Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

Skript zur 

Quantenmechanik II 

umgesetzt von Jan Behrends 

Sebastian Meier 

Stefan Trotzky 

Prof. Dr. Martin Holthaus

Für Bernd. 

Das Skript entstand im Laufe der Vorlesung ” Quantenmechanik II“ an der 

Carl von Ossietzky Universität Oldenburg im Sommersemester 03 

aus dem Manuskript des Dozenten und studentischen Vorlesungsmitschriften. 

Die Urheberrechte liegen bei dem Dozenten. 

0. korrigierte Auflage

INHALTSVERZEICHNIS 3 

Inhaltsverzeichnis 

I Spin und Drehimpulsaddition 5 

I.1 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

I.2 Die Pauli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

I.2.1 Vom Spin erzeugte magnetische Momente . . . . . . . . . . . . . . 12 

I.2.2 Der Zeeman-Effekt am Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

I.2.3 Die Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

I.2.4 Die Pauli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

I.3 Spinpräzession und Spinresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

I.4 Das Stern-Gerlach-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

I.5 Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

I.5.1 Addition von zwei beliebigen Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . 30 

I.6 Verschiedene Anwendungen der Drehimpulsaddition . . . . . . . . . . . . . 34 

I.6.1 Addition eines Spin 1 

2 

und eines Bahndrehimpulses l . . . . . . . . . 34 

I.6.2 Energieaufspaltung durch die Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . 37 

I.6.3 Streuung eines Pions an einem Proton . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

I.6.4 Addition von drei Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

I.7 Der Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

II Streutheorie 47 

II.1 Formale Lösung der zeitunabh. Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . 47 

II.2 Partialwellenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

II.3 Bornsche Reihe und Bornsche Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

II.4 Streuung an Potentialen endlicher Reichweite . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

III Wechselwirkung von Strahlung mit Materie 72 

III.1 Wechselwirkung mit einem klassischen Strahlungsfeld . . . . . . . . . . . . 72 

III.2 Absorption von Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

III.3 Heuristische Quantisierung des Strahlungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . 83 

III.4 Kanonische Quantisierung in der Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . 88 

III.5 Berechnung spontaner Emissionsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

III.6 Aus der Lasertheorie: Ratengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

I Spin und Drehimpulsaddition 

I.1 Spin 1/2 

Viele Elementarteilchen, wie das Elektron, Proton und das Neutron, besitzen einen in- 

” 

neren“ Drehimpuls: Bei einer Messung der Komponente dieses Drehimpulses in Richtung 

irgendeiner vorgegebenen ( Quantisierungs“-) Achse findet man nur entweder den Wert 

” 

+ � 

� oder − 2 2 . Einen solchen Drehimpuls, der einer halbzahligen“ Drehimpulsquanten- 

” 

zahl ℓ = 1 

2 

entspricht, besitzt kein klassisches Analogon. Er kann (im Gegensatz zum 

Bahndrehimpuls) nicht mit einer Drehung im Anschauungsraum in Verbindung gebracht 

werden. Man bezeichnet ihn kurz als ” Spin 1/2“. 

Der Spin wird (wie jeder Drehimpuls) durch einen Vektoroperator � S beschrieben, dessen 

3 Komponenten den Vertauschungsrelationen des Drehimpulses gehorchen: 

[Sk, Sl] = i� εklm Sm . (I.1.1) 

Die Aussage, dass die Komponente des Spins in einer gegebenen Richtung �n nur die beiden 

Werte ± � 

2 annehmen kann, bedeutet, dass der Operator � S·�n (d.h. die Projektion von � S auf 

�n) nur die beiden Eigenwerte ± � besitzt. Bezeichnet man die zugehörigen Eigenzustände 

2 

mit |�n ↑〉 bzw. |�n ↓〉, hat man 

�S · �n |�n ↑〉 = � 

2 |�n ↑〉 bzw. S � 

� 

· �n |�n ↓〉 = − |�n ↓〉 . (I.1.2) 

2 

Bei gegebener Richtung �n bilden die beiden Zustände |�n ↑〉 und |�n ↓〉 eine Basis im 

” Spinraum“, ein beliebiger Spinzustand |ψ〉 muss also als Linearkombination dieser beiden 

Basiszustände darstellbar sein: Die Komponente 〈�n ↑ |ψ〉 ist die Amplitude dafür, 

den Spin in Richtung von �n“ zu finden, 〈�n ↓ |ψ〉 die Amplitude dafür, den Spin in 

” ” 

Gegenrichtung von �n“ anzutreffen. 

Man verwendet meist die Basis, die aus den Eigenzuständen von Sz gebildet wird. In 

dieser Basis wird ein Spinzustand |ψ〉 durch den zweikomponentigen Vektor 

� � 

〈�ez ↑ |ψ〉 

〈�ez ↓ |ψ〉 

(I.1.3) 

dargestellt: Dem ” spin up“ - Zustand |ψ〉 = |�ez ↑〉 entspricht der Vektor ( 1 0 ), dem ” spin 

down“ - Zustand |�ez ↓〉 der Vektor ( 0 1 ). Der Operator Sz erhält in dieser Basis die Dar- 

stellung 

� 

〈�ez ↑ | Sz |�ez ↑〉 

� 

〈�ez ↑ | Sz |�ez ↓〉 

〈�ez ↓ | Sz |�ez ↑〉 〈�ez ↓ | Sz |�ez ↓〉 

= � 

� � 

1 0 

2 0 −1 

. (I.1.4) 

Darstellungen von Sx und Sy, die mit den Vertauschungsregeln verträglich sind, lauten 

dann 

Sx = � 

� 

0 

2 δ 

δ 

∗ � 

0 

bzw. Sy = � 

� 

0 

2 iδ 

−iδ 

∗ � 

, 

0 

sofern |δ| = 1. (I.1.5) 

5

I.1 Spin 1/2 6 

Zum Beispiel folgt aus [Sx, Sz] = −i� Sy sofort 

� 

〈�ez ↑ | SxSz − SzSx |�ez ↓〉 = − � 

� 

� 

− 〈�ez ↑ | Sx |�ez ↓〉 

2 2 

und daher 〈�ez ↑ | Sy |�ez ↓〉 = −i 〈�ez ↑ | Sx |�ez ↓〉 usw. 

= −i� 〈�ez ↑ | Sy |�ez ↓〉 (I.1.6) 

Die Phase von δ hängt von der relativen Phase der Basiszustände |�ez ↑〉 und |�ez ↓〉 ab. Es 

ist üblich, diese Phase so zu wählen, dass δ = 1. Dann wird der Spin durch den Operator 

�S = � 

�σ (I.1.7) 

2 

dargestellt, wobei die Komponenten des Vektoroperators �σ durch die Pauli-Spinmatri- 

” 

zen“ 

� 

0 

σx = 

1 

� 

1 

, 

0 

� 

0 

σy = 

i 

� 

−i 

0 

und 

� 

1 

σz = 

0 

� 

0 

−1 

(I.1.8) 

gebildet werden. 

Diese Matrizen besitzen eine Reihe nützlicher Eigenschaften: Jede von ihnen besitzt die 

Eigenwerte ±1. Aus 

[Sk, Sl] = �2 

4 [σk, σl] = i� εklm Sm = i �2 

2 εklm σm 

folgt die Vertauschungsrelation 

(I.1.9) 

[σk, σl] = 2i εklmσm . (I.1.10) 

Direkte Rechnung zeigt sofort σxσy = iσz und σyσx = −iσz, bzw. allgemeiner 

σkσl = i εklm σm für k �= l . (I.1.11) 

Daher ” antikommutieren“ verschiedene σ-Matrizen: 

σkσl + σlσk = 0 für k �= l . (I.1.12) 

Da die Quadratur gleicher σ-Matrizen die Einheitsmatrix ergibt, σ 2 x = σ 2 y = σ 2 z = 12×2, 

gibt die Antivertauschungsregel 

σkσl + σlσk = 2 δkl . (I.1.13) 

Alle diese algebraischen Eigenschaften lassen sich durch 

σkσl = δkl + i εklm σm 

(I.1.14)

I.1 Spin 1/2 7 

zusammenfassen. Äquivalent dazu ist 

SkSl = �2 

4 δkl + i � 

2 εklm Sm . (I.1.15) 

Daraus erhält man z.B. 

�S 2 = SkSk = 3�2 

4 

wie erwartet. 

� � 

1 1 

= �2 + 1 

2 2 

, (I.1.16) 

Häufig wird auch folgende Relation benötigt: Sind �a und � b ” normale“ Vektoren (bzw. 

Vektoroperatoren, die mit dem Spin kommutieren), so gilt 

(�a · �σ)( � b · �σ) = akbl σkσl = akbl(δkl + i εklm σm) = �a · � b + i(�a × � b) · �σ . (I.1.17) 

Wie können nun die Eigenzustände von � S · �n in eine Basis bzgl. einer anderen Achse 

umgerechnet werden? Dazu wird zunächst angenommen, dass der Einheitsvektor �n durch 

Rotation eines anderen Einheitsvektors �m um eine Achse in �α-Richtung mit dem (positiven) 

Drehwinkel α = |�α| hervorgeht (siehe Abbildung I.1). Für infinitesimal kleine 

Drehwinkel gilt dann 

�n = �m + �α × �m . (I.1.18) 

�m �α × �m 

ϑ 

�α 

�n 

Abbildung I.1: Skizze zur Veranschaulichung der Drehung von �m 

Der Drehwinkel ergibt sich ja zu 

Drehwinkel = Bogenlänge 

Radius 

Also gilt auch 

�S · �n = � S · �m + � S · (�α × �m) 

= |�α| |�m| sin ϑ 

|�m| sin ϑ 

= � S · �m + εjkl αjmkSl 

= � 1 

S · �m + αjmk 

i� [Sj, Sk] 

= |�α| . (I.1.19) 

= � S · �m + i 

� [� S · �m, � S · �α] , (I.1.20)

I.1 Spin 1/2 8 

in erster Ordnung von |�α| ist das äquivalent zu 

i 

�S 

− 

· �n = e � � i 

S·�α 

S � · �m e � � S·�α 

. (I.1.21) 

Diese Überlegungen erinnern stark an einige Zusammenhänge, die bei der Diskussion 

des Bahndrehimpulses erhalten werden (siehe Quantenmechanik I, Abschnitt III.1). Dort 

wurde gezeigt, dass eine infinitesimale Raumdrehung mit Hilfe eines Bahndrehimpulsoperators 

� L durch 

�r ′ = �r + i 

� [�α · � L, �r] (I.1.22) 

beschrieben wird. In erster Ordnung von |�α| ist das äquivalent zu 

�r ′ = e i 

� �α·� L �r e − i 

� �α·� L . (I.1.23) 

Diese Beziehung gilt jedoch auch für endliche (nicht infinitesimale) Drehwinkel. Der Beweis 

für diese Aussage beruht nur auf den Vertauschungsrelationen des Drehimpulses und 

kann daher sofort auf den Spin übertragen werden: Auch Gleichung I.1.21 gilt für endliche 

Drehwinkel. Wendet man nun beide Seiten von Gleichung I.1.21 auf den Zustand 

i 

− e � � S·�α |�m ↑〉 an, erhält man 

und daher 

i 

�S 

− 

· �n e � � S·�α − 

|�m ↑〉 = e i 

� � S·�α 

S � 

� 

· �m |�m ↑〉 = 

2 

e− i 

� � S·�α |�m ↑〉 (I.1.24) 

i 

− 

e � � S·�α 

|�m ↑〉 = |�n ↑〉. (I.1.25) 

i 

− Der unitäre Operator e � � S·�α hat die Eigenschaft, Eigenzustände von S·�m � in Eigenzustände 

von � S · �n zu überführen, sofern �n durch �α-Drehung aus �m hervorgeht. Damit wirkt dieser 

i 

− Operator auf den Spinfreiheitsgraden ganz analog wie der Drehoperator e � � L·�α auf den 

räumlichen Freiheitsgraden. Die Fähigkeit des Spinoperators, Drehungen im Spinraum“ 

” 

zu erzeugen, ist eine direkte Konsequenz der Vertauschungsregeln. Nun ist 

i 

− 

e � � S·�α −i �σ· 

= e �α 

2 (I.1.26) 

und 

� 

�σ · �α 

� 

= 

2 

�α �α 

· 

2 2 = 

so dass 

�α 

−i �σ· 

e 2 = 

∞� 

n=0 

= � 

n gerade 

� 

α 

�2 2 

� � 

�α n 

−i �σ · 2 

n! 

� � 

α n 

−i 2 

n! 

, (I.1.27) 

+ � 

n ungerade 

� � 

α n 

−i 2 �σ · �nα 

n! 

= cos α 

2 · 12×2 − i �σ · �nα sin α 

, (I.1.28) 

2

I.1 Spin 1/2 9 

wobei �nα den Einheitsvektor in �α-Richtung bezeichnet. Ist also �α der Drehvektor, der �ez 

in �n überführt, dann besitzt |�n ↑〉 gemäß 

�α 

−i �σ· 

|�n ↑〉 = e 2 |�ez ↑〉 (I.1.29) 

im z-System“ die Darstellung 

” 

� � 

�α 

−i �σ· 1 

� 

e 2 = cos 

0 

α 

2 − i �σ · �nα sin α 

� 

2 

� � 

1 

0 

� � 

α αz α 

cos − i sin 

= � 2 α � 2 

αx αy α , (I.1.30) 

−i + sin α α 2 

wobei natürlich �α = 

� � αx 

αy und α = (α 

αz 

2 x + α2 y + α2 z) 1 

2 . 

Anders ausgedrückt: Ist ein Spin entlang der �n-Achse polarisiert und �α der Drehvektor, 

der �ez in �n überführt, dann erhält man bei Messung des Spins in z-Richtung mit der 

Wahrscheinlichkeit 

P↑ = 

� 

� 

�cos α αz 

− i 

2 α 

α 

� 

� 

sin 

2 

das Resultat up“, bzw. mit 

” 

�� 

� 

P↓ = � −i αx 

� 

αy 

+ sin 

α α 

α 

� 

� 

2 

das Resultat ” down“. 

� 2 

� 2 

(I.1.31) 

(I.1.32) 

Beispiel: Es bezeichne �α = − π 

2�ex eine Drehung um α = − π um die x-Achse, durch 

2 

die also die z-Achse auf die y-Achse abgebildet wird. Man erwartet also, dass dann auch 

Sz auf Sy abgebildet wird, bzw. σz auf σy. Das gilt in der Tat, man hat 

σz (σx) n = (−σx) n σz , bzw. (I.1.33) 

σz f(σx) = f(−σx) σz und (I.1.34) 

σz h(σx, σy, σz) = h(−σx, −σy, σz) σz 

für Funktionen f und h. Gemäß Gleichung I.1.21 hat man daher die Transformation 

π 

i 

e 4 σx π 

−i 

σz e 4 σx π 

i 

= e 4 σx π 

i 

e 4 σx σz 

genau wie erwartet. 

Die unitären 2 × 2 - Matrizen 

(I.1.35) 

= 

π 

i 

e 2 σx � 

σz = cos π 

2 + i σx sin π 

� 

σz 

2 

= i σx σz = σy , (I.1.36) 

�α 

−i �σ· 

d(�α) = e 2 (I.1.37)

I.2 Die Pauli-Gleichung 10 

liefern eine besondere Darstellung der Drehgruppe: Wenn �α die Achse �m in �n überführt, 

und dann � β die Achse �n in �o (wobei �m, �n, �o wie üblich Einheitsvektoren sind), so gilt 

und 

mit 

Also gilt 

�σ · �n = d(�α) �σ · �m d(�α) † 

�σ · �o = d( � β) �σ · �n d( � β) † 

(I.1.38) 

(I.1.39) 

d(�α) † �α 

i σ· 

= e 2 = d(−�α). (I.1.40) 

�σ · �o = d( � β) d(�α) �σ · �m d(�α) † d( � β) † 

= 

� 

d( � � 

β) d(�α) 

�σ · �m 

� 

d( � � † 

β) d(�α) 

, (I.1.41) 

d.h. die Hintereinanderausführung der Drehungen �α und � β entspricht der Matrixmultiplikation 

d( � β) d(�α). Diese Spindarstellung der Drehgruppe besitzt eine interessante Eigenschaft. 

Ein Raumdrehung um den Winkel 2π um eine beliebige Achse �n entspricht gar 

keiner Drehung, andererseits ist 

−iπ �σ·�n 

d(2π�n) = e 

= cos π − i �σ · �n sin π = −1. (I.1.42) 

Eine Drehung um 2π wird durch −1 dargestellt! Allgemeiner bedeutet das, dass die Drehungen 

α�n und (α + 2π)�n physikalisch äquivalent sind, also stellen d(α�n) und auch 

d(α�n + 2π�n) = d(α�n) d(2π�n) = −d(α�n) die gleiche Drehung dar. Die Spindarstellung 

der Drehgruppe ist daher zweiwertig. 

