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wobei inf ∅ = ∞.Bemerkung 5.2 Die Zufallsvariable X ∗ besitzt folgende Eigenschaften:1. X ∗ (1) = −∞, X ∗ (0) = ∞ falls X nicht beschränkt ist und X ∗ (s) ∈ R für s ∈(0, 1),2. X ∗ ist rechtsstetig,3. X ∗ hat die gleiche Verteilung wie X bezüglich des Lebesgue Maßes auf [0, 1].Beweise dazu finden sich in [2], Kapitel 2.1.Außerdem sei noch bemerkt, dass falls F (c) = P (X ≤ c) die Verteilungsfunktion vonX ist, dann lässt sich X ∗ auch schreiben als X ∗ (s) = inf {c ∈ R : 1 − F (c) ≤ s} =inf {c ∈ R : c ≥ F −1 (1 − s)}, da F monoton steigend ist. Die Umkehrfunktion F −1 derVerteilungsfunktion muss dazu natürlich existieren. Da die Quantilsfunktion einer ZufallsvariablenY durch Q(s) := inf {x ∈ R : F (x) ≥ s} definiert ist, folgt außerdemX ∗ (s) = Q(1 − s).Definition 5.3 Definiere die minimale Steigung der Funktion X ∗ zum Level K durchd X : R → [0, ∞),mitd X (K) :=infs∈[0,1], s≠α(K)α(K) = P(X ≥ K).{ }|X ∗ (s) − K|,|s − α(K)|Nimmt man an, dass die Verteilungsfunktion F (c) = P(X ≤ c) stetig und strengmonoton steigend ist, so ist P(X > c) = 1 − F (c) stetig sowie streng monoton fallendund damit bijektiv. Wegen P(X = c) = 0 folgtX ∗ (s) = inf {c ∈ R : P (X > c) ≤ s}= inf {c ∈ R : P (X ≥ c) = s}= {c ∈ R : α(c) = s}= α −1 (s). (5.1)Wird α(K) = s 0 gesetzt, so gilt aufgrund der obigen Umformung, dass X ∗ (s 0 ) = K undder Differenzenquotient aus Definition 5.3 kann umgeschrieben werden zu |X∗ (s)−X ∗ (s 0 )||s−s 0 |.Dies verdeutlicht, weshalb in Definition 5.1 von einer minimalen Steigung die Rede ist.33