Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

für alle f ∈ {a, b} und einer von t abhängigen Konstante C t ∈ R und weiter sei ̂∆ ausGleichung (6.16) die Euler Approximation der SDGL (6.19) und E[|X t | p ] < ∞ für alle0 ≤ t ≤ T , dann existiert eine von δ unabhängige Konstante C ∈ (0, ∞), so dass[Esup0≤t≤T∣∣∆ t − ̂∆ t∣ ∣∣p ] ≤ Cδ p/2 . (6.22)Beweis. Zunächst nutzen wir folgende Abschätzung, um den starken Fehler in zweiSummanden aufzuteilen:[∣E sup ∣∆ t − ̂∆∣ ] [∣∣p ∣t = E sup ∣∆ t − ∆ t + ∆ t − ̂∆∣ ]∣∣pt0≤t≤T0≤t≤T[≤ 2(Ep−1sup0≤t≤T] [∣∣ ∆t − ∆ t p+ E sup0≤t≤T∣∣∆ t − ̂∆ t∣ ∣∣p ]) . (6.23)Die Abschätzung des ersten Summanden folgt direkt aus Satz 5.12, da wegen A(S t , t, ∆ t ) =a ′ S (S t, t)∆ und den Voraussetzungen aus Definition 6.2, die Bedingungen aus Definition5.11 erfüllt sind. Es folgt nämlich aus Bedingung (1), dass a ′ S (S t, t) existiert und|A(S, t, ∆) − A(S, s, ∆)| ≤ |a ′ S(S, t) − a ′ S(S, s)| |∆| ≤ C(S)(1 + ∆) √ t − s.Für festes ∆ gilt Bedingung (2), weil A(·, ·, ∆) auch F t -adaptiert ist. Da A(S, t, ∆) linearin ∆ ist, gilt stetige Differenzierbarkeit in ∆ und für sup t,S |a ′ S (t, S)| = C folgt|A(S, t, ∆ 1 ) − A(S, t, ∆ 2 )| = |a ′ S(t, S)| |∆ 1 − ∆ 2 | ≤ C |∆ 1 − ∆ 2 | .Somit gilt[Esup0≤t≤T]∣ ∣∣∆ t − ∆ t p≤ Cδ p/2 . (6.24)∣ ∣∣∆tUm den zweiten Summanden E[sup 0≤t≤T − ̂∆∣ ∣∣ p]t zu berechnen, betrachtet man∆ t und ̂∆ t in der folgenden zeitstetigen Variante∆ t = ∆ tk +̂∆ t = ̂∆ tk +∫ tt ka ′ S(S η(τ) , η(τ))∆ η(τ) dτ +∫ tt ka ′ S(Ŝη(τ), η(τ)) ̂∆ η(τ) dτ +∫ tt kb ′ S(S η(τ) , η(τ))∆ η(τ) dW τ (6.25)∫ tt kb ′ S(Ŝη(τ), η(τ)) ̂∆ η(τ) dW τ , (6.26)60