I.2 Die Pauli-Gleichung 

Der Spin eines Teilchens ist ein ” innerer“ Freiheitsgrad, der von den räumlichen Freiheitsgraden 

völlig unabhängig ist. Der Zustand eines Teilchens mit Spin ist erst dann 

vollständig spezifiziert, wenn der ” räumliche Zustand“ und der Spinzustand angegeben 

worden sind. Alle Operatoren, die sich auf räumliche Freiheitsgrade beziehen, kommutieren 

mit allen Operatoren, die sich aus Spinfreiheitsgrade beziehen, z.B. 

[ � S, �r ] 1 = 0 

[ � S, �p ] = 0 

[ � S, � L] = 0 . (I.2.1) 

Um also den Zustand eines Teilchens vollständig anzugeben, benötigt man 

1 Diese Schreibweise ist die kurze Form von [Si, rj] = 0 ∀i, j


(i) die Amplituden dafür, das Teilchen an den verschiedenen Raumpunkten �r zu finden, 

und 

(ii) für jeden Raumpunkt die Amplituden für die möglichen Spinorientierungen. 

Wird also z.B. �ez als Quantisierungsachse“ gewählt, benötigt man für jeden Punkt �r 

” 

sowohl ψ↑(�r), d.h. die Amplitude dafür, das Teilchen am Ort �r mit spin up“ zu finden 

” 

(Sz = + � 

2 ), als auch ψ↓(�r), d.h. die entsprechende Amplitude für spin down“ (Sz = − 

” � 

2 ). 

Die Gesamtwellenfunktion Ψ(�r) kann daher als 

� � 

ψ↑(�r) 

Ψ(�r) = 

(I.2.2) 

ψ↓(�r) 

geschrieben werden. Dann ist 

|ψ↑(�r)| 2 + |ψ↓(�r)| 2 

(I.2.3) 

die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, das Teilchen (mit beliebiger Spinorientierung) am 

Ort �r zu finden. 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, das Teilchen (irgendwo) mit ” spin up“ zu finden, lautet 

dann 

� 

d 3 r |ψ↑(�r)| 2 . (I.2.4) 

Die Normierungsgleichung erhält die Form 

� 

〈Ψ|Ψ〉 = d 3 r � |ψ↑(�r)| 2 + |ψ↓(�r)| 2� , (I.2.5) 

wodurch auch das Skalarprodukt für die zweikomponentigen Wellenfunktionen ( ” Pauli- 

Spinoren“) festgelegt wird. 

Der Gesamtdrehimpuls � J eines Teilchens ist die Summe seines Bahndrehimpulses und 

seines Spins 

�J = � L + � S . (I.2.6) 

Der Gesamtdrehimpuls erzeugt Drehungen sowohl der räumlichen als auch der Spinfreiheitsgrade. 

Wird �r (im Sinne der Abbildung I.1) durch �α in �r ′ gedreht und �m durch 

�α in �n, und bezeichnet |�r, �m ↑〉 den (uneigentlichen) Zustand, in dem das Teilchen mit 

Sicherheit bei �r mit Spinkomponente + � in Richtung von �m zu finden ist, so gilt 

2 

i 

− 

e � � J·�α − 

|�r, �m ↑〉 = e i 

� (� L+ � S)·�α 

|�r, �m ↑〉 

i 

− 

= e � � L·�α − 

e i 

� � S·�α 

|�r, �m ↑〉 

i 

− 

= e � � L·�α 

|�r, �n ↑〉 

= |�r ′ , �n ↑〉. (I.2.7)


Dabei wurde in der zweiten Gleichung [ � L, � S] = 0 benutzt. Für zwei Operatoren A, B gilt 

ja 

e A+B = e A e B e −[A,B] 

2 , (I.2.8) 

sofern A und B mit [A, B] kommutieren (vgl. Quantenmechanik I, Aufgabe 17 b.). 

Wie beobachtet man den Spin? In der Hochenergiephysik kann man den Spin eines Elementarteilchens 

häufig aus der Erhaltung des Gesamtdrehimpulses erschließen. Z.B. beobachtet 

man beim Zerfall 

Λ ◦ −→ p + π − 

(I.2.9) 

die Zerfallsprodukte häufig mit einem von Null verschiedenen Relativ-Bahndrehimpuls im 

Schwerpunktsystem, der Bahndrehimpuls des Λ ◦ in seinem Schwerpunktsystem (in dem 

es ja ruht!) verschwindet dagegen. Der Gesamtdrehimpuls kann daher nur dann erhalten 

sein, wenn das Λ ◦ (wie auch das Proton) über einen Spinfreiheitsgrad verfügt. 

Die Forderung nach Erhaltung des Gesamtdrehimpulses war (neben der Forderung nach 

Energieerhaltung und dem kontinuierlichen Energiespektrum der emittierten β-Teilchen) 

ein entscheidender Grund, warum W. Pauli die Existenz des Neutrinos postulierte. 

Ohne ein solches ” zusätzliches“ Teilchen wären die Erhaltungssätze beim β-Zerfall verletzt! 

2 

I.2.1 Vom Spin erzeugte magnetische Momente 

In der Niederenergiephysik weist man die Existenz des Spins dagegen durch seine Wechselwirkung 

mit einem Magnetfeld nach. Zunächst besitzt eine klassische Ladung e 3 , die 

mit einem Drehimpuls � L rotiert, bekanntlich ein magnetisches Moment 

�mBahn = e 

2m � L . (I.2.10) 

Für ein Elektron hat man also 

�mBahn = e� 

2me 

�L 

� 

= −µB 

�L 

, (I.2.11) 

� 

wobei µB = 9, 274·10 −24 Am 2 das Bohrsche Magneton bezeichnet. Dieser klassische Zusammenhang 

gilt auch in der Quantenmechanik. Da dort die drei Komponenten von � L nicht 

gleichzeitig scharf gemessen werden können, unterliegen die Komponenten von �mBahn der 

gleichen Einschränkung. Auch ein Spin � S ruft ein magnetisches Moment hervor, allerdings 

mit einem anderen Proportionalitätsfaktor. Man schreibt 

�mSpin = g e 

2m � S , (I.2.12) 

2 Beispiel: 60 Co −→ 60 Ni + e − + νe bzw. n −→ p + e − + νe 

Ein freies Neutron besitzt eine Halbwertszeit von 932 s. 

3 Die Ladung e trägt in SI-Einheiten ein negatives Vorzeichen, also e ≈ −1, 6 · 10 −19 C.


wobei g als Ladéscher g-Faktor, oder als gyromagnetischer Faktor bezeichnet wird. Für 

ein Elektron erhält man im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik – d.h. aus der 

Dirac-Gleichung – exakt den Wert g = 2. Die darüber hinausgehende Feldtheorie – die 

Quantenelektrodynamik (kurz QED) – liefert jedoch systematische Korrekturen zu diesem 

Wert: 

g − 2 = α 

π 

wobei α = e2 

4πε0�c 

+ O 

� α 2 

π 2 

≈ 1 

137 

� 

= 0, 0023193047 . . . , (I.2.13) 

die Feinstrukturkonstante bezeichnet. Der führende Term von 

g−2, also α 

π ≈ 2, 32 · 10−3 , ist als Schwinger-Term bekannt. 

Mit der häufig verwendeten Näherung von g = 2 für das Elektron ergibt sich für das 

gesamte magnetische Moment des Elektrons 

�m = �mBahn + �mSpin = e 

2me 

� �L + 2 � S � . (I.2.14) 

Das magnetische Moment ist daher nicht proportional zum Gesamtdrehimpuls � J = � L+ � S. 

Für das durch den Spin hervorgerufene magnetische Moment des Protons findet man 

�mP = 5, 59 |e|� 

2mP 

�S 

� 

≈ 1, 52 · 10 −3 · 2µB 

= 5, 59 me 

�S 

� 

mP 

µB 

�S 

� 

(mit mP 

me 

= 1836, 1). (I.2.15) 

Das durch den Spin erzeugte magnetische Moment eines Protons ist also um den Faktor 

1, 52 · 10 −3 kleiner als das des Elektrons. 

Auch neutrale – effektiv ladungsfreie – Teilchen mit Spin haben ein magnetisches Moment. 

Für das Neutron gilt 

�mN = −3, 83 |e|� 

2mN 

�S 

. (I.2.16) 

� 

Man kann dieses magnetische Moment als Hinweis auf eine innere Ladungsverteilung 

ansehen. 

I.2.2 Der Zeeman-Effekt am Wasserstoffatom 

Die Energie eines magnetischen Moments �m in einem Magnetfeld � B ist E = −�m · � B. 

Daher erhält man für ein Teilchen mit Spin in einem Magnetfeld den Hamilton-Operator 

HSpin = −�mSpin · � B(�r, t) . (I.2.17) 

Betrachtet man also ein Wasserstoffatom in einem homogenen Magnetfeld und wählt das 

Vektorpotential � A = 1 

2 � B × �r, so hat man 

H = 1 

2me 

� 

�p − e � �2 A − e 

me 

�S · � B − e2 

4πε0 

1 

, (I.2.18) 

r


also in erster Ordnung von � B 

H = �p2 

− 

2me 

e2 

4πε0 

Eine Nebenrechnung führt zu 

1 e � � 

− �p · A � + � 

e 

A · �p − 

r 2me 

me 

�p · � A + � A · �p = �p · 1 

2 � B × �r + 1 

2 � B × �r · �p 

�S · � B . (I.2.19) 

= − 1 

2 �p · �r × � B + 1 

2 � B × �r · �p 

= − 1 

2 �p × �r · � B + 1 

2 � B · �r × �p = � L · � B . (I.2.20) 

Damit lautet der Hamilton-Operator also 

H = H0 − e 

2me 

� �L + 2 � S � · � B , (I.2.21) 

wobei H0 der Hamilton-Operator des ungestörten Systems ist, also ohne Magnetfeld � B. 

Wählt man die z-Achse in Feldrichtung, so lautet der Störoperator 

Hint = − eB 

2me 

� � 

Lz + 2Sz . (I.2.22) 

Gäbe es keinen Spin, hätte man in erster Ordnung die Energieverschiebungen 

∆E = 〈nlm|HI|nlm〉 = − e� 

Bm = µBBm . (I.2.23) 

2me 

§ 

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Abbildung I.2: Aufspaltung des Energienieveaus für l = 1 (unter der Annahme s = 0) bei 

Anlegen eines Magnetfeldes 

Die (2l + 1)-fache Drehimpulsentartung wird somit durch das Magnetfeld aufgehoben 

(s. Abbildung I.2). Dieser sogenannte normale Zeeman-Effekt wird hier allerdings nicht 

beobachtet, sondern nur im Fall eines verschwindenden Gesamtspins. Da hier aber s = 1 

2 

ist, lautet die tatsächliche Aufspaltung in hinreichend starken“ Feldern 

” 

∆E = 〈nlmsz|HI|nlmsz〉 = µBB � � 

m + 2sz . (I.2.24) 

Eine solche ” zusätzliche“ Aufspaltung (s. Abbildung I.3) ist ein direkter Hinweis auf die 

Existenz des Elektronenspins. Dieser Effekt wird auch anormaler Zeeman-Effekt genannt. 

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Abbildung I.3: Aufspaltung des Energienieveaus für l = 1 (unter der Annahme s = 0) bei 

Anlegen eines Magnetfeldes 

I.2.3 Die Spin-Bahn-Kopplung 

Allerdings findet man dieses einfache Aufspaltungsschema wie oben bereits angedeutet 

nur in starken“ Magnetfeldern 

” 4 . Bewegt sich nämlich ein Elektron mit Geschwindigkeit 

�v durch ein elektrisches Feld � E, erfährt es nach der speziellen Relativitätstheorie in niedrigster 

Ordnung von v 

c ein Magnetfeld � Bv = 1 

c2�v × � E. Dieses Magnetfeld koppelt an das 

magnetische Moment und führt zu der zusätzlichen Wechselwirkungsenergie5 |e| 

m � S · 1 

c2 �v × � E . (I.2.25) 

Es gibt allerdings noch eine weitere relativistische Korrektur, die sogenannte Thomas- 

Präzession. Sie liefert 

− 1 

2 

|e| 

mc 2 � S · �v × � E . (I.2.26) 

Wenn das elektrische Feld durch ein Zentralpotenmtial verursacht wird, also 

|e| � E = − � ∇ V (�r) = − �r 

r 

dV (r) 

dr 

, (I.2.27) 

dann lautet der Operator dieser Wechselwirkungsenergie 

HSpin-Bahn = 1 

2mc2 � � 

S · �v × − �r 

� 

dV (r) 

= 

r dr 

1 

2m2c2 1 dV (r) 

r dr 

�L · � S . (I.2.28) 

Man hat also eine Spin-Bahn-Kopplung. Damit also das vorher beobachtete Aufspaltungsschema 

näherungsweise richtig ist, muss die Energie der Wechselwirkung mit dem � B-Feld 

sehr groß sein im Vergleich zur Spin-Bahn-Wechselwirkungsenergie. 

4Natürlich dürfen diese Felder auch nicht zu stark“ sein, da hier Störungsrechnung in erster Ordnung 

” 

von B betrieben wurde. 

5Oder anders herum: Ein bewegter magnetischer Dipol liefert im Laborsystem einen elektrischen Dipol, 

der mit � E wechselwirkt.

I.3 Spinpräzession und Spinresonanz 16 

I.2.4 Die Pauli-Gleichung 

Bei Vernachlässigung der Spin-Bahn-Wechselwirkung erhält man somit für den Pauli- 

Spinor die Bewegungsgleichung 

i� ∂ 

∂t 

� � � 

ψ↑(�r, t) 

= 

ψ↓(�r, t) 

1 

2m 

� 

� 

i � ∇ − e � �2 A(�r, t) − g 

2 

e� 

2m �σ · � B(�r, t) + V (�r, t) 

� �ψ↑(�r, 

� 

t) 

. 

ψ↓(�r, t) 

(I.2.29) 

Diese Gleichung wird als Pauli-Gleichung bezeichnet. Dabei ist 

�σ · � � 

Bz 

B = 

Bx + iBy 

� 

Bx − iBy 

. 

−Bz 

(I.2.30) 

Bemerkung: Die Größenordnung der Spin-Bahn-Wechselwirkungsenergie für das Wasserstoffatom 

erhält man aus 

HSpin−Bahn = 1 

2m 2 c 2 

1 

r 

dV 

dr � L · � S und V (r) = − e2 

4πε0 

wenn man als charakteristischen Wert für r den Bohrschen Radius 

a = 

4πε0� 2 

me 2 

1 

r 

, (I.2.31) 

(I.2.32) 

einsetzt. Es ergibt sich 

ESpin−Bahn ≈ 

1 

2m2c2 e2 � 2 me 

4πε0 4πε0�2 �3 � 2 

= m 

� � 2 2 � � 2 2 

e e 

2 4πε0�c 4πε0� 

= α 2 |E1| . (I.2.33) 

Die Größenordnung der durch die Spin-Bahn-Wechselwirkung verursachten ” Feinstruktur“ 

des Spektrums ist also um einen Faktor α 2 kleiner als Bindungsenergien. 

I.3 Spinpräzession und Spinresonanz 

Vernachlässigt man die räumliche Bewegung eines Teilchens mit Spin in einem Magnetfeld, 

lautet der Hamilton-Operator einfach 

H = − g 

2 

e 

m � S · � B(t) = − g e� 

4 m �σ · � B(t) , (I.3.1) 

wobei angenommen wird, dass das Magnetfeld zwar räumlich homogen, aber zeitabhängig 

ist. Im Heisenberg-Bild erhält man also für den Spin-Operator die Bewegungsgleichung 

i� dSj(t) 

dt = [Sj(t), H] = − g 

2 

e 

m [Sj(t), Sk(t)]Bk(t) = −i g e� 

2 m εjkl SlBk(t) . (I.3.2)


Die zeitliche Ableitung von � S(t) lässt sich also schreiben als 

d � S(t) 

dt 

= ge 

2m � S(t) × � B(t) = �m(t) × � B(t) . (I.3.3) 

Auf der rechten Seite taucht also gerade das Drehmoment auf, das ein magnetisches 

Moment �m in einem Feld � B erfährt. Diese Operatorgleichung besagt also, dass die Änderung 

des Spin-Drehimpulses durch das äußere Drehmoment bestimmt wird. Ist � B zeitunabhängig 

und entlang der z-Achse orientiert, also � B = B0�ez, hat man 

dSx(t) 

dt 

mit der Lösung 

= geB0 

2m Sy(t) , 

dSy(t) 

dt 

Sx(t) = Sx(0) cos ω0t + Sy(0) sin ω0t 

Sy(t) = −Sx(0) sin ω0t + Sy(0) cos ω0t 

= −geB0 

2m Sx(t) , 

dSz(t) 

dt 

= 0 (I.3.4) 

Sz(t) = Sz(0) . (I.3.5) 

Der Spin präzediert also um die Feldrichtung, wobei die Spinpräzessionsfrequenz durch 

ω0 = geB0 

2m 

gegeben wird. Für ein Elektron ist ω0 < 0 und 

|ω0| 

2πB 

(I.3.6) 

= g|e| 

4πm = 2, 80 · 1010 s −1 /T = 2, 80 MHz/Gauß (1 Gauß = 10 −4 T) . (I.3.7) 

Weist also der Spin zum Zeitpunkt t = 0 in x-Richtung, d.h. hat man anfangs einen 

Eigenzustand Sx mit Eigenwert � 

2 , 

ergibt sich 

〈Sx(0)〉 = 〈�ex ↑ |Sx(0)|�ex ↑〉 = � 

2 

〈Sy(0)〉 = 0 〈Sz(0)〉 = 0 , (I.3.8) 

〈Sx(t)〉 = � 

2 cos ω0t , 〈Sy(t)〉 = − � 

2 sin ω0t , 〈Sz(t)〉 = 0 . (I.3.9) 

Der Erwartungswert des Spin-Operators rotiert also in mathematisch negativer Drehrichtung 

(für e > 0) in der x-y-Ebene. 

