For i = 1 To T / hS1(i + 1, 1) = S1(i, 1) + S1(i, 1) * r * h + S1(i, 1) * sigma * inkremente(i, 1)Next i'Falls MLMC, dann noch zweiten Payoff für summierte Inkremente berechnenIf methode = 1 ThenFor i = 1 To T / h / MS2(i + 1, 1) = S2(i, 1) + S2(i, 1) * r * h * M + S2(i, 1) * sigma * inkremente(i, 2)Next iEnd IfElseS1(1, 1) = SOFor i = 1 To T / hS1(i + 1, 1) = S1(i, 1) + S1(i, 1) * r * h + S1(i, 1) * sigma * inkremente(i, 1)Next iEnd If'Zweiten Pfad für Delta erstellen (aber mit gleichen Zufallszahlen)If optionswahl = 7 Or optionswahl = 8 ThenIf l > 0 ThenS1(1, 2) = D0S2(1, 2) = D0For i = 1 To T / hS1(i + 1, 2) = S1(i, 2) + S1(i, 2) * r * h + S1(i, 2) * sigma * inkremente(i, 1)Next iIf methode = 1 ThenFor i = 1 To T / h / MS2(i + 1, 2) = S2(i, 2) + S2(i, 2) * r * h * M + S2(i, 2) * sigma * inkremente(i, 2)Next iEnd IfElseS1(1, 2) = D0For i = 1 To T / hS1(i + 1, 2) = S1(i, 2) + S1(i, 2) * r * h + S1(i, 2) * sigma * inkremente(i, 1)Next iEnd IfEnd If'erstelle Matrix mit PayoffsCall PayoffBerechnen(optionswahl, methode, l, S1, S2, J, h)'ein Sample wurde erstelltNext J'Varianzen bestimmen (variable "zahl" aus Formatgründen)zahl = Anzahl(1, l + 1)Variance(1, l + 1) = Varianz(Differenz, l + 1, zahl)
'optimales Nl für alle l für MLMCIf methode = 1 ThenFor k = 0 To lNN = 0For i = 0 To lNN = NN + (Variance(1, i + 1) / (M ^ (-i) * T)) ^ (0.5)Next iNN = 2 * eps ^ (-2) * (Variance(1, k + 1) * (M ^ (-k) * T)) ^ (0.5) * NN'aufr<strong>und</strong>enIf NN > Ro<strong>und</strong>(NN, 0) ThenNN = Ro<strong>und</strong>(NN, 0) + 1ElseNN = Ro<strong>und</strong>(NN, 0)End IfAnzahl(2, k + 1) = NNNlVector(1, k + 1) = NN'merke Anzahl der Samples für den Schritt <strong>und</strong> Anzahl der neuen SamplesIf Anzahl(2, k + 1) > Anzahl(1, k + 1) ThenIf Anzahl(2, k + 1) > maxanzahl ThenVector(1, k + 1) = maxanzahl - Anzahl(1, k + 1)Anzahl(1, k + 1) = maxanzahlElseVector(1, k + 1) = Anzahl(2, k + 1) - Anzahl(1, k + 1)Anzahl(1, k + 1) = Anzahl(2, k + 1)End IfElseVector(1, k + 1) = 0End IfNext k'Optimales Nl für MCElseIf methode = 2 ThenNN = Variance(1, l + 1) * 2 / (eps ^ 2)If NN > Ro<strong>und</strong>(NN, 0) ThenNN = Ro<strong>und</strong>(NN, 0) + 1ElseNN = Ro<strong>und</strong>(NN, 0)End IfAnzahl(2, l + 1) = NNNlVector(1, l + 1) = NNIf Anzahl(2, l + 1) > Anzahl(1, l + 1) ThenIf Anzahl(2, l + 1) > maxanzahl ThenVector(1, l + 1) = maxanzahl - Anzahl(1, l + 1)Anzahl(1, l + 1) = maxanzahlElseVector(1, l + 1) = Anzahl(2, l + 1) - Anzahl(1, l + 1)
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Multilevel Monte Carlo Methodenund
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5.1.1 Voraussetzungen . . . . . . .
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DanksagungSehr bedanken möchte ich
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mittels der pfadweisen Ableitung im
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es das Ziel den Erwartungswert von
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Kapitel 3Multilevel Monte Carlo Met
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Im folgenden Absatz soll für den F
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Wählt man nun L so, dassL =log ɛ
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⇒ ( √ 2c 1 T α ɛ −1 ) −1
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folgt für den Rechenaufwand von Ŷ
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c) Für β < 1 setze⌈N l =2ɛ −
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Wendet man das Theorem bezüglich a
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Wird L =ln ɛ−1ln Mproportional z
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= A( h 1M ) + K 1(h1M) p+ O ( )h p+
- Seite 31 und 32: Diese beiden Ergebnisse werden wied
- Seite 33 und 34: muss.Außerdem sollte klar geworden
- Seite 35 und 36: Abbildung 4.1: Ergebnisse Europäis
- Seite 37 und 38: Kapitel 5Starke Konvergenzordnungen
- Seite 39 und 40: Weiter sei noch bemerkt, dass die C
- Seite 41 und 42: für ein ɛ ∈ (0, 1], da die Chi-
- Seite 43 und 44: [∣∣∣χ[K,∞)Ungleichung (5.7
- Seite 45 und 46: Für den Beweis von ii) sei δ > 0
- Seite 47 und 48: (da d 1 p (X 2)= 1 und P X ∈ [1
- Seite 49 und 50: wobei der letzte Schritt wegen 3 |
- Seite 51 und 52: [()≤2 p−1 E (C |X t − X s |)
- Seite 53 und 54: 4∑=: C p I i , (5.26)i=1mit C p =
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- Seite 57 und 58: typischerweise die pfadweise Ableit
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- Seite 63 und 64: wobei Z n ∼ N(0, 1) für alle n
- Seite 65 und 66: für alle f ∈ {a, b} und einer vo
- Seite 67 und 68: wobei in (*) für den ersten Summan
- Seite 69 und 70: Hilfe von Satz 5.9 und Bemerkung 5.
- Seite 71 und 72: L(ɛ)∑ 1 1.l=0= 1 2 ɛ2 M − L(
- Seite 73 und 74: Gesamtschätzers 1 beträgt. Es gil
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- Seite 77 und 78: Abbildung 7.3: Ergebnisse Delta mit
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