Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

Für den Beweis von ii) sei δ > 0 und wähle ̂X, so dass ̂X = X − δ. Daraus folgt miteiner ähnlichen Umforumung wie im Beweis von Teil i)[∣∣∣χ[K,∞)E (X) − χ [K,∞) ( ̂X)]∣ = P(X ≥ K, X − δ < K) + P(X < K, X − δ ≥ K)= P(K ≤ X < K + δ),da P(X < K, X −δ ≥ K) = 0, so dass für ein p > p 0 und den weiteren Voraussetzungenaus Behauptung ii) gilt( [∣ ∣∣X P(K ≤ X < K + δ) ≤ C(X, K, p) E − ̂X ∣ p ]) 1p+1≤ B X (E [|δ| p ]) 1p+1 ≤ BX δ pp+1 .Lässt man p gegen unendlich gehen, da p beliebig groß gewählt werden darf, giltP(K ≤ X < K + δ) ≤ B X δ. (5.11)Sei nun N ⊂ R eine Nullmenge bezüglich des Lebesgue-Maßes und sei ɛ > 0. Da dasäußere Lebesgue-Maß (vgl. [12], Definition 1.46) von N ebenfalls Null ist, findet maneine Folge (I j ) j∈N , so dass N ⊂ ∪I j und ∑ |I j | ≤ ɛ. Für die Verteilung I X von X giltsomitI X ((a, b)) ≤ I X ([a, b)) ≤ B X |a − b|und damit istI X (N) ≤ I X (∪ j I j ) ≤ ∑ j∑I X (I j ) ≤ B X |I j | ≤ B X ɛ.jDa ɛ beliebig klein gewählt werden darf, impliziert diese Ungleichung I X (N) = 0 unddeshalb ist I X absolutstetig (vgl. [12], Definition 7.30) bezüglich des Lebesgue-Maßes,da λ(N) = 0 → I X (N) = 0. Mit dem Radon-Nikodym Theorem (vgl [16], Satz 6.4)folgt, dass dann eine messbare Funktion f : R → [0, ∞) existiert, so dass∫I X (M) = f(x)dxM40