Im Schrödinger-Bild folgt die Zeitentwicklung des Spin-Operators der Gleichung 

i 

− 

|Ψ(t)〉 = e � Ht |Ψ(0)〉 

= e i geB0 2m 

Sz 

� t |Ψ(0)〉 

= e iω0t σz 2 |Ψ(0)〉 

= 

� � � � �� 

ω0t 

ω0t 

cos + iσz sin |Ψ(0)〉 . (I.3.10) 

2 

2


Der Spin rotiert hier also mit der Winkelgeschwindigkeit ω0 um die negative z-Achse. 

Diese Spinpräzession wurde zur Messung von g−2 für das µ (Myon) ausgenutzt: In einen 

Speicherring, der senkrecht zu seiner Ebene von einem homogenen Magnetfeld durchsetzt 

war, wurden in Bewegungsrichtung spinpolarisierte µ gefüllt. Diese kreisen dann mit der 

Zyklotron-Frequenz im Ring, während gleichzeitig der Spin präzediert. Da nun g �= 2, 

” geht die Spinrichtung (im Vergleich zur Zyklotronbewegung) geringfügig vor“. Das µ 

zerfällt im Ring, 

µ → e + νµ + ¯νe , (I.3.11) 

wobei die Elektronen vorzugsweise in die dem µ-Spin entgegengesetzte Richtung emittiert 

werden. Wenn man also die Zahl der Zerfallselektronen misst, wobei die Zähler nur einen 

begrenzten Öffnugswinkel haben und daher nur Elektronen mit vorgegebener Richtung 

registrieren, so wird diese Zahl aufgrund der Spinpräzession periodisch moduliert. Aus der 

Modulationsfrequenz kann man g−2 bestimmen. Nach Berücksichtigung aller Korrekturen 

findet man eine sehr gute Übereinstimmung mit dem theoretischen Wert. Weitere Informationen 

hierzu findet man z.B. in D.H. Perkins: Introduction to High Energy Physics. 

Addison-Wesley, Reading 1982. 

Da ein Spin in einem Magnetfeld � B0 = B0�ez mit einer Winkelgeschwindigkeit ω0 = geB0 

2m 

um die negative z-Achse präzediert, scheint er festzustehen, wenn er aus dem ” mitrotierenden“ 

Bezugssystem betrachtet wird. Man kann das mit Hilfe eines Zusatzfeldes erklären, 

das im rotierenden System auftaucht und das das von außen angelegte Feld gerade kompensiert: 

Rotiert das System mit −ω um �ez, hat man diesem System offensichtlich ein 

effektives � B-Feld der Stärke 

Beff = B0 − 2mω 

ge 

. (I.3.12) 

Wenn man also (zusätzlich zu dem starken“ Feld, in dem der Spin präzediert) noch ein 

” 

” schwaches“ Feld anlegen könnte, das im rotierenden System stationär ist und z.B. in dessen 

x-Richtung weist, dann würde der Spin im rotierenden System nur dieses schwache 

Feld spüren und um dieses präzedieren. Auf diese Weise könnte ein spin up“-Zustand 

” 

durch das Zusatzfeld in einen spin down“-Zustand transformiert werden. 

” 

Im Laborsystem müsste das Zusatzfeld zirkular polarisiert sein, also 

�B = B1 

⎛ ⎞ 

cos ω0t 

⎝− 

sin ω0t⎠ 

, (I.3.13) 

2 

0 

wobei die Frequenz ω0 im Radio-Bereich liegt. Solche Felder sind jedoch nur schwer realisierbar. 

Stattdessen verwendet man ein linear polarisiertes Feld 

⎛ ⎞ 

cos ωt 

�B = B1 ⎝ 0 ⎠ , (I.3.14) 

0


das ja additiv in zwei entgegengesetzt zirkular polarisierte Felder zerlegt werden kann 

�B = B1 

⎛ ⎞ 

cos ωt 

⎝− 

sin ωt⎠ 

+ 

2 

0 

B1 

⎛ ⎞ 

cos ωt 

⎝sin 

ωt⎠ 

. (I.3.15) 

2 

0 

Ein solches Feld erzielt für ω ≈ ω0 den gewünschten Effekt: Transformiert man nämlich 

auf das ” mitrotierende“ System des ersten Anteils, erscheint dieser Anteil stationär. Der 

zweite Anteil entspricht einer hochfrequent (nämlich mit 2ω) ” gegenrotierenden“ Komponente. 

Diese hochfrequente Störung hat im zeitlichen Mittel nur einen geringen Effekt 

und kann daher in guter Näherung vernachlässigt werden. Diese Näherung – Zerlegung eines 

linear polarisierten Feldes in zwei entgegengesetzt zirkular polarisierte Komponenten, 

Transformation in das rotierende System der einen Komponente und Vernachlässigung 

des anderen – wird auch in der Quantenoptik häufig angewandt und als “rotating wave 

approximation (RWA)” bezeichnet. 

Die mathematische Durchführung dieses Gedankens ist nun klar: Ausgangspunkt ist die 

Schrödinger-Gleichung für einen Spin in einem statischen Magnetfeld der Stärke B0 in 

z-Richtung und einem oszillierenden, in x-Richtung linear polarisierten Feld der Stärke 

B1, also 

i� d 

|Ψ(t)〉 = −g 

dt 2 

e� 

2m (B0σz + B1 cos ωt σx) |Ψ(t)〉 . (I.3.16) 

Die Transformation auf ein mit ω rotierendes Bezugssystem wird geleistet durch die 

unitäre Operation 

ωt 

i 

|Ψ(t)〉 = e 2 σz | ˜ Ψ(t)〉 . (I.3.17) 

Daraus folgt 

und somit 

i� d 

ωt 

|Ψ(t)〉 = ei 2 

dt σz 

i d 

dt | ˜ Ψ(t)〉 = 

� ω − ω0 

mit ω0 = geB0 

2m und ω1 = geB1 

4m . 

Jetzt ist 

2 

� 

− �ω 

2 σz | ˜ Ψ(t)〉 + i� d 

dt | ˜ � 

Ψ(t)〉 

ωt 

−i 

cos ωt e 2 σz ωt 

i 

σx e 2 σz = cos ωt σx e iωtσz 

(I.3.18) 

ωt 

−i 

σz − ω1 cos ωt e 2 σz ωt 

i 

σx e 2 σz 

� 

| ˜ Ψ(t)〉 (I.3.19) 

= cos ωt σx(cos ωt + iσz sin ωt) 

= σx 

σy 

(1 + cos 2ωt) + sin 2ωt . (I.3.20) 

2 2


Die Terme mit der Kreisfrequenz 2ω entsprechen der hochfrequenten“ gegenrotierenden 

” 

Komponente. Vernachlässigt man sie, bleibt einfach 

i d 

dt | ˜ � 

ω − ω0 

Ψ(t)〉 = σz − 

2 

ω1 

2 σx 

� 

| ˜ Ψ(t)〉 . (I.3.21) 

Zerlegt man nun den Operator auf der rechten Seite nach Betrag und Richtung, d.h. 

schreibt man 

(ω − ω0) σz − ω1σx = Ω �σ mit 

� 

(I.3.22) 

Ω = (ω − ω0) 2 + ω2 1 und 

�σ = 

ω − ω0 

Ω σz − ω1 

Ω σx, 

so dass �σ 2 = 1, erhält man die Lösung sofort in der Form 

ωt 

i 

|Ψ(t)〉 = e 2 σz Ωt 

−i 

e 2 �σ |Ψ(0)〉 . (I.3.23) 

Ist also der Spin anfangs in Richtung der z-Achse polarisiert, 

|Ψ(0)〉 = |�ez ↑〉 , (I.3.24) 

so erhält man als Amplitude für einen ” Spinflip“ 

ωt 

−i 

〈�ez ↓ |Ψ(t)〉 = e 2 〈�ez ↓ | cos Ωt 

ωt 

−i 

= e 2 

ωt 

−i 

= ie 2 

− i �σ sin Ωt 

2 |�ez ↑〉 

Die Wahrscheinlichkeit für ein Spinflip lautet somit 

P↓(t) = |〈�ez ↓ |Ψ(t)〉| 2 

= ω2 1 2 Ωt 

sin 

Ω2 2 

ω2 1 

= 

(ω − ω0) 2 + ω 2 1 

Der Wert von P↓(t) oszilliert also zwischen 0 und 

� 2 

−i sin Ωt 

� 

〈�ez ↓ |�σ|�ez ↑〉 

2 

ω1 Ωt 

sin . (I.3.25) 

Ω 2 

1 

(1 − cos Ωt) . (I.3.26) 

2 

ω 2 1 

(ω−ω0) 2 +ω 2 1 

mit der Frequenz Ω. Vollstän- 

dige Inversion (d.h. P↓(t) = 1) ist nur möglich für ein genau resonantes Feld (ω = ω0) 

und wird erreicht, wenn Ωt = π. Durch einen solchen π-Puls kann ein Spinzustand also 

gezielt ” umgeschaltet“ werden. In ähnlicher Weise führt ein resonanter π/2-Puls einen 

polarisierten Anfangszustand |�ez ↑〉 in eine gleichgewichtete Superposition von |�ez ↑〉 und 

|�ez ↑〉 über. Fasst man also Spins in einem Magnetfeld als ” qubits“ auf (d.h. als quantenmechanische 

Zwei-Niveau-Systeme, die in einem noch hypothetischen Quantencomputer 

als Träger von Information dienen), so lassen sich einzelne qubits durch derartige Pulse


gezielt manipulieren. 

Bemerkung: Das Konzept der π-Pulse gilt auch für Pulse mit ” langsam“ veränderlicher 

Einhüllenden und kann sogar ohne Benutzung der rotating wave approximation auf Mehr- 

Niveau-Systeme ausgedehnt werden. 6 

Beispiel: Eine wichtige Anwendung der Spinresonanz findet man in der Atomuhr. Es 

soll zunächst eine vereinfachte Anordnung betrachte werden. 

Ein Strahl von Teilchen mit Spin wird durch zwei hintereinander angeordnete Resonatoren 

geschickt, wobei in beiden ein Wechselfeld � B ′ (t) = B1 cos ωt�ex in x-Richtung herrscht. 

Außerdem herrscht überall ein konstantes Feld B0 �ez in z-Richtung. Die Teilchen seien 

anfangs in x-Richtung polarisiert; gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 

Austritt aus dem zweiten Resonator ein Spinflip erfolgt ist. 

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Abbildung I.4: stark vereinfachtes Prinzip einer Atomuhr 

Die Schrödingergleichung für einen Elektronenspin (g = 2) lautet dann 

i� d e� 

|Ψ(t)〉 = 

dt 2m (B0σz + B1 cos ωt σx) |Ψ(t)〉 . (I.3.27) 

Es wird erneut auf ein rotierendes Bezugssystem“ transformiert. 

” 

Mit 

|Ψ(t)〉 = e i ω0t 2 σz | ˜ � 

Ψ(t)〉 ω0 = eB0 

� 

m 

hat man 

i� d 

dt |Ψ(t)〉 = ei ω 0 t 

2 σz 

� 

− �ω0 

2 | ˜ Ψ(t)〉 + i� d 

dt | ˜ � 

Ψ(t)〉 , also 

i d 

dt | ˜ Ψ(t)〉 = − eB1 

2m cos ωt e−i ω 0 t 

2 σz σx e i ω 0 t 

2 σz | ˜ Ψ(t)〉 

In erster Ordnung von B1 also 

| ˜ Ψ(t)〉 = | ˜ Ψ(0)〉 + − eB1 

2m 

� 

� 

(I.3.28) 

= − eB1 

2m cos ωt σx e i ω0t σz | ˜ Ψ(t)〉. (I.3.29) 

� t 

0 

dt ′ cos ωt ′ σx e i ω0t ′ σz | ˜ Ψ(0)〉 , (I.3.30) 

6 Siehe dazu M. Holthaus, B. Just: ” Generalized π-Pulses“, Phys. Rev. A 49, 1950 (1994)


wobei der Spin zum Zeitpunkt t = 0 in den ersten Resonator eintritt. Dann entspricht 

|Ψ(0)〉 = | ˜ Ψ(0)〉 = |�ez ↑〉. 

Es sei nun τ der Zeitpunkt, an dem der Spin aus dem ersten Resonator austritt, und es 

seien T bzw. T + τ diejenigen Zeitpunkte, an denen er in den tweiten Resonator ein- bzw. 

aus ihm austritt. Die Übergangsamplitude für einen Spinflip lautet dann 

da ja 

〈�ez ↓ | ˜ Ψ(T + τ)〉 = ieB1 

2m 

+ ieB1 

2m 

〈�ez ↓ |σx e iω0t σz |�ez ↑〉 = 

� τ 

0 

� T +τ 

T 

dt cos ωt e iω0t 

dt cos ωt e iω0t , (I.3.31) 

� � � 

0 0 

� � 

iω0t −1 e 0 

1 1 0 0 eiω0t � � � 

1 

0 

= e iω0t . (I.3.32) 

Vernachlässigt man erneut die gegenrotierenden“ (schnell oszillierenden) Terme, findet 

” 

man 

〈�ez ↓ | ˜ Ψ(T + τ)〉 = ieB1 

�� τ 

dt e 

4m 0 

i(ω0−ω)t 

� T +τ 

+ dt e 

T 

i(ω0−ω)t 

� 

= ieB1 

� i(ω0−ω)τ e − 1 

4m ω0 − ω 

+ ei(ω0−ω)(T � 

+τ) i(ω0−ω)T − e 

ω0 − ω 

= ieB1 e 

4m 

i(ω0−ω)τ − 1 � i(ω0−ω)T 

1 + e 

ω0 − ω 

� . (I.3.33) 

Das Betragsquadrat diese Ausdrucks ist die gesuchte Spinflipwahrscheinlichkeit 

� � � � 

2 (ω0−ω)τ 

2 

ieB1 sin 2 

P↓ = 

ω0−ω cos 

4m 

2 

2 (ω0 − ω)T 

. 

2 

(I.3.34) 

Da nun τ ≪ T , hat P↓ als Funktion von ω das Aussehen eines Doppelspalt-Interferenzmusters. 

Die Amplitude 〈�ez ↓ | ˜ Ψ(T + τ)〉 beschreibt nämlich eine Interferenz aus zwei Möglichkeiten. 

Entweder flippt“ der Spin im ersten Resonator oder im zweiten; das entspricht 

” 

den beiden Spalten 

� � 

im Doppelspaltexperiment. Die langsam“ veränderliche Einhüllende, 

ω0−ω 

” 

also sin 

2 (ω0−ω)τ 

2 

2 

� 2, entspricht genau dem Beugungsmuster am Einfachspalt. Da 

also P↓ sehr empfindlich von ω abhängt, lässt sich bei Variation der Resonatorfrequenz ω 

die durch das statistische Magnetfeld vorgegebene Frequenz ω0 sehr genau einstellen. Die 

Empfindlichkeit wird durch T bestimmt. 

In einer ” richtigen“ Atomuhr wird allerdings kein Elektronenspin benutzt, sondern der 

Spin eines Atoms (z.B. Cäsium). Der Energieunterschied zwischen ” Spin up“ und ” Spin 

down“ wird dann nicht durch ein von außen angelegtes Feld B0 bestimmt, sondern durch 

ein inneratomares Feld. Damit wird ω0 ein durch das Atom selbst bestimmtes (und damit 

hervorragend reproduzierbares) ” Frequenznormal“.

I.4 Das Stern-Gerlach-Experiment 23 

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Abbildung I.5: Interferenzmuster eines Doppelspaltes 

I.4 Das Stern-Gerlach-Experiment 

Ein Spin, der ein magnetisches Moment �m verursacht, wechselwirkt gemäß dem Hamilton- 

Operator 

H = −�m · � B(�r, t) (I.4.1) 

mit einem Magnetfeld. Ist also das Feld homogen, hat diese Wechselwirkung keinen direkten 

Einfluss auf die räumliche Bewegung des Teilchens. Ist � B dagegen �r-abhängig, 

bewegt sich das Teilchen jedoch in die Raumbereiche, in denen die Wechselwirkungsenergie 

minimiert wird. Ist z.B. �m parallel zu � B orientiert, wird das Teilchen in Bereiche mit 

größeren Feldstärken | � B(�r, t)| gezogen. Ist �m antiparallel zu � B orientiert, bewegt es sich 

in Bereiche mit kleineren Feldstärken. Die Kraft auf das Teilchen ist also abhängig von 

der Spineinstellung 

�F = − � ∇ H = + � ∇ � �m · � B(�r, t) � . (I.4.2) 

Diese Kraft wird im Stern-Gerlach-Experiment ausgenutzt. Im ursprünglichen Experiment 

schossen Stern und Gerlach im Jahre 1922 einen Strahl von Silberatomen durch ein in 

z-Richtung orientiertes inhomogenes Magnetfeld, wobei der Strahl in zwei Komponenten 

aufgespalten wurde. 

