Multilevel Monte Carlo Methoden und deren ... - G-CSC Home

=L∑Y l (3.27)l=0ist auch der Fehler des gemeinsamen Schätzers von der Größe O(h 2 l ) aufgrund der letztenZeile dieser Umformung.Eine andere Begründung für das Ändern des gemeinsamen Schätzers wird aus folgenderRechnung klar:E[P ] = E[ ̂P L ] + E[P − ̂P L ](3.25)L∑ (≈ E[ ̂P l − ̂P)l−1 ] + (M − 1) −1 E[ ̂P L − ̂P L−1 ]=l=0(∑ L)Ŷ l + (M − 1) −1 Ŷ L .l=0Der somit reduzierte Fehler hat Auswirkungen auf die Konvergenzbedingung, die im RichardsonFalle abgeschwächt wird, so dass man schneller den gewünschten Bias erreicht.Da in diesem Falle für eine Konstante c 1 und l → ∞E[P − ̂P l ] ≈ c 1 h 2 lgilt, folgt mit analoger Rechnung zur Konvergenzbedingung ohne Richardson ExtrapolationundE[ ̂P l − ̂P l−1 ] = E[P − ̂P l−1 ] − E[P − ̂P l ]≈ c 1 h 2 l−1 − c 1 h 2 lh l−1 =h l M= (M 2 − 1)c 1 h 2 l≈ (M 2 − 1)E[P − ̂P l ]. (3.28)Ŷ L − ŶL−1 ≈ (M 2 − 1)E[P − ̂P L ] − (M 2 − 1)E[P − ̂P L−1 ]⇒ ŶL−1 ≈ ŶL + (M 2 − 1)E[ ̂P L − ̂P L−1 ]≈ ŶL + ŶL(M 2 − 1)= M 2 Ŷ L .25