Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

folgt für den Rechenaufwand von ŶC iv)≤L∑l=0c 3 N l h −1l3.18≤L∑l=0c 3(2ɛ −2 (L + 1)c 2 h l + 1 ) h −1l≤ c 3(2ɛ −2 (L + 1) 2 c 2 +Weiter wird C durch Einsetzen der Schranke für L+1 und der Ungleichung (3.16) sowieder Tatsache 1 < log ɛ −1 für ɛ < e −1 , wie folgt abgeschätztmitC ≤ c 3(2ɛ −2 (c 5 log ɛ −1 ) 2 c 2 +L∑l=0(3.16)≤ c 3(2ɛ −2 (c 5 log ɛ −1 ) 2 c 2 + M 2≤ ɛ −2 (log ɛ) 2 (2c 2 c 3 c 2 5 + c 3M 2h −1l)(√2c1) 1/αɛ−2)M − 1(√ ) 1/α2c1 (log ɛ)−2)M − 1= c 4 ɛ −2 (log ɛ) 2 (3.19)c 4 = 2c 2 c 3 c 2 5 + c 3M 2M − 1so dass die Schranken für MSE und C gezeigt wurden.(√2c1) 1/α,Die weiteren Fälle werden nun in ähnlicher Weise bewiesen.L∑l=0h −1l).b) Für β > 1 setzt man⌈N l = 2ɛ −2 c 2 T ( (β−1)/2 1 − M −(β−1)/2) ⌉−1 (β+1)/2 hl,und für die Varianz des Gesamtschätzers folgtVar[Ŷ ] =L∑l=0Var[Ŷl]iii)≤≤≤L∑l=0l=0c 2 N −1lh β lL∑ (c 2 h β l2ɛ −2 c 2 T ( (β−1)/2 1 − M −(β−1)/2) −1 (β+1)/2 hl12 ɛ2 T −(β−1)/2 ( 1 − M −(β−1)/2) L ∑l=0) −1h (β−1)/2l. (3.20)Um die Summe in diesem Term abzuschätzen, benutzet man zuerst die Definition h l =16