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Abbildung I.6: Schematischer Aufbau des Stern-Gerlach-Experiments 

Ein Silberatom hat 47 Elektronen, davon koppeln 46 zu einem Zustand mit Spin Null und 

Bahndrehimpuls Null. Das verbleibende Elektron befindet sich in einem s-Zustand. Daher 

£ 

¥ 

¥ 

¤ 

¤ 

¡ 

¢


wird das gesamte magnetische Moment des Silberatoms nur durch den Spin des ” letzten“ 

Elektrons verursacht. Ist der Spin im Zustand |�ez ↑〉, ist �m antiparallel zu � B. Das Atom 

wird also nach oben abgelenkt (wegen dBz 

dz < 0), ein Zustand |�ez ↓〉 liefert dementsprechend 

eine Ablenkung nach unten. Ein beliebiger Spinzustand kann als Linearkombination 

|Ψ〉 = |�ez ↑〉〈�ez ↑ |Ψ〉 + |�ez ↓〉〈�ez ↓ |Ψ〉 (I.4.3) 

geschrieben werden. Das Feld lenkt die up“-Komponente nach oben und die down“- 

” ” 

Komponente nach unten ab und führt damit zu einer räumlichen Trennung beider Komponenten. 

Ein Teilchen, das nach oben abgelenkt worden ist, hat definitiv den Zustand 

” up“. Eine Stern-Gerlach-Apparatur kann also zur Präparation eines spinpolarisierten 

Atomstrahls verwendet werden7 . 

Es wird nun angenommen, dass ein in x-Richtung spinpolarisiertes Teilchen in die Apparatur 

eintritt. In der z-Basis lautet seine Wellenfunktion dann 

Ψ(�r, t) = 1 

� � 

ψ0(�r, t) 

√ . (I.4.4) 

2 ψ0(�r, t) 

Beim Austritt nach einem Zeitintervall T hat man 

Ψ(�r, t + T ) = 1 

� � 

ψ↑(�r, t + T ) 

√ . (I.4.5) 

2 ψ↓(�r, t + T ) 

Da die beiden separierten Komponenten praktisch nicht überlappen, ist 

ψ↑(�r, t + T ) · ψ↓(�r, t + T ) ≈ 0 , (I.4.6) 

und da der Spin nicht flipt“, ist 

” 

� 

d 3 r|ψ↑(�r, t + T )| 2 � 

= d 3 r|ψ0(�r, t)| 2 � 

= 

Anfangs findet man für den Spinerwartungswert bei �r 

Ψ † (�r, t) ��σ 

2 

� 

Ψ(�r, t) = 

2 �ex 

� 

|ψ0(�r, t)| 2� , also 

d 3 r|ψ↓(�r, t + T )| 2 . (I.4.7) 

〈 � S〉t = � 

2 �ex . (I.4.8) 

Beim Austritt aus der Apparatur findet man dagegen 

Ψ † (�r, t + T ) ��σ 

2 

Ψ(�r, t + T ) = � 

2 �ez 

� |ψ↑(�r, t + T )| 2 − |ψ↓(�r, t + T )| 2� , also 

〈 � S〉t+T = 0 . (I.4.9) 

7 Wird das magnetische Moment durch einen Bahndrehimpuls l verursacht, beobachtet man eine Aufspaltung 

in 2l+1 Komponenten. Das Stern-Gerlach-Prinzip kann daher nur zur Messung des magnetischen 

Moments von Atomen (und Kernen) verwendet werden.


Hier geht der ” verschwindende Überlapp“ ein. Wäre dagegen das Feld homogen, hätte 

man nur die übliche Spinpräzession 

〈 � S〉 hom 

t+T = � 

2 cos ω0T �ex − � 

2 sin ω0T �ey , (I.4.10) 

d.h. die Spinpolarisationsrichtung wird lediglich gedreht, während die Spinpolarisation 

als solche erhalten bleibt. Die Tatsache, dass ein inhomogenes Feld die Spinpolarisation 

auslöscht, kann durch die unterschiedlichen Präzessionsfrequenzen erklärt werden. Teilchen, 

die den Apparat in Abb.I.6 weiter oben durchlaufen, ” sehen“ ein kleineres Feld, als 

Teilchen weiter unten. Ihre Spins präzedieren also langsamer. Die Gleichung (I.4.9) ergibt 

sich als Mittel über die lokalen Präzessionsfrequenzen. Ein inhomogenes Feld dephasiert 

den Spin. 

Damit, wie verlangt, der Mittelwert verschwinden kann, muss die Unsicherheit ∆ω0 der 

lokalen Präzessionsfrequenz die Bedingung ∆ω0 · T � 2π erfüllen. Wegen 

∆ω0 = ge ge dBz 

∆B ≈ ∆z , (I.4.11) 

2m 2m dz 

muss also gelten: 

� � 

� 

� 

ge dBz � 

� 

2π 

�2m 

dz � T � . (I.4.12) 

∆z 

Dabei ist ∆z die Höhe zwischen den Polschuhen (s. Abb.I.6). 

Diese Bedingung an die Stern-Gerlach-Apparatur hat eine einleuchtende Interpretation. 

Der Ablenkwinkel ϕ des Wellenpakets wird durch den Quotienten der Impulskomponenten 

pz und py bestimmt (ϕ ≈ pz 

py ). Dabei wird der Ausgangs-Querimpuls pz durch die 

Inhomogenität bestimmt: 

� � 

� 

pz = � 

ge dBz � 

� 

�2m 

dz � 

� � 

� 

ϕ ≈ � 

ge dBz � 

� 

� 

�2m 

dz � 2 

� 

T , also (I.4.13) 

2 

T 

py 

. (I.4.14) 

Auf der anderen Seite tritt beim Durchgang eines Wellenpakets durch einen Spalt der 

breite ∆z ein Beugungseffekt auf. Die dadurch verursachte Winkelaufweitung δϕ beträgt 

nach der Beugungstheorie 

δϕ ≈ λ 

∆z 

2π� 

= , (I.4.15) 

py∆z 

wobei λ = 2π�/py die de Broglie-Wellenlänge der einfliegenden Teilchen bezeichnet. Die 

Bedingung dafür, dass die beiden separierten Wellenpakete nicht überlappen, lautet offensichtlich 

δϕ � 2ϕ, was nun 

2π� 

py ∆z 

� 

� 

� 2 � 

ge 

�2m 

dBz 

dz 

� 

� 

� 

� 

� 

2 

T 

py 

(I.4.16)


bedeutet, bzw. 

2π 

∆z � 

� 

� 

� 

ge 

�2m 

dBz 

dz 

� 

� 

� 

� T . (I.4.17) 

Das ist genau die bereits vorher mit dem Dephasierungsargument gefundene Bedingung. 

Der Stern-Gerlach-Effekt kann nicht mit freien Elektronen durchgeführt werden. Ist 

∂Bz �= 0, so ist wegen ∂z � ∇ � B = 0 auch ∂Bx 

∂x 

– aufgrund der Symmetrie der Stern-Gerlach-Apparatur – ∂By 

∂y 

Komponente des � B-Feldes in x-Richtung: 

∂Bx 

∂x 

= −∂Bz 

∂z 

+ ∂By 

∂y �= 0. Nimmt man zur Vereinfachung 

= 0, dann erhält man eine 

. (I.4.18) 

Ein Elektron, das sich mit Geschwindigkeit �v in y-Richtung bewegt, erfährt die Lorentz- 

Kraft 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 Bx vBz 

�FL = e ⎝v⎠ 

× ⎝By⎠ 

= e ⎝ 0 ⎠ . (I.4.19) 

0 Bz −vBx 

Aufgrund der z-Komponente dieser Kraft wird das Elektron um den Winkel 

ϑ ≈ ∆pz 

py 

= −evBxT 

mv 

= − e 

m BxT (I.4.20) 

in z-Richtung abgelenkt. Eine anfängliche Ortsunsicherheit ∆x führt daher zu einer Winkelunsicherheit 

� � � � 

� 

δϑ ≈ � 

e ∂Bx � � 

� 

�m 

∂x � T ∆x = � 

e ∂Bz � 

� 

�m 

∂z � T ∆x . (I.4.21) 

Damit der Apparat die beiden Spinkomponenten trennen kann, benötigt man nun 

δϑ � 2ϕ, wobei der Ablenkwinkel ϕ wie in (I.4.14) durch die Inhomogenität ∂Bz 

∂z gegeben 

wird. Für g = 2 hat man also 

� � 

� 

ϕ ≈ � 

e ∂Bz � 

� 

� T 

�m 

∂z � , (I.4.22) 

2 

und somit 

py 

δϑ ≈ 2ϕ py 

. (I.4.23) 

∆px 

Damit der Strahl, wie vorrausgesetzt, in y-Richtung fliegt, ist py > px notwendig, also hat 

man schließlich δϑ > 2ϕ. Die Winkeaufweitung aufgrund der Lorentz-Kraft ist also größer, 

als die Winkeltrennung der beiden Spin-Komponenten. Die Lorentz-Kraft auf das Elektron 

” wischt den Stern-Gerlach-Effekt aus“. Daher wird das Stern-Gerlach-Experiment 

entweder mit ungeladenen Atomen, oder auch mit Ionen durchgeführt. 8 

8 Der Lorentz-Ablenkwinkel δϑ ist umgekehrt proportional zur gesamten Ionenmasse, der Seperationswinkel 

ϕ dagegen umgekehrt proportional zur Elektronenmasse, sofern das magnetische Moment durch 

ein Elektron gegeben wird.

I.5 Addition von Drehimpulsen 27 

I.5 Addition von Drehimpulsen 

In der klassischen Mechanik entspricht die Drehimpulsaddition der üblichen Vektoraddition. 

In der Quantenmechanik liegt der Drehimpulsaddition eine andere Art der Mathematik 

zugrunde, die in den Bereich der Gruppentheorie gehört. Das einfache Beispiel der 

Addition zweier ” Spin 1/2“ zeigt bereits alles wesentliche und soll daher ausführlich vorab 

behandelt werden. 

Betrachtet werden also zwei Teilchen mit Spin 1/2 – z.B. ein Proton und ein Neutron, 

die zu einem Deuterium gebunden sind. Der Spinoperator für das erste Teilchen sei � S1, 

der für das zweite � S2. Dann gilt [ � S1, � S2] = 0, da sich die Operatoren auf verschiedene 

Teilchen beziehen. Der Zustandsraum für das Zwei-Spin-System ist der Produktraum der 

einzelnen Zustände und damit vierdimensional. Wählt man wie üblich die z-Achse als 

Quantisierungsachse, hat man in einprägsamer Schreibweise die Basiszustände |↑ ↑〉, |↑ ↓〉, 

| ↓ ↑〉 und | ↓ ↓〉, wobei der erste Pfeil den Eigenwert von S1z und der zweite den von S2z 

bezeichnte. 

Der Gesamtspin des Systems wird nun durch den Operator � S = � S1 + � S2 beschrieben. Die 

Komponenten dieses Operators gehorchen den Vertauschungsrelationen 

[Sj, Sk] = [S1,j + S2,j, S1,k + S2,k] = [S1,j, S1,k] + [S2,j, S2,k] 

= i� εjkl S1,l + i� εjkl S2,l = 

� � 

i� εjkl S1,l + S2,l 

= i� εjkl Sl (I.5.1) 

und bilden damit erneut einen Drehimpulsoperator. Es lassen sich daher gemeinsame 

Eigenzustände |s, m〉 der Operatoren � S 2 und Sz finden (vgl. Quantenmechanik I, I.3): 

�S 2 |s, m〉 = � 2 s(s + 1) |s, m〉 und (I.5.2) 

�Sz|s, m〉 = � m |s, m〉 . (I.5.3) 

Das Problem der Addition“ zweier Spins besteht also darin, diese Zustände |s, m〉 als 

” 

Linearkombination der obigen Produktbasis zu finden. Nun gilt 

� � 

� � 

Sz | ↑↑〉 = (S1,z + S2,z) | ↑↑〉 = + | ↑↑〉 = � | ↑↑〉 , (I.5.4) 

2 2 

analog erhält man 

Sz | ↑↓〉 = 0 , Sz | ↓↑〉 = 0 , Sz | ↓↓〉 = −� | ↓↓〉 . (I.5.5) 

Damit besitzt Sz die Eigenwerte +�, −� und 0� (zweifach). Man vermutet daher, dass 

die beiden Spins entweder zu einem Gesamtspin 1 koppeln können und dann ein Triplett 

von Zuständen bilden (s = 1, m = +1, 0, −1), oder zu einem Gesamtspin 0, der einem 

Singlett entspricht (s = 0, m = 0). Das wird durch folgende Rechnung bestätigt: Für die 

Leiteroperatoren 

S1± = S1x ± iS1y 

S2± = S2x ± iS2y (I.5.6)


hat man (vgl. Teil I, Abschnitt III.2) 

S1+ | ↑↑〉 = 0 

S1+ | ↓↑〉 = � 

usw. Außerdem gilt 

und daher 

� � � 

1 1 

+ 1 + 

2 2 1 

� 

− 

2 

1 

� 

+ 1 | ↑↑〉 = � | ↑↑〉 (I.5.7) 

2 

S1+S2− = S1xS2x − i S1xS2y + i S1yS2x + S1yS2y 

S1−S2+ = S1xS2x + i S1xS2y − i S1yS2x + S1yS2y (I.5.8) 

�S 2 = ( � S 2 1 + � S 2 2) 2 = � S 2 1 + � S 2 2 + 2 · � S1 · � S2 

= 3 

2 �2 + 2S1zS2z + S1+S2− + S1−S2+ . (I.5.9) 

Daraus folgt sofort 

�S 2 � 

3 

| ↑↑〉 = 

2 �2 + 1 

2 �2 

� 

| ↑↑〉 = � 2 1(1 + 1) | ↑↑〉 (I.5.10) 

und ebenso 

�S 2 | ↓↓〉 = � 2 1(1 + 1) | ↓↓〉 , (I.5.11) 

d.h. | ↑↑〉 = |1, 1〉 und | ↓↓〉 = |1, −1〉. 

Um auch den dritten Zustand |1, 0〉 des Tripletts s = 1 zu konstruieren, benutzt man die 

Leiteroperatoren des Gesamtspins: Es gilt für S− = S1− + S2− bekanntlich 

S− |s, m〉 = � � s(s + 1) − m(m − 1) |s, m〉 , (I.5.12) 

also erhält man bei Anwendung auf |1, 1〉 = | ↑↑〉 

S− | ↑↑〉 = � √ 1 · 2 − 1 · 0 |1, 0〉 

= S1− | ↑↑〉 + S2− | ↑↑〉 

= � 

� 

1 3 1 

· − 

2 2 2 

� 

− 1 

2 

Das liefert sofort die gesuchte Beziehung 

� 

| ↓↑〉 + � √ 1 | ↑↓〉 . (I.5.13) 

|1, 0〉 = 1 

√ 2 (| ↑↓〉 + | ↓↑〉) . (I.5.14) 

Der noch fehlende Singlett-Zustand |0, 0〉 muss dazu orthogonal sein 

|0, 0〉 = 1 

√ 2 (| ↑↓〉 − | ↓↑〉) . (I.5.15)


Die Triplett-Zustände sind daher symmetrisch unter Teilchenaustausch, der Singlett- 

Zustand ist antisymmetrisch. 

Das wesentliche Resultat – die Kopplung von zwei Spin 1/2 liefert entweder einen Gesamtspin 

1 oder einen Gesamtspin 0 – schreibt man symbolisch in der Form 

Da ja 

1 1 

⊗ 

2 2 

= 1 ⊕ 0 . (I.5.16) 

�S1 · � S2 = 1 

2 (� S 2 − � S 2 1 − � S 2 2) = 1 

2 � S 2 − 3 

4 �2 , (I.5.17) 

sind die Zustände |s, m〉 auch Eigenzustände von � S1 · � S2. 

Für einen Triplett-Zustand gilt 

�S1 · � S2 |1, m〉 = 1 

4 �2 |1, m〉 , (I.5.18) 

für das Singlett dagegen 

Also ist 

�S1 · � S2 |0, 0〉 = − 3 

4 �2 |0, 0〉 . (I.5.19) 

P1 = 3 

4 �2 + � S1 · � S2 

ein Projektor auf den Triplett-Anteil, 

P0 = 1 

4 �2 − � S1 · � S2 = 1 − P1 

ein Projektor auf den Singlett-Anteil des Zustandsraums. 

