Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.2 Die Pauli-Gleichung 13
wobei g als Ladéscher g-Faktor, oder als gyromagnetischer Faktor bezeichnet wird. Für
ein Elektron erhält man im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik – d.h. aus der
Dirac-Gleichung – exakt den Wert g = 2. Die darüber hinausgehende Feldtheorie – die
Quantenelektrodynamik (kurz QED) – liefert jedoch systematische Korrekturen zu diesem
Wert:
g − 2 = α
π
wobei α = e2
4πε0�c
+ O
� α 2
π 2
≈ 1
137
�
= 0, 0023193047 . . . , (I.2.13)
die Feinstrukturkonstante bezeichnet. Der führende Term von
g−2, also α
π ≈ 2, 32 · 10−3 , ist als Schwinger-Term bekannt.
Mit der häufig verwendeten Näherung von g = 2 für das Elektron ergibt sich für das
gesamte magnetische Moment des Elektrons
�m = �mBahn + �mSpin = e
2me
� �L + 2 � S � . (I.2.14)
Das magnetische Moment ist daher nicht proportional zum Gesamtdrehimpuls � J = � L+ � S.
Für das durch den Spin hervorgerufene magnetische Moment des Protons findet man
�mP = 5, 59 |e|�
2mP
�S
�
≈ 1, 52 · 10 −3 · 2µB
= 5, 59 me
�S
�
mP
µB
�S
�
(mit mP
me
= 1836, 1). (I.2.15)
Das durch den Spin erzeugte magnetische Moment eines Protons ist also um den Faktor
1, 52 · 10 −3 kleiner als das des Elektrons.
Auch neutrale – effektiv ladungsfreie – Teilchen mit Spin haben ein magnetisches Moment.
Für das Neutron gilt
�mN = −3, 83 |e|�
2mN
�S
. (I.2.16)
�
Man kann dieses magnetische Moment als Hinweis auf eine innere Ladungsverteilung
ansehen.
I.2.2 Der Zeeman-Effekt am Wasserstoffatom
Die Energie eines magnetischen Moments �m in einem Magnetfeld � B ist E = −�m · � B.
Daher erhält man für ein Teilchen mit Spin in einem Magnetfeld den Hamilton-Operator
HSpin = −�mSpin · � B(�r, t) . (I.2.17)
Betrachtet man also ein Wasserstoffatom in einem homogenen Magnetfeld und wählt das
Vektorpotential � A = 1
2 � B × �r, so hat man
H = 1
2me
�
�p − e � �2 A − e
me
�S · � B − e2
4πε0
1
, (I.2.18)
r