Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

II Streutheorie
II.1 Formale Lösung der zeitunabh. Schrödinger-Gleichung
Streuexperimente werden in vielen Bereichen der Physik durchgeführt. In der Hochenergiephysik
erhält man durch Streuung von Elementarteilchen Aufschlüsse über die fundamentalen
Wechselwirkungen. In der Festkörperphysik liefert z.B. die Neutronenstreuung
Informationen über den Gitteraufbau oder die Streuung von niederenergetischen Elektronen
Informationen über die Struktur von Oberflächen.
Bei der quantenmechanischen Beschreibung eines solchen Streuexperimentes wird davon
ausgegangen, dass das einlaufende Wellenpaket groß ist im Vergleich zu Ausdehnung des
” Targets“, aber klein im Vergleich zu den übrigen Ausdehnungen, so dass es insbesondere
nicht gleichzeitig mit dem Target und dem Detektor überlappt. Das Target wird durch
ein raumfestes Potential V (�r) beschrieben, das im Koordinatenursprung lokalisiert sein
soll. Das einlaufende Wellenpaket kann nach ebenen Wellen entwickelt werden
� 3 d k
ψ(�r, t0) =
(2π) 3 a(�k) e i�k·�r . (II.1.1)
Dabei sei t0 ein Zeitpunkt lange vor der Wechselwirkung. Außerdem sei die (glatte) Amplitudenfunktion
a( � k) um � k0 herum zentriert, so dass sich das Paket mit der Geschwindigkeit
�v = �� k0
m bewegt.
Um nun die Zeitentwicklung des Wellenpaketes in Gegenwart des Streupotentials V (�r)
und damit den Streuprozess zu beschreiben, muss ψ(�r, t0) jedoch nach Eigenzuständen
ϕ� k (�r) der vollen zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung entwickelt werden:
Setzt man voraus, dass das Potential im Unendlichen verschwindet, d.h. V (�r) → 0 für
|�r| → ∞, so erhält man (abgesehen von eventuellen quadratintegrablen Eigenzuständen
zu negativen Energieeigenwerten) zu jedem nichtnegativen Eigenwert
E� k = �2� k 2
2m
≥ 0 (II.1.2)
eine uneigentliche Eigenfunktion ϕ� k (�r) durch Lösung des Eigenwertproblems
�
− �2
�
∆ + V (�r)
2m
bzw. der inhomogenen Helmholtz-Gleichung
ϕ� k (�r) = E� k ϕ� k (�r) , (II.1.3)
(∆ + k 2 ) ϕ� k (�r) = 2m
� 2 V (�r) ϕ� k (�r) , (II.1.4)
ergänzt um die notwendigen Randbedingungen. Sind diese uneigentlichen Eigenfunktionen
bekannt, hat man eine zweite Entwicklung des einlaufenden Paketes,
� 3 d k
ψ(�r, t0) =
(2π) 3 A(�k) ϕ�k (�r) , (II.1.5)
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