Wirkt schließlich zwischen zwei Spin 1/2-Teilchen ein Spin-Potential der Form 

(I.5.20) 

(I.5.21) 

V = v0 � S1 · � S2 , (I.5.22) 

und ist es in einem Triplett-Zustand attraktiv (v0 < 0), so ist die Wechselwirkung im 

Singlett-Zustand dreifach stärker, jedoch repulsiv.


I.5.1 Addition von zwei beliebigen Drehimpulsen 

Jetzt soll der allgemeine Fall behandelt werden: Ausgangspunkt sind zwei kontinuierliche 

Drehimpulsoperatoren � J1, � J2 mit den zugehörigen Eigenzuständen |ji mi〉 

�J 2 

i |ji mi〉 = � 2 ji(ji + 1) |ji mi〉 

Jiz |ji mi〉 = �mi |ji mi〉 (i = 1, 2) . (I.5.23) 

Da [ � J1, � J2] = 0, erfüllt der Operator 

�J = � J1 + � J2 

erneut die Vertauschungsregeln des Drehimpulses 

(I.5.24) 

[Jk, Jl] = i� εklm Jm . (I.5.25) 

Weiterhin kommutieren auch � J 2 

1 und � J 2 

2 mit � J: Z.B. 

[ � J 2 

1 , Jx] = [J 2 1x + J 2 1y + J 2 1z, J1x + J2x] 

= [J 2 1y + J 2 1z, J1x] 

= 9 J1y[J1y, J1x] + [J1y, J1x]J1y + J1z[J1z, J1x] + [J1z, J1x]J1z 

= i� (−J1yJ1z − J1zJ1y + J1zJ1y + J1yJ1z) 

= 0 . (I.5.26) 

Es lassen sich daher gemeinsame Eigenzustände von � J 2 , � Jz, � J 2 

1 und � J 2 

2 angeben. Diese 

Zustände sollen als 

|j m j1 j2〉 (I.5.27) 

bezeichnet werden 

�J 2 |j m j1 j2〉 = � 2 j(j + 1) |j m j1 j2〉 

Jz |j m j1 j2〉 = �m |j m j1 j2〉 

�J 2 

1 |j m j1 j2〉 = � 2 j1(j1 + 1) |j m j1 j2〉 

�J 2 

2 |j m j1 j2〉 = � 2 j2(j2 + 1) |j m j1 j2〉 . (I.5.28) 

Man beachte, dass zwar [ � J 2 , Jz] = 0, aber [ � J 2 , J1z] �= 0. Wenn j eine ” gute Quantenzahl“ 

ist, dann auch m, nicht jedoch m1 und m2. 

Auf der anderen Seite hat man die Produktzustände 

|j1 m1 j2 m2〉 = |j1 m1〉 |j2 m2〉 , (I.5.29) 

9 Hierbei wurde die bekannte Kommutatorbeziehung [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B verwendet.


die den (2j1 + 1) · (2j2 + 1)-dimensionalen Zustandsraum für den Gesamtdrehimpuls aufspannen. 

Das Problem der Drehimpulsaddition“ besteht nun darin, die möglichen Wer- 

” 

te von j, m zu finden und die Zustände |j m j1 j2〉 als Linearkombination der Elemente 

|j1 m1 j2 m2〉 der Produktbasis anzugeben. Dafür hat man zunächst die Vollständigkeitsrelation 

|j m j1 j2〉 = � 

|j ′ 1 m1 j ′ 2 m2〉〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2 | j m j1 j2〉 . (I.5.30) 

j ′ 1 m1 

j ′ 2 m2 

Die in der Vollständigkeitsrelation auftretenden Entwicklungskoeffizienten, d.h. die Skalarprodukte 

〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2|j m j1 j2〉, werden als Clebsch-Gordan-Koeffizienten bezeichnet. 

Wegen 

und 

〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2| J 2 1 |j m j1 j2〉 = � 2 j ′ 1(j ′ 1 + 1)〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2 | j m j1 j2〉 

= � 2 j1(j1 + 1)〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2 | j m j1 j2〉 (I.5.31) 

〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2| Jz |j m j1 j2〉 = �(m1 + m2)〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2 | j m j1 j2〉 

= �m 〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2 | j m j1 j2〉 (I.5.32) 

sind diese Koeffizienten nur dann von Null verschieden, wenn j ′ 1 = j1, j ′ 2 = j2 und zusätz- 

lich m = m1 + m2. Die obige Entwicklung reduziert sich daher auf 

|j m j1 j2〉 = 

� 

|j1 m1 j2 m2〉〈j1 m1 j2 m2 | j m j1 j2〉 . (I.5.33) 

m1, m2 

(m1+m2=m) 

Man beachte: Der maximal mögliche Wert von m ist j1 + j2. Er tritt genau einmal auf 

(m1 = j1, m2 = j2). Der nächstkleinere Wert, m = j1 + j2 − 1, kommt zweimal vor 

(m1 = j1, m2 = j2 − 1 oder m1 = j1 − 1, m2 = j2). Es gibt daher stets soviele Zustände 

mit gegebenem m wie Zerlegungen der Form m = m1 + m2. Hat man z.B. j1 = 2 und 

j2 = 1, findet man das folgende Schema. 

Allgemeiner gilt 

m m1, m2 

3 2,1 

2 2,0 1,1 

1 2,-1 1,0 0,1 

0 1,-1 0,0 -1,1 

-1 0,-1 -1, 0 -2,1 

-2 -1,-1 -2,0 

-3 -2,-1 

Wert von m Anzahl der Möglichkeiten 

m ≥ |j1 − j2| j1 + j2 + 1 − m 

−|j1 − j2| < m < |j1 − j2| j1 + j2 + 1 − |j1 − j2| 

m ≤ −|j1 − j2| j1 + j2 + 1 − |m|


Um die möglichen Werte von j zu finden, kann man sich an den Werten von m orientieren. 

Offensichtlich ist j = j1 + j2 der maximal mögliche Wert des Gesamtdrehimpulses. Gäbe 

es einen größeren Wert von j, müsste auch das zugehörige m auftreten. Damit findet 

man im (2j1 + 1) · (2j2 + 1)-dimensionalen Zustandsraum genau ein ” Multiplett“ zum 

Drehimpuls j = j1 + j2, bestehend aus 2(j1 + j2) + 1 Zuständen. Der höchste verbleibende 

m-Wert ist nun m = j1 + j2 − 1. Er liefert genau ein Multiplett zu j = j1 + j2 − 1. Dieses 

Argument kann bis zu m = |j1 − j2| fortgesetzt werden und liefert jeweils ein Multiplett. 

Man sieht also: Ber der Kopplung zweier Drehimpulse j1 und j2 kann der resultierende 

Gesamtdrehimpuls j einen der Werte j1 + j2, j1 + j2 − 1, . . ., |j1 − j2| annehmen, also 

|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2 . (I.5.34) 

Jedes Multiplett tritt dabei genau einmal auf 

j1 ⊗ j2 = 

j1+j2 � 

|j1−j2| 

j . (I.5.35) 

Tatsächlich wird der Zustandsraum so vollständig in Teilräume zu festen j zerlegt. Da 

jeder dieser Teilräume die Dimension (2j + 1) besitzt, hat man insgesamt 

� 

|j1−j2| 

j1+j2 

(2j + 1) = 2 j1 + j2 + |j1 − j2| 

2 

(j1 + j2 − |j1 − j2| + 1) + (j1 + j2 − |j1 − j2| + 1) 

= 2max (2min + 1) + 2min + 1 = (2max + 1)(2min + 1) 

j1,j2 j1,j2 

j1,j2 

j1,j2 

j1,j2 

= (2j1 + 1)(2j2 + 1) . (I.5.36) 

Der Zustandsraum wird also durch diese Zerlegung vollständig ausgeschöpft. 

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten erfüllen einfache Orthogonalitätsrelationen. Da auch 

die Zustände |j m j1 j2〉 eine Basis bilden,hat man zunächst 

|j1 m1 j2 m2〉 = � 

|j m j1 j2〉〈j m j1 j2|j1 m1 j2 m2〉 . (I.5.37) 

j 

m=m1+m2 

Multiplikation von links mit 〈j1 m ′ 1 j2 m ′ 2| liefert dann sofort 

� 

j,m 

〈j1 m ′ 1 j2 m ′ 2|j m j1 j2〉〈j m j1 j2|j1 m1 j2 m2〉 = δm1m ′ 1 δm2m ′ 2 

. (I.5.38) 

Ebenso erhält man aus der schon benutzten Entwicklung aus Gleichung I.5.33 

|j m j1 j2〉 = 

� 

|j1 m1 j2 m2〉〈j1 m1 j2 m2 | j m j1 j2〉 (I.5.39) 

m1, m2 

(m1+m2=m) 

die Orthogonalitätsrelation 

� 

m1,m2 

〈j ′ m ′ j1 j2|j1 m1 j2 m2〉〈j1 m1 j2 m2|j m j1 j2〉 = δj j ′ δm m ′ . (I.5.40)


Da die Clebsch-Gordan-Koeffizienten reell gewählt werden können, folgt daraus für j = j ′ , 

m = m ′ 

� 

〈j m j1 j2|j1 m1 j2 m2〉 2 = 1 . (I.5.41) 

m1,m2 

Um die Clebsch-Gordan-Koeffizienten konkret zu berechnen, benutzt man die Leiteroperatoren 

J± = J1± + J2±. Durch ” Anwendung nach rechts“ findet man 

〈j1 m1 j2 m2|J±|j m j1 j2〉 = � � j(j + 1) − m(m ± 1) 〈j1 m1 j2 m2|j m±1 j1 j2〉 . (I.5.42) 

Andererseits ist J + ± = J∓ = J1∓ + J2∓. Durch ” Anwendung nach links“ ergibt sich daher 

〈j1 m1 j2 m2|J1∓ + J2∓|j m j1 j2〉 

= � � j1(j1 + 1) − m1(m1 ∓ 1) 〈j1 m1∓1 j2 m2|j m j1 j2〉 

+ � � j2(j2 + 1) − m2(m2 ∓ 1) 〈j1 m1 j2 m2∓1|j m j1 j2〉 . (I.5.43) 

Gleichsetzen beider Ausdrücke liefert die Rekursionsrelation 

� j(j + 1) − m(m ± 1) 〈j1 m1 j2 m2|j m±1 j1 j2〉 

= � j1(j1 + 1) − m1(m1 ∓ 1) 〈j1 m1∓1 j2 m2|j m j1 j2〉 

+ � j2(j2 + 1) − m2(m2 ∓ 1) 〈j1 m1 j2 m2∓1|j m j1 j2〉 , (I.5.44) 

mit deren Hilfe man alle Koeffizienten bestimmen kann, wenn man zusätzlich noch die 

Normierungsrelation (vgl. Gleichung I.5.41) berücksichtig. 

Beispiel: Für j1 = 4 und j2 = 3 sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten zu j = 5 

gesucht. Die möglichen Werte von m1 und m2 bilden dann das Gitter in Abbildung I.7. 

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Abbildung I.7: Gitter der möglichen Werte von m1 und m2 

Die beiden Ecken in dieser Abbildung müssen ausgespart werden, da sonst m1 + m2 nicht 

mit j = 5 verträglich wäre! 

Auf diesem Gitter verbinden die obigen Rekursionsrelationen Punkte auf Dreiecken in der 

Form, wie in Abbildung I.8 dargestellt.

I.6 Verschiedene Anwendungen der Drehimpulsaddition 34 

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Abbildung I.8: Dreiecke zur Bestimmung der Punkte des Gitters mittels Rekursionsrelationen 

Sind zwei der Eckpunkte bekannt, kann man den dritten berechnen. 

Wählt man die Phase von |j j j1 j2〉 geeignet, kann der ” Startpunkt“ 〈j1 j1 j2 j−j1|j j j1 j2〉 

als positiv vorausgesetzt werden. Auf dem rechten Rand des Gitters gilt dann m1 = j1. 

Ausgehend vom Startpunkt kann man die rechte Spalte des Gitter mit 

� j(j + 1) − m(m − 1) 〈j1 j1 j2 m2|j m−1 j1 j2〉 

= � j2(j2 + 1) − m2(m2 − 1) 〈j1 j1 j2 m2+1|j m j1 j2〉 (I.5.45) 

erhalten. Mit Hilfe der vollen Rekursionsrelationen lassen sich dann alle Gitterpunkte auf 

den Startpunkt zurückführen. Um schließlich den Startpunkt selbst festzulegen, der per 

Konvention reell und positiv sein soll, benutzt man schließlich die Normierungsrelation 

aus Gleichung I.5.41, d.h. 

� 

〈j m j1 j2|j1 m1 j2 m2〉 2 = 1 . (I.5.46) 

m1,m2 

Da die Berechnung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten offensichtlich meist sehr mühsam 

ist, sind sie in tabellierter Form zu finden. Anstelle dieser Koeffizienten verwendet man 

häufig auch das Wignersche 3j-Symbol 

� j1 j2 j3 

m1 m2 m3 

� 

= (−1)j1−j2−m3 

√ 

2j3 + 1 〈j1 m1 j2 m2|j3 −m3 j1 j2〉 . (I.5.47) 

I.6 Verschiedene Anwendungen der Drehimpulsaddition 

I.6.1 Addition eines Spin 1 

2 

und eines Bahndrehimpulses l 

Ein überschaubares (und wichtiges) Beispiel für die Drehimpulsgymnastik“ liefert die 

” 

Addition eines Spin 1 und eines Bahndrehimpulses l. 

2 

Der einfachste Fall ergibt sich für l = 0: Für j1 = 1 

2 , j2 = l = 0 ist nur j = 1 möglich, und 

2 

Für j1 = 1 

〈 1 

2 m1 0 0| 1 

2 

m 1 

2 0〉 = δm1 m . (I.6.1) 

2 , j2 = l �= 0 hat man die beiden Möglichkeiten j = l ± 1. 

Offensichtlich ist 

2 

| 1 

2 m1 = 1 

2 l m2 =l〉 = |l+ 1 

2 

l+ 1 

2 

1 

2 

l〉 . (I.6.2)


Um nun den Zustand |l+ 1 1 m l〉 in der Produktbasis darzustellen (d.h. um die Clebsch- 

2 2 

Gordan-Koeffizienten dieses Zustands zu berechnen), wird auf diese Gleichung der Leite- 

− m)-fach angewandt. Dabei benutzt man 

roperator L− + S− = J− (l + 1 

2 

J−|j m〉 = � � j(j + 1) − m(m − 1) |j m−1〉 

Das liefert nun 

= � � (j + 1 − m)(j + m) |j m−1〉 . (I.6.3) 

1 

l+ 

(J−) 2 −m |l+ 1 

2 

1 

l+ 

= � 2 −m 

1 

l+ 

= � 2 −m 

� 

� 

Auf der anderen Seite ist 

l+ 1 

2 

1 

2 l〉 

(l + 1 

(2l + 1)! 

− m)! 2 (2l + 1 − l − 1 

1 |l+ 2 + m)! 2 

(2l + 1)! 

1 (l + − m)! 2 

(l + 1 

2 

+ m)! |l+ 1 

2 

m 1 

2 

m 1 

2 l〉 

l〉 . (I.6.4) 

J n − = (L− + S−) n = L n − + nL n−1 

− S− , (I.6.5) 

da ja S2 − = 0. Daher ist zunächst L− (l − 1 − m)-fach anzuwenden: 

2 

1 

l− 

(L−) 2 −m | 1 

1 

l− 

= � 2 −m 

1 

l− 

= � 2 −m 

Nun ist schließlich 

und 

S− | 1 

2 

L−| 1 

2 

1 

2 

1 

2 

� 

� 

2 

1 

2 

l l〉 

(l − 1 − m)! 2 

(2l)! 

1 l m+ 〉 = � 

2 

1 (l − − m)! 2 

(l + 1 

2 

= � | 1 

2 

(2l)! 

(2l − l + 1 

1 | 2 + m)! 2 

+ m)! | 1 

2 

� 

1 3 1 · − 2 2 2 

− 1 

2 

1 

2 

1 

2 

l m+ 1 

2 〉 

1 l m+ 〉 . (I.6.6) 

2 

1 1 · (− ) | 2 2 

− 1 

2 

� 

1 l m+ 〉 = � (l + 2 1 

1 1 

− m)(l + + m) | 2 2 2 

l m+ 1 

2 〉 

1 l m+ 〉 (I.6.7) 

2 

Die Zusammenfassung aller Beiträge liefert daher 

|l+ 1 1 m l〉 2 2 = 

� 

1 

(2l + 1)(l + 1 

� 

(l + 

− m) 2 1 1 − m) | 2 2 

� 

+ (l + 1 

1 1 

− m)(l + + m) | 2 2 2 

1 1 l m− 2 2 〉 

� 

1 

2 

1 l m− 〉 . (I.6.8) 

2 

− 1 

2 

l m+ 1 

2 〉 

(I.6.9)


oder 

|l+ 1 

2 

m 1 

2 

l〉 = 

+ 

� 

l + 1 − m 2 

2l + 1 

| 1 

2 

� 

l + 1 + m 2 | 

2l + 1 

1 

2 

− 1 

2 

1 

2 

l m+ 1 

2 〉 

1 l m− 〉 . (I.6.10) 

2 

Diese Zustandsvektoren spannen das (2l + 2)-dimensionale Multiplett zu j = l + 1 

2 auf. 

