Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.6 Verschiedene Anwendungen der Drehimpulsaddition 37
Die Zusammenfassung der 2. und 3. Zeile liefert
−| 1
2
1
2
1 l m− 2 〉
�
l + 1 − m 2
�
· l 2 + l + m + 1
4 −
= −| 1
2
− 1
2
l m− 1
2 〉
2l + 1
�
l + 1 + m 2
l + 1
2
− m
�
l + 1 − m 2
�
(l + 1
�
1 + m)(l + − m)
2 2
2l + 1 (l2 − 1)
. (I.6.16)
4
Damit ist die angegebene Linearkombination die Eigenfunktion von � J 2 zum Eigenwert
�2 (l2 − 1
4 ) = �2 (l − 1 1
1
)(l + ), beschreibt also das Multiplett zu j = l − 2 2 2 .
Damit sind nun auch alle Clebsch-Gordan-Koeffizienten für j1 = 1
2 und j2 = l bekannt.
l + 1
2
l − 1
2
m1 = − 1
� 2
1
l+ 2 −m
2l+1
�
1
l+ 2 +m
2l+1
m1 = + 1
� 2
1
l+ 2 +m
2l+1
�
1
l+ 2 −
−m
2l+1
I.6.2 Energieaufspaltung durch die Spin-Bahn-Kopplung
Die Eigenfunktionen |j m l 1
2 〉 zum Gesamtdrehimpuls � J = � L + � S sind auch Eigenfunktionen
von � L · � S, denn
�J 2 = � L 2 + � S 2 + 2 � L · � S ⇒ � L · � S = � J 2 − � L 2 − � S 2 . (I.6.17)
Das bedeutet
�L · � S |j m l 1
2
für j = l + 1
2 also
〉 = �2
2
�L · � S |j m l 1
2 〉 = �2 l
2
für j = l − 1
2 dagegen
�L · � S |j m l 1
2 〉 = −�2 (l + 1)
2
� j(j + 1) − l(l + 1) − 3
4
�
1 |j m l 〉 , (I.6.18)
2
1 |j m l 〉 , (I.6.19)
2
|j m l 1〉
. (I.6.20)
2
Damit läßt sich nun eine Voraussage über die Spin-Bahn-Aufspaltung beim Wasserstoffatom
machen. Der Operator (vgl. Gleichung (I.2.28))
HSpin-Bahn = 1
2mc 2
1
r
dV
dr � L · � S = 1
2mc 2
e 2
4πε0
1
r 3 � L · � S (I.6.21)