Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

4∑=: C p I i , (5.26)i=1mit C p = 4 p−1 . In (*) wurde die Linearität des Erwartungswert und die Eigenschaftsup 0≤s≤t (f(s) + g(s)) ≤ sup 0≤s≤t f(s) + sup 0≤s≤t g(s) benutzt, wobei f, g : R → R.Weiter werden nun die Summanden einzeln abgeschätzt:[∫ sp]I 1 = E sup∣ Rudu1 ∣0≤s≤t 0[ (∫ s) ∣ p ]≤ E sup ∣ R1u du0≤s≤t[(∫ t) ∣ p ]= E ∣ R1u du≤≤0∫ tt p−1 E [∣ ∣Ru1 ∣ p ]du00∫ tC t,p Z u du, (5.27)0unter Benutzung der Hölderschen-Ungleichung für Integrale und Fubini in der vorletztenUngleichung für C t,p = t p−1 .Für den zweiten Summanden gilt mit n t ∈ N, so dass t nt ≤ t < t nt+1,[I 2 = E sup∣≤(5.22)≤≤≤0≤s≤t∫ s0p]Rudu2 ∣∫ tC t,p E [∣ ∣∣ R2u p]du0∫ tC t,p C 2 |u − t ∗ u| p/2 du0{ nt−1∑C t,p C 2k=0{∑ ntC t,p C 2k=0(∫ tk+1t k≤ C t,p C 2 (n t + 1)T δ p/2) ∫ }t(u − t ∗ u) p/2 du + (u − t nt ) p/2 dut nt}(t k+1 − t k ) max (u − t k) p/2u∈(t k ,t k+1 ]= C t,p,nt,T δ p/2 , (5.28)wobei die Umformung im ersten Schritt analog zu der von Gleichung I 1C t,p,nt = C t,p C 2 (n t + 1)T .geht und48