Das orthogonale Komplement im (4l+2)-dimensionalen Zustandsraum wird offensichtlich 

von den 2l Zuständen 

� 

l + 1 + m 2 | 

2l + 1 

1 

2 

− 1 

2 

1 l m+ 〉 − 2 

� 

l + 1 − m 2 | 

2l + 1 

1 

2 

1 

2 

1 l m− 〉 (I.6.11) 

2 

aufgespannt. Diese Zustände bilden das Multiplett zu j = l − 1 und können daher mit 

2 

den Zuständen 

|l− 1 

2 

m 1 

2 

l〉 (I.6.12) 

identifiziert werden. Die Anwendung von 

�J 2 = � L 2 + � S 2 + 2LzSz + L+S− + L−S+ 

liefert nämlich nach Division durch � 2 

� 

l + 1 + m 2 

2l + 1 

� 

l + 1 

2 

� l(l + 1) + 3 

4 

� 

1 1 − m − | 2 2 

− 1 

2 

l m+ 1 

2 〉 

(I.6.13) 

+ 

+ m 

� 

l(l + 1) − (m + 

2l + 1 

1 1 1 1 1 

)(m − ) | l m− 2 2 2 2 2 〉 

� 

− 

l + 1 − m � � 

2 3 

1 1 1 1 

l(l + 1) + + m − | l m− 4 2 2 2 2 2l + 1 

〉 

− 

� 

l + 1 − m 

� 

2 l(l + 1) − (m − 

2l + 1 

1 1 1 1 1 

)(m + ) | − l m+ 〉 . 2 2 2 2 2 (I.6.14) 

Die Zusammenfassung der 1. und 4. Zeile ergibt 

| 1 

2 

= | 1 

2 

− 1 

2 

1 l m+ 2 〉 

� 

l + 1 + m 2 

� 

· l 2 + l − m + 1 

4 − 

− 1 

2 

l m+ 1 

2 〉 

2l + 1 

� 

l + 1 − m 2 

l + 1 

2 

� 

l + 1 + m 2 

+ m 

� 

(l + 1 

� 

1 + m)(l + − m) 

2 2 

2l + 1 (l2 − 1) 

. (I.6.15) 

4


Die Zusammenfassung der 2. und 3. Zeile liefert 

−| 1 

2 

1 

2 

1 l m− 2 〉 

� 

l + 1 − m 2 

� 

· l 2 + l + m + 1 

4 − 

= −| 1 

2 

− 1 

2 

l m− 1 

2 〉 

2l + 1 

� 

l + 1 + m 2 

l + 1 

2 

− m 

� 

l + 1 − m 2 

� 

(l + 1 

� 

1 + m)(l + − m) 

2 2 

2l + 1 (l2 − 1) 

. (I.6.16) 

4 

Damit ist die angegebene Linearkombination die Eigenfunktion von � J 2 zum Eigenwert 

�2 (l2 − 1 

4 ) = �2 (l − 1 1 

1 

)(l + ), beschreibt also das Multiplett zu j = l − 2 2 2 . 

Damit sind nun auch alle Clebsch-Gordan-Koeffizienten für j1 = 1 

2 und j2 = l bekannt. 

l + 1 

2 

l − 1 

2 

m1 = − 1 

� 2 

1 

l+ 2 −m 

2l+1 

� 

1 

l+ 2 +m 

2l+1 

m1 = + 1 

� 2 

1 

l+ 2 +m 

2l+1 

� 

1 

l+ 2 − 

−m 

2l+1 

I.6.2 Energieaufspaltung durch die Spin-Bahn-Kopplung 

Die Eigenfunktionen |j m l 1 

2 〉 zum Gesamtdrehimpuls � J = � L + � S sind auch Eigenfunktionen 

von � L · � S, denn 

�J 2 = � L 2 + � S 2 + 2 � L · � S ⇒ � L · � S = � J 2 − � L 2 − � S 2 . (I.6.17) 

Das bedeutet 

�L · � S |j m l 1 

2 

für j = l + 1 

2 also 

〉 = �2 

2 

�L · � S |j m l 1 

2 〉 = �2 l 

2 

für j = l − 1 

2 dagegen 

�L · � S |j m l 1 

2 〉 = −�2 (l + 1) 

2 

� j(j + 1) − l(l + 1) − 3 

4 

� 

1 |j m l 〉 , (I.6.18) 

2 

1 |j m l 〉 , (I.6.19) 

2 

|j m l 1〉 

. (I.6.20) 

2 

Damit läßt sich nun eine Voraussage über die Spin-Bahn-Aufspaltung beim Wasserstoffatom 

machen. Der Operator (vgl. Gleichung (I.2.28)) 

HSpin-Bahn = 1 

2mc 2 

1 

r 

dV 

dr � L · � S = 1 

2mc 2 

e 2 

4πε0 

1 

r 3 � L · � S (I.6.21)


führt in erster Ordnung auf die in Abbildung I.9 dargestellten Energiekorrekturen 

∆E l+ 1 

2 

= l ζnl bzw. ∆E l− 1 

2 

0 

= −(l + 1) ζnl , (I.6.22) 

wobei der Spin-Bahn-Parameter 

ζnl = �2 

2mc2 e2 4πε0 

� ∞ 

Rnl(r) 1 

r3 Rnl(r) r 2 dr (I.6.23) 

durch die Radialfunktionen Rnl(r) des Waserstoffatoms gegeben wird (vgl. Quantenmechanik 

I, III.5). 

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Abbildung I.9: Aufspaltung der Energieniveaus in erster Ordnung durch die Spin-Bahn- 

Kopplung gemäß Gleichung (I.6.22) 

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Abbildung I.10: Spin-Bahn-Aufspaltung der 2p-Niveaus im Wasserstoffatom 

Abbildung I.10 zeigt die konkrete Aufspaltung der 2p-Zustände beim Wasserstoffatom. 

Ohne angelegtes Magnetfeld sind die Zustände (2j + 1)-fach entartet. 

Dieses Beispiel verdeutlicht einen allgemeinen Zusammenhang. Der ” Linienschwerpunkt“ 

wird durch die Aufspaltung nicht verschoben, d.h. der mit dem Grad der Entartung 

gewichtetet Mittelwert der Aufspaltungsenergien ∆Ej ist Null: 

l � 2(l + 1 

2 ) + 1� − (l + 1) � 2(l − 1 

2 ) + 1� = l(2l + 2) − (l + 1)2l = 0 . (I.6.24) 

Dieser Zusammenhang ist ein Beispiel für eine Summenregel


Allerdings sieht das tatsächliche Niveauschema anders aus, da die Spin-Bahn-Energie die 

gleiche Größenordnung besitzt, wie die weiteren relativistischen Korrekturen. Die Dirac- 

Gleichung liefert für die Energie eines Zustandes mit den Quantenzahlen n und j den 

Ausdruck 

Enj = En 

� 

1 + α2 

� 

1 

n j + 1 

2 

− 3 

�� 

4n 

(I.6.25) 

2 α2 

mit En = −mc 2n2 (vgl. Quantenmechanik I, III.5). Insbesondere sind dann nach der 

Dirac-Theorie Zustände mit gleichem j entartet. Für die Wasserstoffzustände mit n = 2 

erhält man ein Feinstrukturschema wie in Abbildung I.11. 

Auch die Quantenelektrodynamik hinterläßt im Wasserstoff-Spektrum ihre Spuren. Die 

Vakuumpolarisation, die einer Schwächung des Coulomb-Feldes entspricht, ist in Kernnähe 

am größten. Daher ist der 2s1/2-Zustand tatsächlich weniger stark gebunden, als der 

2p1/2-Zustand – die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Kernnähe ist schließlich größer. Die 

resultierende Aufspaltung des Zustandspaares 2s1/2 − 2p1/2 beträgt 4, 4 · 10 −6 eV (siehe 

letzte Aufspaltung in Abbildung I.11). Die Präzisionsmessung dieses Lamb-Shift ist neben 

der Messung von g−2 die wichtigste experimentelle Stütze der Quantenelektrodynamik. 

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Abbildung I.11: Absenkung der Niveaus im Wasserstoff durch relativistische Korrekturen 

und Lamb-Shift für das Zustandspaar 2s1/2-2p1/2 

I.6.3 Streuung eines Pions an einem Proton 

Eine weitere Anwendung der Addition eines Spin 1 und eines Bahndrehimpulses ergibt 

2 

sich bei der Streuung eines spinlosen Teilchens an einem Teilchen mit Spin 1, 

also z.B. bei 

2 

der Streuung eines π (Spin 0) an einem Proton (Spin 1). 

Der Bahndrehimpuls wird dann 

2 

durch die Relativbewegung der beiden Stoßpartner bestimmt. Die ein- und auslaufenden 

Streuzustände (d.h. die Zustände des π-p-Systems lange vor“ bzw. lange nach“ dem 

” ” 

Stoß) beschreibt man am einfachsten in der Produktbasis als |s ms l ml〉. Der Hamilton- 

Operator HI im Wechselwirkungsbild, der die starke Wechselwirkung und damit den eigentlichen 

Streuprozeß beschreibt, ist rotationsinvariant und kommutiert daher mit dem


Gesamtdrehimpuls � J = � L + � S: 

[HI, � J] = 0 , (I.6.26) 

so dass der Gesamtdrehimpuls erhalten bleibt. Der Spin des Protons kann sich dagegen 

umkehren, wenn sich gleichzeitig der Bahndrehimpuls ändert. Daher beschreibt man den 

Streuprozeß in der Summenbasis |j m s l〉 mit Hilfe der Matrixelemente 

〈j ′ m ′ s l ′ | HI |j m s l〉 . (I.6.27) 

Da HI mit Jz vertauscht, hat man 

0 = 〈j ′ m ′ s l ′ | HI Jz − Jz HI |j m s l〉 

= �(m − m ′ ) 〈j ′ m ′ s l ′ | HI |j m s l〉 (I.6.28) 

und daher m = m ′ . Ebenso folgt j = j ′ aus [HI, � J 2 ] = 0. Die Wechselwirkung ” verbindet“ 

also nur Zustände mit gleichem m und j. 

Schließlich führt ein gegebener Anfangsimpuls l auf j = l ± 1. 

Ein gegebener Wert von 

2 

j führt auf einen Ausgangsdrehimpuls l ′ = j ± 1. 

Daher sind nur Streuprozesse mit 

2 

l ′ = l − 1, l, l + 1 möglich. Ein Zustand mit Relativ-Bahndrehimpuls l hat jedoch die 

Parität (−1) l , so dass die Prozesse l → l ± 1 einem Paritätswechsel entsprechen. Da aber 

die starke Wechselwirkung paritätsinvariant ist, können diese Prozesse nicht auftreten. 

Die einzigen nichtverschwindenden Matrixelemente in der Summenbasis sind damit die 

Diagonalelemente 〈j m s l| HI |j m s l〉. Da diese Matrixelemente wegeb der Rotationsinvarianz 

von HI nicht von der orientierung des Koordinatensystems und damit von m 

abhängen können, haben sie die Form 

〈j m s l| HI |j m s l〉 = R(j, l) . (I.6.29) 

Um nun einen Übergang vom anfangs präparierten Produktzustand |s ms l ml〉 in einen 

ausgangsseitig gemessenen Endzustand |s m ′ s l ′ m ′ Matrixelemente 

l 〉 zu beschreiben, benötigt man die 

= � 

〈s m ′ s l ′ m ′ l| HI |s ms l ml〉 

j,m 

j ′ ,m ′ 

〈s m ′ s l ′ m ′ l|j ′ m ′ s l ′ 〉〈j ′ m ′ s l ′ | HI |j m s l〉〈j m s l|s ms l ml〉 

= δl,l ′ δml+ms,m ′ l +m′ s 

� 

j=l± 1 

2 

〈s m ′ s l m ′ l|j ′ m s l〉〈j m s l|s ms l ml〉 · R(j, l) . (I.6.30) 

Für gegebenen Drehimpuls l enthält das Streumatrixelement einen dynamischen“ An- 

” 

teil, der lediglich Clebsch-Gordan-Koeffizienten und damit keine Informationen über HI 

enthält, sowie die beiden Zahlen R(j, l), die die Wechselwirkung für die beiden Kanäle 

j = l± 1 beschreiben. Um also aus den gemessenen Matrixelementen tatsächlich Aufschluß 

2 

über die starke Wechselwirkung zu erhalten, muß diese eigentlich relevante Information 

von den – letztlich trivialen – Clebsch-Gordan-Koeffizienten absepariert werden.


I.6.4 Addition von drei Drehimpulsen 

Schließlich soll noch die Addition von drei Drehimpulsen behandelt werden. Gegeben sind 

die Drehimpulsoperatoren � J1, � J2 und � J3 mit ihren Eigenzuständen |ji mi〉 (i = 1, 2, 3). 

Gesucht sind gemeinsame Eigenzustände von � J 2 = ( � J1 + � J2 + � J3) 2 und Jz = J1z +J2z +J3z. 

Ausgangspunkt ist die Produktbasis 

|j1 m1 j2 m2 j3 m3〉 = |j1 m1〉|j2 m2〉|j3 m3〉 . (I.6.31) 

Koppelt man zunächst wie üblich � J1 und � J2 zu einem Zwischenwert � J12 – wobei � J3 unbeteiligter 

” Zuschauer“ ist – so hat man 

= 

= 

|j12 m12 j1 j2 ; j3 m3〉 

� 

|j1 m1 j2 m2 j3 m3〉〈j1 m1 j2 m2 j3 m3|j12 m12 j1 j2 ; j3 m3〉 

m 1 ,m 2 

m 1 +m 2 =m 12 

� 

m 1 ,m 2 

m 1 +m 2 =m 12 

|j1 m1 j2 m2 j3 m3〉〈j1 m1 j2 m2|j12 m12 j1 j2〉 . (I.6.32) 

Im zweiten Schritt werden dann � J12 und � J3 gekoppelt. Man erhält dann die Zustände 

= 

|j m (j1 j2) j3 j12〉 

� 

|j12 m12 j1 j2 ; j3 m3〉〈j12 m12 j3 m3|j m j3 j12〉 (I.6.33) 

m 12 ,m 3 

m 12 +m 3 =m 

mit den Eltern j3 und j12 und den Großeltern j1 und j2. Insgesamt hat man daher 

|j m (j1 j2) j3 j12〉 = � 

|j1 m1 j2 m2 j3 m3〉 

m1,m2,m3 

· � 

〈j1 m1 j2 m2|j12 m12 j1 j2〉 〈j12 m12 j3 m3|j m j3 j12〉 . (I.6.34) 

m12 

Die Additionskoeffizienten sind also hier Summen über Produkte von Clebsch-Gordan- 

Koeffizienten. 

Die Tatsache, dass j12 im Resultat als gute Quantenzahl“ auftaucht, zeigt, dass die 

” 

Reihenfolge der Kopplungen wesentlich ist. Die quantenmechanische Drehimpulsaddition 

ist nicht assoziativ. 

Koppelt man z.B. zuerst � J2 und � J3, wird das Resultat durch die Drehimpulsquantenzahl 

j23 zu � J2 + � J3 charakterisiert: 

|j m j1 (j2 j3) j23〉 = � 

|j1 m1 j2 m2 j3 m3〉 

m1,m2,m3 

· � 

〈j2 m2 j3 m3|j23 m23 j2 j3〉 〈j1 m1 j23 m23|j m j1 j23〉 . (I.6.35) 

m23

I.7 Der Isospin 42 

Um die beiden Typen von Zuständen ineinander umzurechnen (also ” die Drehimpulse 

umzukoppeln“), benötigt man die Koeffizienten 〈j m (j1 j2) j3 j12|j m j1 (j2 j3) j23〉, 

die sich offenbar durch Summen über Produkte von vier Clebsch-Gordan-Koeffizienten 

ausdrücken lassen. Diese ” Umkoppelungskoeffizienten“ sind (mit kleinen Änderungen) als 

Racah-Koeffizienten bzw. als Wignersche 6j-Symbole tabelliert worden. 

Diese grundsätzlichen Überlegungen sind in der Atomphysik von erheblicher Bedeutung: 

Ist nämlich in einem Mehrelektronen-Atom die Coulomb-Wechselverschiebung viel größer 

als die Spin-Bahn-Wechselwirkung, koppeln zunächst alle Bahndrehimpulse, 

�L = � 

�Li 

(I.6.36) 

i 

und alle Spins, 

�S = � 

�Si , (I.6.37) 

i 

so dass dann die Gesamtdrehimpulsquantenzahl l und der Gesamtspin s gute Quantenzahlen 

sind. Dieser Fall ist in leichten Atomen realisiert und wird als L-S-Kopplung oder 

auch als Russel-Saunders-Kopplung bezeichnet. Wenn dagegen die Spin-Bahn-Kopplung 

die L- und S-abhängigen Teile der Coulomb-Energie dominiert, koppeln Bahndrehimpuls 

und Spin eines jeden einzelnen Elektrons zu 

�Ji = � Li · � Si . (I.6.38) 

Der Gesamtdrehimpuls des Atoms wird dann aus den � Ji zusammengesetzt. In diesem Fall 

spricht man von j-j-Kopplung, diese ist in schweren Atomen näherungsweise realisiert. 

