Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

∑ m≤ k f κ i |θ 2 − θ 1 |i=1≤ κ Y |θ 2 − θ 1 | (6.10)∑für κ Y = k mf i=1 κ i. Bei (*) wurde die Betragssummennorm (1-Norm) verwendet,da ‖x‖ 1≥ ‖x‖ pfür x ∈ R m und p ∈ N. Außerdem ist sofort klar, dass E[κ Y ] =k f∑ mi=1 E[κ i] < ∞. Gleichung (6.10) umgestellt, ergibt für θ 1 = θ und θ 2 = θ + hY (θ + h) − Y (θ)∣ h ∣ ≤ κ Y , (6.11)woraufhin der Satz von der majorisierten { Konvergenz } angewendet werden kann (vgl.Y (θ+1)−Y (θ)n[12], Korollar 6.26), da die Folgeabsolut beschränkt ist. Damit folgt,1ndass der Grenzwert für h → 0 und der Erwartungswert vertauscht werden können sowien∈NdE[Y (θ)] existiert. Somit gilt d E[Y (θ)] = E[Y ′ (θ)].dθ dθFordert man in Bedingung 4, dass E[κ 2 i ] < ∞, so ist E[κ 2 Y ] < ∞, woraufhin mit(6.11) folgt, dassund ebenfalls wegen (6.10) sowie h > 0E[(Y (θ + h) − Y (θ)) 2 ] ≤ E[κ 2 Y ]h 2□E[Y (θ + h) − Y (θ)] ≤ E[|Y (θ + h) − Y (θ)|] ≤ E[κ Y ]h.Deshalb giltVar[Y (θ + h) − Y (θ)] = E[(Y (θ + h) − Y (θ)) 2 ] − (E[Y (θ + h) − Y (θ)]) 2≤ E[κ 2 Y ]h 2 − (E[κ Y ]) 2 h 2= (E[κ 2 Y ] − (E[κ Y ]) 2 )h 2 ,also istVar[Y (θ + h) − Y (θ)] = O(h 2 ). (6.12)Wird umgekehrt vorausgesetzt, dass Gleichung (6.12) gilt und Y ′ (θ) mit Wahrscheinlichkeit1 existiert sowie E[Y (θ)] differenzierbar ist, dann folgtE[(Y (θ + h) − Y (θ)) 2 ] = Var[Y (θ + h) − Y (θ)] + (E[Y (θ + h) − Y (θ)]) 2 = O(h 2 )56