias MSE < ɛ 2 gilt.Um den Rechenaufwand zu begrenzen, schätzt man zuerst L nach oben abL (3.12)≤so dass mit 1 < log ɛ −1 für ɛ < e −1 folgtlog ɛ−1α log M + log(√ 2c 1 T α )α log M + 1,()L + 1 ≤ log ɛ −1 1α log M + log(√ 2c 1 T α )α log M log ɛ + 2−1 log ɛ −1(() )≤ log ɛ −1 1α log M + max 0, log(√ 2c 1 T α )+ 2α log M= c 5 log ɛ −1 , (3.17)wobeic 5 =()1α log M + max 0, log(√ 2c 1 T α )+ 2.α log MAus der oberen Grenze für N lN l ≤ 2ɛ −2 (L + 1)c 2 h l + 1 (3.18)15