I.7 Der Isospin 

Zwar verhalten sich das positive Proton und das elektrisch neutrale Neutron im Hinblick 

auf die elektronmagnetische Wechselwirkung sehr verschieden, im Hinblick auf die starke 

Wechselwirkung, die bei kleinen Abständen um Größenordnungen überwiegt, jedoch 

praktisch gleich. Man kann daher – zunächst hypotetisch – Proton und Neutron als zwei 

verschiedene Zustände ein- und desselben Teilchen auffassen, das Nukleon. Das Nukleon 

muss demnach über einen inneren Freiheitsgrad verfügen, der wie der Spin nur zwei Werte 

annehmen kann und daher als Isospin bezeichnet wird. Der Isospin up“-Zustand des 

” 

Nukleons sei das Proton |p〉, der Isospin down“-Zustand das Neutron |n〉. 

” 

Der Hypothese nach ist der Isospin-Operator � I(N) ein Vektoroperator, dessen drei Komponentenden 

Drehimpuls-Vertauschungsrelationen gehorchen 

� � 

I(N), k, I(N), l = iεklmI(N), m . (I.7.1)


Da dem Nukleon die Isospin-Quantenzahl i = 1 

2 

�I 2 

(N) |p〉 = 1 

2 

� 1 

2 + 1� |p〉 

2 |p〉 

zugeordnet ist, hat man weiter 

I(N), 3 |p〉 = 1 

�I 2 

(N) |n〉 = 1 

� 

1 

2 2 + 1� |n〉 

I(N), 3 |n〉 = 1 |n〉 2 (I.7.2) 

Für die üblichen Leiteroperatoren � I(N), ± = � I(N), 1 ± i � I(N), 2 gilt folglich 

I(N), + |p〉 = 0 

I(N), + |n〉 = |p〉 

I(N), − |p〉 = |n〉 

I(N), − |n〉 = 0 . (I.7.3) 

Schließlich kann man den Ladungsoperator Q(N) = I(N), 3 + 1 

2 einführen 

Q(N) |p〉 = |p〉 

Q(N) |n〉 = 0 . (I.7.4) 

Bis hierher sind diese Definitionen jedoch rein formaler Natur. Noch ist es unklar, ob die 

Größe ” Isospin“ auch physikalische Bedeutung besitzt. Um diese Frage zu beantworten, 

werden jetzt neben dem Isospin-Dublett ” Nukleon“ die drei Pionen betrachtet, die in 

konsequenter Fortsetzung des Isospin-Gedankens ein Isospin-Triplett bilden müssen. Man 

beschreibt also die drei Teilchen π + , π 0 , π − durch drei Zustände |π + 〉, |π 0 〉 und |π − 〉, die 

gemeinsame Eigenzustände der Isospin-Operatoren � I 2 

(π) und � I(N), 3 sein sollen: 

�I 2 

+ + 

0 

0 

(π) |π − 〉 = 1(1 + 1) |π − 〉 

�I(π), 3 |π + 〉 = + |π + 〉 

�I(π), 3 |π 0 〉 = 0 

�I(π), 3 |π − 〉 = − |π + 〉 . (I.7.5) 

Mit Hilfe der Leiteroperatoren � I(π), ± = � I(π), 1±i � I(π), 2 lassen sich diese Zustände ineinander 

überführen. Z.B. ist 

�I(π), ±|π 0 〉 = � 1(1 + 1) − 0(0 ± 1) |π ± 〉 = √ 2|π ± 〉 . (I.7.6) 

In einem Pion-Nukleon-Streuexperiment wirkt die starke Wechselwirkung, beschrieben 

durch einen Hamilton-Operator HI zwischen den beiden Teilchen. Die Experimente zeigen 

die Ladungsunabhängigkeit der starken Wechselwirkung: Wenn die starke Wechselwirkung 

zwischen Teilchen wirkt, die sich in einem Zustand mit definiertem Gesamt-Isospin 

befinden, dann ist sie unabhängig von der Ladung des Zustandes und erhält den Gesamt- 

Isospin 

[HI, � I] = 0 . (I.7.7)


Man wird daher die asymptotischen Zustände in einem solchen Streuexperiment in der 

Produktbasis |1 , i(π), 3〉| 1 

2 , i(N), 3〉 beschrieben, den eigentlichen Wechselwirkungsprozess 

dagegen in einer Summenbasis zum Gesamt-Isospin 

�I = � I(π) � I(N) . (I.7.8) 

Da � I(π) und � I(N) Drehimpuls-Eigenschaften besitzen sollen, lässt sich die Summenbasis 

sofort mit Hilfe der Clebsch-Gordan-Koeffizienten konstruieren 

|i i3〉 = 

� 

〉 . (I.7.9) 

i (π), 3 , i (N), 3 

|1 i(π), 3 1 

2 i(N), 3〉〈1 i(π), 3 1 

2 i(N), 3|i i3 1 1 

2 

Schreibt man kurz |π + p〉 für |1 i(π), 3 = 1 1 

Clebsch-Gordan-Koeffizienten für i = 3 

2 sofort 

| 3 

2 

| 3 

2 

| 3 

2 

| 3 

2 

3 

2 〉 = |π+ p〉 

1〉 

= 2 

1 − 〉 = 2 

� 1 

� 2 

3 |π+ n〉 + 3 |π0 p〉 

� 

1 

3 |π− � 

2 p〉 + 3 |π0 n〉 

2 i(N), 3 = 1 

2 

〉, usw., liefert die Auswertung der 

− 3 

2 〉 = |π− n〉 , (I.7.10) 

für den anderen möglichen Wert i = 1 

2 

| 1 

2 

| 1 

2 

1〉 

= 2 

1 − 〉 = 2 

� 2 

� 2 

findet man 

3 |π+ n〉 + 3 |π0 p〉 

� 

1 

3 |π0 � 

2 n〉 + 3 |π− p〉 . (I.7.11) 

Dabei entspricht z.B. | 3 1〉 

einem Zustand, in dem man mit einer Wahrscheinlichkeit 

2 2 

von 1 

3 ein π+ und ein n und mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 

3 ein π0 und ein p findet. 

Die Inversion dieser Beziehungen erlaubt es dann, Zustände mit festem Teilchengehalt“ 

” 

durch Zustände mit festem Isospin auszudrücken: 

|π + p〉 = | 3 

|π 0 p〉 = 

|π − p〉 = 

|π + n〉 = 

|π 0 n〉 = 

|π − n〉 = | 3 

2 

3 

2 2 〉 

� 

2 3 | 3 2 

� 

1 3 | 3 2 

� 

1 3 | 3 2 

� 

2 3 | 3 2 

� 

1 1 〉 − 2 3 

− 1 

2 

1〉 

+ 2 

〉 − 

1 − 〉 + 2 

1 | 2 

1 

2 〉 

� 

2 1 | 3 2 

� 

2 1 | 3 2 

1 

2 〉 

� 

1 1 | 3 2 

− 1 

2 〉 

− 1 

2 〉 

3 − 〉 . (I.7.12) 

2 

Die vorausgesetzte Ladungs- (bzw. Isospin-) Invarianz der starken Wechselwirkung bedeutet 

nun 

〈i i3|HI|i ′ i ′ 3〉 = δii ′ δi3i ′ 3 

R(i) . (I.7.13)


Die Wechselwirkung ändert den Isospin nicht, die Matrixelemente werden allein durch 

den Wert von i bestimmt. Aus dieser Annahme folgen nun konkrete Voraussagen über die 

Pion-Nukleon-Streuung. Dazu werden 

π + + p −→ π + + p (a) 

π − + p −→ π − + p (b) 

π − + p −→ π 0 + n (c) (I.7.14) 

betrachtet, wobei (a) und (b) Streuprozesse sind und (c) die Ladungsaustausch-Streuung 

beschreibt. 

In allen Fällen sei das Proton anfangs in Ruhe, die Energie des eingeschossenen Pions 

sei stets gleich. Gesucht wird der differentielle Wirkungsquerschnitt für den jeweiligen 

Prozess. Im Falle (a) hat man einen Anfangszustand mit i = 3 

2 , i3 = 3. 

Diese Isospin- 

2 

Quantenzahlen werden durch die Wechselwirkung nicht geändert. Die Amplitude Aa für 

diesen Prozess besitzt also nur einen Beitrag aus dem Kanal“ zu i = 

” 3 

2 

Aa = a3/2 . (I.7.15) 

Im Fall (b) lautet der Anfangszustand dagegen 

|π − p〉 = 

� 

1 3 | 3 2 

� 

1 2 1 

− 〉 − | 2 3 2 

1 − 〉 . (I.7.16) 

2 

Die Amplitude dafür, dass die Streuung durch den i = 

” 3-Kanal 

geht“, der Endzustand 

also i = 3 

2 

wieder 

| 3 

2 

besitzt, lautet daher 

� 1 

3 a3/2, die Amplitude für i = 1 

2 

2 

ist − 

� 

2 

3 a1/2. Nun ist 

� 

1 1 − 〉 = 2 3 |π− � 

2 p〉 + 3 |π0 n〉 , (I.7.17) 

im i = 3 

� 

1 

-Kanal erhält man daher die Amplitude 

2 3 a3/2 

� 

1 

3 

und ein π− zu beobachten. Wegen 

| 1 

2 

1 − 〉 = 2 

� 1 

3 |π0 n〉 − 

trägt der i = 1 

2-Kanal � 

− 

� 

2 

3 

dafür, im Endzustand ein p 

� 2 

3 |π− p〉 (I.7.18) 

� 

a1/2 

� 

− 

� 

2 

3 

� 

zur Gesamtamplitude bei 

Ab = 1 

3 a3/2 + 2 

3 a1/2 . (I.7.19) 

Für den Prozess (c) ergibt sich auf die gleiche Weise 

� 

1 

Ac = 3 a3/2 

� 

2 

3 + 

� � � 

2 − a1/2 3 

� 1 

3 = √ 2 

3 (a3/2 − a1/2) . (I.7.20)


Da die jeweiligen Wirkungsquerschnitte proportional zu den Quadraten der Amplituden 

sind (siehe Quantenmechanik I, Abschnitt IV.7), findet man das Verhältnis 

σa : σb : σc = |a3/2| 2 : 1 

9 |a3/2 + 2 a1/2| 2 : 2 

9 |a3/2 − a1/2| 2 . (I.7.21) 

Bei der resonanten“ Schwerpunktsenergie von 154 MeV verläuft der Streuprozess vorwie- 

” 

gend durch den i = 3 

3 

-Kanal (j = 2 2 , ℓ = 1), so dass a3/2 ≫ a1/2. Dann hat man 

σa : σb : σc = 9 : 1 : 2 , (I.7.22) 

was im Experiment gut bestätigt wird. Es bleibt also festzuhalten: 

Die Einführung einer drehimpulsartigen Größe Isospin“, die ein Elementarteilchen cha- 

” 

rakterisiert, führt in Verbindung mit der vorausgesetzten Isospininvarianz der starken 

Wechselwirkung zu einfachen, aber gut bestätigten Relationen zwischen den relativen 

Stärken verschiedener Streuprozesse. 

Der Isospin führt in Verbindung mit der sogenannten Hyperladung“ zu einer Einordnung 

” 

der Baryonen in bestimmte Mulitpletts (z.B. das Dekuplett der Baryonen mit j = 3 

2 ). 

Die Existenz dieser Mulitpletts ist ein direkter Hinweis auf die Existenz von Quarks.

II Streutheorie 

II.1 Formale Lösung der zeitunabh. Schrödinger-Gleichung 

Streuexperimente werden in vielen Bereichen der Physik durchgeführt. In der Hochenergiephysik 

erhält man durch Streuung von Elementarteilchen Aufschlüsse über die fundamentalen 

Wechselwirkungen. In der Festkörperphysik liefert z.B. die Neutronenstreuung 

Informationen über den Gitteraufbau oder die Streuung von niederenergetischen Elektronen 

Informationen über die Struktur von Oberflächen. 

Bei der quantenmechanischen Beschreibung eines solchen Streuexperimentes wird davon 

ausgegangen, dass das einlaufende Wellenpaket groß ist im Vergleich zu Ausdehnung des 

” Targets“, aber klein im Vergleich zu den übrigen Ausdehnungen, so dass es insbesondere 

nicht gleichzeitig mit dem Target und dem Detektor überlappt. Das Target wird durch 

ein raumfestes Potential V (�r) beschrieben, das im Koordinatenursprung lokalisiert sein 

soll. Das einlaufende Wellenpaket kann nach ebenen Wellen entwickelt werden 

� 3 d k 

ψ(�r, t0) = 

(2π) 3 a(�k) e i�k·�r . (II.1.1) 

Dabei sei t0 ein Zeitpunkt lange vor der Wechselwirkung. Außerdem sei die (glatte) Amplitudenfunktion 

a( � k) um � k0 herum zentriert, so dass sich das Paket mit der Geschwindigkeit 

�v = �� k0 

m bewegt. 

Um nun die Zeitentwicklung des Wellenpaketes in Gegenwart des Streupotentials V (�r) 

und damit den Streuprozess zu beschreiben, muss ψ(�r, t0) jedoch nach Eigenzuständen 

ϕ� k (�r) der vollen zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung entwickelt werden: 

Setzt man voraus, dass das Potential im Unendlichen verschwindet, d.h. V (�r) → 0 für 

|�r| → ∞, so erhält man (abgesehen von eventuellen quadratintegrablen Eigenzuständen 

zu negativen Energieeigenwerten) zu jedem nichtnegativen Eigenwert 

E� k = �2� k 2 

2m 

≥ 0 (II.1.2) 

eine uneigentliche Eigenfunktion ϕ� k (�r) durch Lösung des Eigenwertproblems 

� 

− �2 

� 

∆ + V (�r) 

2m 

bzw. der inhomogenen Helmholtz-Gleichung 

ϕ� k (�r) = E� k ϕ� k (�r) , (II.1.3) 

(∆ + k 2 ) ϕ� k (�r) = 2m 

� 2 V (�r) ϕ� k (�r) , (II.1.4) 

ergänzt um die notwendigen Randbedingungen. Sind diese uneigentlichen Eigenfunktionen 

bekannt, hat man eine zweite Entwicklung des einlaufenden Paketes, 

� 3 d k 

ψ(�r, t0) = 

(2π) 3 A(�k) ϕ�k (�r) , (II.1.5) 

47

II.1 Formale Lösung der zeitunabh. Schrödinger-Gleichung 48 

so dass seine Zeitentwicklung nun sofort angegeben werden kann 

ψ(�r, t) = 

� 3 d k 

(2π) 3 A(� i 

− 

k) ϕ�k (�r) e � E� (t−t0) k . (II.1.6) 

(Falls der Schrödinger-Operator auch Bindungszustände besitzt, tauchen diese in der Entwicklung 

des Streuzustandes ψ(�r, t0) natürlich nicht auf.) Um nun zunächst die inhomogene 

Helmholtz-Gleichung lösen zu können, müssen die physikalisch richtigen Randbedingungen 

gestellt werden: Eine Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung zum Eigenwert 

E� k , die zur Beschreibung des Streuprozesses herangezogen werden kann, muss 

asymptotisch (d.h. für große Abstände r von Streuzentrum) übergehen in die Überlagerung 

einer ebenen Welle, die den einlaufenden Anteil beschreibt, und einer auslaufenden 

Kugelwelle (siehe Abbildung II.1) 

ϕ� k (�r) ∼ e i� k·�r + f� k (ϑ, ϕ) eikr 

r 

für r → ∞ . (II.1.7) 

Abbildung II.1: Skizze zur Veranschaulichung des Streuprozesses, einlaufende ebene Welle 

und auslaufende Kugelwelle 

Dabei gibt die Streuamplitude f� k (ϑ, ϕ) die Richtungsabhängigkeit des gestreuten Anteils 

an. Die Polarkoodinaten ϑ und ϕ werden bezüglich der durch � k festgelegten Vorwärtsrichtung 

definiert. 

Nun wird eine Greensche Funktion des Helmholtz-Operators benötigt, die diese Randbedingung 

respektiert, d.h. eine Lösung der Helmholtz-Gleichung mit ” Punktinhomogenität“, 

(∆ + k 2 ) G(�r) = δ(�r) , (II.1.8) 

die keine einlaufende Kugelwelle enthält. Ist nämlich eine solche Greensche Funktion bekannt, 

so ist die Faltung 

2m 

�2 � 

�r 

d 3 r ′ G(�r − �r ′ ) V (�r ′ ) ϕ� k (�r ′ ) (II.1.9)


eine formale Lösung der Helmholtz-Gleichung II.1.4 

(∆ + k 2 ) 2m 

�2 � 

d 3 r ′ G(�r − �r ′ ) V (�r ′ ) ϕ�k (�r ′ ) 

= 2m 

�2 � 

d 3 r ′ δ(�r − �r ′ ) V (�r ′ ) ϕ�k (�r ′ ) 

= 2m 

� 2 V (�r) ϕ� k (�r) . (II.1.10) 

Die Berechnung der Greenschen Funktion erfolgt durch Fouriertransformation: Mit 

� 

G(�r) = 

d3q (2π) 3 � G(�q) e i�q·�r 

und 

� 

δ(�r) = 

d3q ei�q·�r 

(2π) 3 (II.1.11) 

hat man 

�G(�q) = 

1 

k2 . (II.1.12) 

− q2 Daraus folgt dann 

� 

G(�r) = 

d3q (2π) 3 

ei�q·�r k2 . 

