Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

Im folgenden Absatz soll für den Fall des Euler-Verfahrens gezeigt werden, dass dieMLMC Methode den gewünschten geringeren Rechenaufwand besitzt.Die Varianz eines Samples sei gegeben durch V l . Damit berechnet sich die Varianz deseinfachen Schätzers, aufgrund der Unabhängigkeit der Samples, alsVar[Ŷl] = Var[N −1l∑N li=1(̂P(i)l−̂P(i)l−1) ] ∑N l= N −2li=1[(i)Var ̂Pl−Für die Varianz des gemeinsamen Schätzers Ŷ = ∑ Ll=0 Ŷl gilt nun](i) ̂Pl−1= N −1lV l . (3.5)Var[Ŷ ] =L∑l=0N −1lV l . (3.6)Weiter lässt sich der RechenaufwandC = N 0 +L∑N l (M l + M l−1 ), (3.7)l=1der benötigt wird, um Ŷ zu berechnen, durch das Produkt aus der Anzahl der SamplesN l und der Anzahl der Diskretisierungsschritte des feinen und groben Pfades h −1l+h −1l−1 /M = M l + M l−1 für jedes Level bestimmen, da h l = M −l . Vernachlässigt man denkleineren Summanden M l−1 , so ist C ungefähr proportional zuL∑l=0N l h −1l.Um die Varianz zu minimieren, behandelt man nun die N l als stetige Variablen und hältden Rechenaufwand fest. Mit der Lagrange Methode zur Lösung eines Minimierungsproblemsmit Nebenbedingung (vgl. [15], S.124) erhält man für f(N) = ∑ Ll=0 N −1lV l mitN = (N 1 , ..., N L ) und g(N) = ∑ Ll=0 N lh −1l− K = 0, wobei K eine beliebige Konstanteist, folgende Lösung0!= df(N)dN+ λdg(N) dN= (−V 0 N −20 , ..., −V L N −2L) + λ(h−1 0 , ..., h −1L )⇒ N l = √ λV l h l , ∀λ, V. (3.8)10