Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

II.1 Formale Lösung der zeitunabh. Schrödinger-Gleichung 49
eine formale Lösung der Helmholtz-Gleichung II.1.4
(∆ + k 2 ) 2m
�2 �
d 3 r ′ G(�r − �r ′ ) V (�r ′ ) ϕ�k (�r ′ )
= 2m
�2 �
d 3 r ′ δ(�r − �r ′ ) V (�r ′ ) ϕ�k (�r ′ )
= 2m
� 2 V (�r) ϕ� k (�r) . (II.1.10)
Die Berechnung der Greenschen Funktion erfolgt durch Fouriertransformation: Mit
�
G(�r) =
d3q (2π) 3 � G(�q) e i�q·�r
und
�
δ(�r) =
d3q ei�q·�r
(2π) 3 (II.1.11)
hat man
�G(�q) =
1
k2 . (II.1.12)
− q2 Daraus folgt dann
�
G(�r) =
d3q (2π) 3
ei�q·�r k2 .
− q2 (II.1.13)
Führt man nun Polarkoordinaten q, ϑ, ϕ bezüglich der durch �r festgelegten Richtung ein,
ergibt sich
1
G(�r) =
(2π) 3
� ∞
dq q
0
2
k2 − q2 � 2π � π
iqr cos ϑ
dϕ sin ϑ dϑ e
0 0
1
=
(2π) 2
� ∞
dq q
0
2
k2 − q2 � 1
iqr cos ϑ
d cos ϕ e
−1
1
=
(2π) 2 � ∞
dq q
ir 0 k2 − q2 � iqr −iqr
e − e �
1
=
(2π) 2 � ∞
dq q e
ir
iqr
k2 . (II.1.14)
− q2 −∞
Das verbleibende Integral kann mit dem Residuensatz ausgewertet werden, da der Integrand
wegen r > 0 in der oberen komplexen q-Halbebene geschlossen werden kann. Der
Integrand besitzt einfache Pole auf der reellen Achse bei q = ±k:
Res
q=±k
q e iqr
(k − q)(k + q)
= ± 1
2 e±ikr . (II.1.15)
Da verlangt wird, dass die gesuchte Lösung der Helmholtz-Gleichung keine Beitträge
enthält, die einlaufenden Kugelwellen entsprechen, muss der Integrationsweg C so gewählt
werden, dass nur der Pol bei q = +k eingeschlossen wird (s. Abbildung II.2).