Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.6 Verschiedene Anwendungen der Drehimpulsaddition 41
I.6.4 Addition von drei Drehimpulsen
Schließlich soll noch die Addition von drei Drehimpulsen behandelt werden. Gegeben sind
die Drehimpulsoperatoren � J1, � J2 und � J3 mit ihren Eigenzuständen |ji mi〉 (i = 1, 2, 3).
Gesucht sind gemeinsame Eigenzustände von � J 2 = ( � J1 + � J2 + � J3) 2 und Jz = J1z +J2z +J3z.
Ausgangspunkt ist die Produktbasis
|j1 m1 j2 m2 j3 m3〉 = |j1 m1〉|j2 m2〉|j3 m3〉 . (I.6.31)
Koppelt man zunächst wie üblich � J1 und � J2 zu einem Zwischenwert � J12 – wobei � J3 unbeteiligter
” Zuschauer“ ist – so hat man
=
=
|j12 m12 j1 j2 ; j3 m3〉
�
|j1 m1 j2 m2 j3 m3〉〈j1 m1 j2 m2 j3 m3|j12 m12 j1 j2 ; j3 m3〉
m 1 ,m 2
m 1 +m 2 =m 12
�
m 1 ,m 2
m 1 +m 2 =m 12
|j1 m1 j2 m2 j3 m3〉〈j1 m1 j2 m2|j12 m12 j1 j2〉 . (I.6.32)
Im zweiten Schritt werden dann � J12 und � J3 gekoppelt. Man erhält dann die Zustände
=
|j m (j1 j2) j3 j12〉
�
|j12 m12 j1 j2 ; j3 m3〉〈j12 m12 j3 m3|j m j3 j12〉 (I.6.33)
m 12 ,m 3
m 12 +m 3 =m
mit den Eltern j3 und j12 und den Großeltern j1 und j2. Insgesamt hat man daher
|j m (j1 j2) j3 j12〉 = �
|j1 m1 j2 m2 j3 m3〉
m1,m2,m3
· �
〈j1 m1 j2 m2|j12 m12 j1 j2〉 〈j12 m12 j3 m3|j m j3 j12〉 . (I.6.34)
m12
Die Additionskoeffizienten sind also hier Summen über Produkte von Clebsch-Gordan-
Koeffizienten.
Die Tatsache, dass j12 im Resultat als gute Quantenzahl“ auftaucht, zeigt, dass die
”
Reihenfolge der Kopplungen wesentlich ist. Die quantenmechanische Drehimpulsaddition
ist nicht assoziativ.
Koppelt man z.B. zuerst � J2 und � J3, wird das Resultat durch die Drehimpulsquantenzahl
j23 zu � J2 + � J3 charakterisiert:
|j m j1 (j2 j3) j23〉 = �
|j1 m1 j2 m2 j3 m3〉
m1,m2,m3
· �
〈j2 m2 j3 m3|j23 m23 j2 j3〉 〈j1 m1 j23 m23|j m j1 j23〉 . (I.6.35)
m23