Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.1 Spin 1/2 9
wobei �nα den Einheitsvektor in �α-Richtung bezeichnet. Ist also �α der Drehvektor, der �ez
in �n überführt, dann besitzt |�n ↑〉 gemäß
�α
−i �σ·
|�n ↑〉 = e 2 |�ez ↑〉 (I.1.29)
im z-System“ die Darstellung
”
� �
�α
−i �σ· 1
�
e 2 = cos
0
α
2 − i �σ · �nα sin α
�
2
� �
1
0
� �
α αz α
cos − i sin
= � 2 α � 2
αx αy α , (I.1.30)
−i + sin α α 2
wobei natürlich �α =
� � αx
αy und α = (α
αz
2 x + α2 y + α2 z) 1
2 .
Anders ausgedrückt: Ist ein Spin entlang der �n-Achse polarisiert und �α der Drehvektor,
der �ez in �n überführt, dann erhält man bei Messung des Spins in z-Richtung mit der
Wahrscheinlichkeit
P↑ =
�
�
�cos α αz
− i
2 α
α
�
�
sin
2
das Resultat up“, bzw. mit
”
��
�
P↓ = � −i αx
�
αy
+ sin
α α
α
�
�
2
das Resultat ” down“.
� 2
� 2
(I.1.31)
(I.1.32)
Beispiel: Es bezeichne �α = − π
2�ex eine Drehung um α = − π um die x-Achse, durch
2
die also die z-Achse auf die y-Achse abgebildet wird. Man erwartet also, dass dann auch
Sz auf Sy abgebildet wird, bzw. σz auf σy. Das gilt in der Tat, man hat
σz (σx) n = (−σx) n σz , bzw. (I.1.33)
σz f(σx) = f(−σx) σz und (I.1.34)
σz h(σx, σy, σz) = h(−σx, −σy, σz) σz
für Funktionen f und h. Gemäß Gleichung I.1.21 hat man daher die Transformation
π
i
e 4 σx π
−i
σz e 4 σx π
i
= e 4 σx π
i
e 4 σx σz
genau wie erwartet.
Die unitären 2 × 2 - Matrizen
(I.1.35)
=
π
i
e 2 σx �
σz = cos π
2 + i σx sin π
�
σz
2
= i σx σz = σy , (I.1.36)
�α
−i �σ·
d(�α) = e 2 (I.1.37)