Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.3 Spinpräzession und Spinresonanz 19
das ja additiv in zwei entgegengesetzt zirkular polarisierte Felder zerlegt werden kann
�B = B1
⎛ ⎞
cos ωt
⎝−
sin ωt⎠
+
2
0
B1
⎛ ⎞
cos ωt
⎝sin
ωt⎠
. (I.3.15)
2
0
Ein solches Feld erzielt für ω ≈ ω0 den gewünschten Effekt: Transformiert man nämlich
auf das ” mitrotierende“ System des ersten Anteils, erscheint dieser Anteil stationär. Der
zweite Anteil entspricht einer hochfrequent (nämlich mit 2ω) ” gegenrotierenden“ Komponente.
Diese hochfrequente Störung hat im zeitlichen Mittel nur einen geringen Effekt
und kann daher in guter Näherung vernachlässigt werden. Diese Näherung – Zerlegung eines
linear polarisierten Feldes in zwei entgegengesetzt zirkular polarisierte Komponenten,
Transformation in das rotierende System der einen Komponente und Vernachlässigung
des anderen – wird auch in der Quantenoptik häufig angewandt und als “rotating wave
approximation (RWA)” bezeichnet.
Die mathematische Durchführung dieses Gedankens ist nun klar: Ausgangspunkt ist die
Schrödinger-Gleichung für einen Spin in einem statischen Magnetfeld der Stärke B0 in
z-Richtung und einem oszillierenden, in x-Richtung linear polarisierten Feld der Stärke
B1, also
i� d
|Ψ(t)〉 = −g
dt 2
e�
2m (B0σz + B1 cos ωt σx) |Ψ(t)〉 . (I.3.16)
Die Transformation auf ein mit ω rotierendes Bezugssystem wird geleistet durch die
unitäre Operation
ωt
i
|Ψ(t)〉 = e 2 σz | ˜ Ψ(t)〉 . (I.3.17)
Daraus folgt
und somit
i� d
ωt
|Ψ(t)〉 = ei 2
dt σz
i d
dt | ˜ Ψ(t)〉 =
� ω − ω0
mit ω0 = geB0
2m und ω1 = geB1
4m .
Jetzt ist
2
�
− �ω
2 σz | ˜ Ψ(t)〉 + i� d
dt | ˜ �
Ψ(t)〉
ωt
−i
cos ωt e 2 σz ωt
i
σx e 2 σz = cos ωt σx e iωtσz
(I.3.18)
ωt
−i
σz − ω1 cos ωt e 2 σz ωt
i
σx e 2 σz
�
| ˜ Ψ(t)〉 (I.3.19)
= cos ωt σx(cos ωt + iσz sin ωt)
= σx
σy
(1 + cos 2ωt) + sin 2ωt . (I.3.20)
2 2