Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

X(θ) = (X 1 (θ), ..., X m (θ)) als Funktion des Parameters θ eingeführt, so dassY (θ) = f(S 1 (θ), ..., S m (θ)), (6.8)für eine Funktion f : R m → R. Natürlich ließe sich dieser Rahmen auch für Optionenauf mehrere Assets anwenden, deren Underlying von einem Zeitpunkt abhängt.Satz 6.1 Unter folgenden Bedingungen gilt Gleichung (6.2) bzw. Erwartungstreue:1. Zu jedem θ ∈ I existiert S i(θ) ′ mit Wahrscheinlichkeit 1 für alle i = 1, ..., m.2. P(S(θ) ∈ D f ) = 1 für alle θ ∈ I, wobei D f ⊆ R die Punkte beinhaltet, in denenf differenzierbar ist.3. f ist Lipschitz, das heißt es existiert eine Konstante k f , so dass für alle x, y ∈ R m|f(x) − f(y)| ≤ k f ‖x − y‖ .4. Es existieren Zufallsvariablen κ i , i = 1, ..., m, so dass für alle θ 1 , θ 2 ∈ I|S i (θ 2 ) − S i (θ 1 )| ≤ κ i |θ 2 − θ 1 |und E[κ i ] < ∞, i = 1, ..., m.Beweis. Aus den Bedingungen 1 und 2 folgt, dass Y ′ (θ) mit Wahrscheinlichkeit 1 existiertund sich aufgrund von Gleichung (6.8) unter Benutzung der Kettenregel schreibenlässt alsY ′ (θ) =m∑i=1dfds i(S(θ))S ′ i(θ). (6.9)Im Vergleich der Beispiele aus Kapitel 6.3.1 und 6.3.3 hat man jedoch gesehen, dassdies nicht genügt. Deshalb wird mehr als nur Stetigkeit gefordert.Bedingungen 3 und 4 implizieren fast sichere Lipschitz-Stetigkeit von Y in θ, da|Y (θ 2 ) − Y (θ 1 )| = |f(S(θ 2 ) − f(S(θ 1 )))|≤ k f ‖S(θ 2 ) − S(θ 1 )‖(∗) ∑ m≤ k f |S i (θ 2 ) − S i (θ 1 )|55i=1