− q2 (II.1.13) 

Führt man nun Polarkoordinaten q, ϑ, ϕ bezüglich der durch �r festgelegten Richtung ein, 

ergibt sich 

1 

G(�r) = 

(2π) 3 

� ∞ 

dq q 

0 

2 

k2 − q2 � 2π � π 

iqr cos ϑ 

dϕ sin ϑ dϑ e 

0 0 

1 

= 

(2π) 2 

� ∞ 

dq q 

0 

2 

k2 − q2 � 1 

iqr cos ϑ 

d cos ϕ e 

−1 

1 

= 

(2π) 2 � ∞ 

dq q 

ir 0 k2 − q2 � iqr −iqr 

e − e � 

1 

= 

(2π) 2 � ∞ 

dq q e 

ir 

iqr 

k2 . (II.1.14) 

− q2 −∞ 

Das verbleibende Integral kann mit dem Residuensatz ausgewertet werden, da der Integrand 

wegen r > 0 in der oberen komplexen q-Halbebene geschlossen werden kann. Der 

Integrand besitzt einfache Pole auf der reellen Achse bei q = ±k: 

Res 

q=±k 

q e iqr 

(k − q)(k + q) 

= ± 1 

2 e±ikr . (II.1.15) 

Da verlangt wird, dass die gesuchte Lösung der Helmholtz-Gleichung keine Beitträge 

enthält, die einlaufenden Kugelwellen entsprechen, muss der Integrationsweg C so gewählt 

werden, dass nur der Pol bei q = +k eingeschlossen wird (s. Abbildung II.2).


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¡ 

Abbildung II.2: Wahl des Integrationsweg zur Lösung des Integrals in II.1.14 

Die diesem Integrationsweg entsprechende Greensche Funktion G(�r) wird als retadierte 

Greensche Funktion G+(�r) bezeichnet. Sie ergibt sich abgesehen von Vorfaktoren aus dem 

Residuum des Integranden (II.1.15) bei der Polstelle q = +k: 

G+(�r) = − eikr 

. (II.1.16) 

4πr 

Wenn dagegen nur der Pol bei q = −k eingeschlossen wird, erhält man eine Greensche 

Funktion, die einer einlaufenden Kugelwelle entspricht. Diese wird als avancierte Greensche 

Funktion G−(�r) bezeichnet: 

G−(�r) = − e−ikr 

4πr 


Aufgrund der Randbedingungen ist nur die retardierte Greensche Funktion zur Konstruktion 

von Streulösungen der Helmholtz-Gleichung (II.1.4) brauchbar. Da die allgemeine 

Lösung dieser Gleichung aus der Summe einer ” homogenen“ Lösung und der durch Faltung 

mit der Greenschen Funktion erhaltenen ” inhomogenen“ Lösung (II.1.9) besteht und 

die einzige mit den Randbedingungen verträgliche homogene Lösung die ebene Welle e i� k�r 

ist, hat man schließlich 

ϕ� k (�r) = e i� k�r + 2m 

� 2 

� 

= e i� k�r − 2m 

4π� 2 

� 

d 3 r ′ G+(�r − �r ′ ) V (�r ′ ) ϕ� k (�r ′ ) 

� 

d 3 r ′ eik|�r−�r ′ | 

|�r − �r ′ | V (�r ′ ) ϕ� k (�r ′ ) . (II.1.18) 

Diese Integralgleichung, bei der die gesuchte Streulösung wieder unter dem Integral auftaucht, 

wird auch als Lippmann-Schwinger-Gleichung bezeichnet. Im Unterschied zur ursprünglichen 

Differentialgleichung enthält sie bereits die physikalisch richtigen Randbedingungen. 

Durch Betrachtung der Asymptotik (|�r → ∞|) erhält man daraus sofort eine exakte


Gleichung für die Streuamplitude f� k (ϑ, ϕ). Es gilt dann 

|�r − �r ′ | = � r 2 − 2�r�r ′ � 

1 

+ r 

′2� 2 = r 

≈ r 

� 

1 − �e�r 

�r ′ 

r 

r′2 

+ 

r2 � 1 

2 

1 − 2 �e�r �r ′ 

r 

� 

= r − �e�r · �r ′ , (II.1.19) 

wobei �e�r den Einheitsvektor in �r-Richtung bezeichnet. Es ist also 

� 

ϕ� k (�r) ∼ e i� k�r − 2m 

4π� 2 

für große r. Daraus folgt sofort die exakte Darstellung 

f�k (ϑ, ϕ) = − 2m 

4π�2 � 

d 3 r ′ e ik�e �r·�r ′ 

d 3 r ′ e −ik�e �r·�r ′ 

V (�r ′ ) ϕ�k (�r ′ ) (II.1.20) 

V (�r ′ ) ϕ� k (�r ′ ) . (II.1.21) 

Nachdem nun die stationären Streulösungen ϕ�k (�r) gegeben sind, müssen die Koeffizienten 

A( �k) für die Entwicklung nach diesen Zuständen durch die Koeffizienten a( �k) ausgedrückt 

werden. Zum Zeitpunkt t0 lange vor dem Streuereignis hat man 

� 3 d k 

ψ(�r, t0) = 

= 

(2π) 3 a(� k) e i� k�r 

� d 3 k 

(2π) 3 a(� k) 

� 

ϕ� k (�r) + 2m 

4π� 2 

� 

d 3 r ′ eik|�r−�r ′ | 

|�r − �r ′ | V (�r ′ ) ϕ�k (�r ′ � 

) . (II.1.22) 

Da a( � k) scharf um ein k0 herum zentriert sein soll, sind unter dem Integral nur kleine 

Werte von | � k − � k0| relevant. Für ein mit � k0 einlaufendes Wellenpaket hat man also 

k = 

��k0 + �k − � � � 1 

2 2 

k0 

≈ k0 

� 

1 + 1 

k2 �k0( 0 

�k − � � 

k0) = �n0 · �k , (II.1.23) 

wobei �n0 = � k0 

k0 den Einheitsvektor in � k0-Richtung beschreibt. Damit stößt man bei der 

Berechnung von ψ(�r, t0) auf das Integral 

� d 3 k 

≈ 

(2π) 3 a(� k) e i� k|�r−�r ′ | ϕ� k (�r ′ ) 

� d 3 k 

(2π) 3 a(� k) e i� k�n0|�r−�r ′ | ϕ� k (�r ′ ) 

= ψ(�n0|�r − �r ′ |, t0) ϕ� k0 (�r ′ ) (II.1.24) 

Zum Zeitpunkt t0 ist jedoch wie in Abbildung II.3 das einlaufende Wellenpaket ψ(�r, t0) 

noch weit vom ” Wirkungsbereich“ des Potentials entfernt. Für kurzreichweitige Potentiale 

ist daher in sehr guter Näherung 

ψ(�n0|�r − �r ′ |, t0)V (�r ′ ) ≈ 0 (II.1.25)


¢ 

¥§¦ ¤ 

Abbildung II.3: Skizze des einlaufenden Wellenpakets vor dem Streuzentrum. 

für alle �r ′ . Damit folgt 

� 

ψ(�r, t0) = 

3 d k 

(2π) 3 a(�k) ϕ�k (�r) , (II.1.26) 

was gleichbedeutend ist mit A( �k) = a( �k). Die benötigten Entwicklungskoeffizienten lassen 

sich daher – bei vorrausgesetzter Kurzreichweitigkeit des Potentials – durch eine einfache 

Fouriertransformation berechnen, ohne die komplizierten Streulösungen ϕ�k (�r) heranziehen 

zu müssen. Damit kann auch die Zeitentwicklung des Wellenpakets angegeben werden: 

� 3 d k 

ψ(�r, t) = 

(2π) 3 a(� i 

− 

k) ϕ�k (�r) e � E� (t−t0) k 

� 3 d k 

∼ 

(2π) 3 a(� � 

k) e i�k�r + f�k (ϑ, ϕ) eikr 

� 

r 

Hier beschreibt der erste Summand 

¡ 

£ 

i 

− 

e � E� (t−t0) k . (II.1.27) 

� d 3 k 

(2π) 3 a(� k) e i(� k�r− �k2 

2m (t−t0)) ≡ ψ(�r, t) (II.1.28) 

lediglich ein ungestreut durchlaufendes Wellenpaket. Der zweite Summand wird genähert, 

indem unter dem Integral f�k (ϑ, ϕ) durch f� (ϑ, ϕ) ersetzt wird: 

k0 

� 3 d k 

(2π) 3 a(�k) f�k (ϑ, ϕ) eikr i 

e− � 

r E� (t−t0) k 

(ϑ, ϕ) 

≈ f� k0 

� d 3 k 

(2π) 3 a(� k)e i(� k�n0r− �k2 

2m (t−t0)) 

= 

r 

f� (ϑ, ϕ) k0 ψ0(�n0r, t) . 

r 

(II.1.29) 

Auch der gestreute Anteil erthält also in radialer Richtung die Form des einlaufenden 

Pakets1 . Die wesentliche Information über den Streuprozeß ist daher bereits in der Streuamplitude 

f�k (ϑ, ϕ) enthalten. 

1 Das gilt nicht im Falle von Resonanzstreuung. In diesem Fall wird die Streuamplitude singulär und 

kann nicht aus dem Integral herausgezogen werden. Das Paket wird dann stark verzerrt.

II.2 Partialwellenanalyse 53 

Schließlich soll noch der differentielle Wirkungsquerschnitt für die Streuung berechnet 

werden. Dazu wird von einer stationären Streulösung 

ϕ� k (�r) ∼ e i� k�r + f� k (ϑ, ϕ) eikr 

r 


ausgegangen, die die Streuung eines Stroms von Teilchen mit scharfer Energie E�k = �2k2 2m 

beschreibt. Die einlaufende Stromdichte hat dann den Betrag 

� 

� 

jin = � 

� 

�2im 

� 

e −i�k�r ∇e � i�k�r i 

− e �k�r ∇e � −i� � 

k�r 

� � 

�� = �k 


m 

Die radial auslaufende Stromdichte ist entsprechend 

jr = �k 

m 

|f� k (ϑ, ϕ)| 2 

r 2 

+ O( 1 

r 3 ) . (II.1.32) 

Die Anzahl der je Zeiteinheit nach dΩ gestreuten Teilchen, normiert auf den einfallenden 

Strom, ist daher 

jr r 

dσ = lim 

r→∞ 

2 dΩ 

jin 

= |f� k (ϑ, ϕ)| 2 dΩ bzw. 

dσ 

dΩ = |f� k (ϑ, ϕ)| 2 . (II.1.33) 

II.2 Partialwellenanalyse 

” Weit weg vom Streuzentrum“ wird das Wellenpaket durch die freie Schrödinger-Gleichung 

beschrieben. Gemeinsame Eigenfunktionen von H0 = − �2 

2m∆, � L2 und Lz haben 

bekanntlich die Form 

(αℓ jℓ(kr) + βℓ nℓ(kr)) Yℓm(ϑ, ϕ) (II.2.1) 

mit beliebigen Konstanten αℓ, βℓ und den sphärischen Bessel- und Neumann-Funktionen 

jℓ(kr) und nℓ(kr) (siehe Quantenmechanik I, Abschnitt III.4). Da die sphärischen Neumann-Funktionen 

für r → 0 singulär werden, bilden die Funktionen 

⎧ 

⎪⎨ 0 ≤ k < +∞ 

jℓ(kr) Yℓm(ϑ, ϕ) mit ℓ = 0, 1, 2, 3, . . . 


⎪⎩ 

m = −ℓ, −ℓ+1, . . . , ℓ 

ein vollständiges System für die Entwicklung regulärer Funktionen. Insbesondere kann 

eine ebene Welle nach diesem System entwickelt werden: Betrachtet man zunächst eine 

ebene Welle in z-Richtung, hat man wegen der Azimutalsymmetrie einen Ansatz 

e ikz = e ikr cos ϑ = 

∞� 

αℓ jℓ(kr) Yℓ,0(ϑ, ϕ) , (II.2.3) 

ℓ=0


bzw. 

� π 

αℓ jℓ(kr) = 2π dϑ sin ϑ e 

0 

ikr cos ϑ Yℓ,0(ϑ, ϕ) . (II.2.4) 

Die noch unbekannten Koeffizienten αℓ können jetzt durch Vergleich des asymptotischen 

Verhaltens bestimmt werden: Auf der linken Seite hat man 

αℓ jℓ(kr) → αℓ 

sin(kr − ℓ π 

2 ) 

kr 

= αℓ � i(kr−ℓ 

e 

2ikr 

π 

2 ) π 

−i(kr−ℓ 

− e 2 )� 

für r → ∞. Auf der rechten Seite liefert eine partielle Integration 

2π 

ikr eikr cos ϑ �cos 

ϑ=+1 � 

Yℓ,0(ϑ, ϕ) � − 

cos ϑ=−1 

2π 

� 1 

ikr 

−1 

d cos ϑ e ikr cos ϑ dYℓ,0(ϑ, ϕ) 

d cos ϑ 

Nun ist weiterhin (siehe Quantenmechanik I, Abschnitt III.3) 

mit 

Yℓm(ϑ, ϕ) = (−1) m+|m| 

2 

� 

2ℓ + 1 (ℓ − |m|)! 

4π (ℓ + |m|)! 

P |m| 

ℓ (cos ϑ) e imϕ 




P m ℓ (cos ϑ) = (−1)ℓ 

2ℓ � �ℓ+m d 

(sin ϑ)m 

(sin ϑ) 

ℓ! d cos ϑ 

2ℓ . (II.2.8) 

Daher gilt für ℓ = 0 

� 

2ℓ + 1 

Yℓ,0(ϑ, ϕ) = 

4π Pℓ(cos ϑ) (II.2.9) 

mit dem Legendre-Polynom 

Pℓ(cos ϑ) = (−1)ℓ 

2 ℓ ℓ! 

� �ℓ d 

(sin ϑ) 

d cos ϑ 

2ℓ . (II.2.10) 

Da nun Pℓ(±1) = (±1) ℓ , findet man für Gleichung II.2.6 

� 

4π(2ℓ + 1) � ikr ℓ −ikr 

e − (−1) e 

2ikr 

� � 

1 

+ O 

(kr) 2 

� 


Daraus folgt nun durch Vergleich 

αℓ i −ℓ = � 4π(2ℓ + 1) , (II.2.12) 

also hat man für die in z-Richtung laufende ebene Welle die Entwicklung 

e ikz = 

∞� 

i ℓ� 4π(2ℓ + 1) jℓ(kr) Yℓ,0(ϑ, ϕ) 

= 

ℓ=0 

∞� 

i ℓ (2ℓ + 1) jℓ(kr) Pℓ(cos ϑ) . (II.2.13) 

ℓ=0


Für eine ebene Welle mit beliebiger Richtung gilt dann zunächst 

e i� ∞� 

k·�r 

= i ℓ (2ℓ + 1) jℓ(kr) Pℓ(cos ˜ ϑ) , wobei ϑ ˜ = ∢( �k, �r) . (II.2.14) 

ℓ=0 

Dann lässt sich mit Pℓ(cos ˜ ϑ) mit Hilfe des Additionstheorems“ für Kugelflächenfunk- 

” 

tionen ausdrücken als 

Pℓ(cos ˜ ϑ) = 4π 

2ℓ + 1 

ℓ� 

Y ∗ 

ℓm(ϑk, ϕk) Yℓm(ϑ, ϕ) , (II.2.15) 

m=−ℓ 

wobei ϑk und ϕk die zu � k gehörigen Polarwinkel sind. Somit lautet die gesuchte Entwicklung 

der ebenen Welle nach Kugelwellen schließlich 

e i� k·�r = 4π � 

ℓ,m 

i ℓ jℓ(kr) Y ∗ 

ℓm(ϑk, ϕk) Yℓm(ϑ, ϕ) . (II.2.16) 

Wenn nun das Streupotential zentralsymmetrisch ist, also kurz V (�r) = V (r), kommutiert 

auch H = − �2 

2m∆ + V (r) mit � L2 und Lz. Dann können auch die Streulösungen als gemeinsame 

Eigenfunktionen von H, � L2 und Lz gewählt werden. Sofern das Potential im 

Unendlichen hinreichend schnell verschwindet (genauer: V (r) < const · r−α für große r 

mit α > 1; für das Coulomb-Potential gelten die folgenden Aussagen also nicht), macht 

man für die Streulösungen einen Partialwellenansatz der Form 

∞� uℓ(r) 

ϕ�k (�r) = 

r Yℓ,0(ϑ, ϕ) (II.2.17) 

ℓ=0 

mit dem asymptotischen Verhalten 

uℓ(r) ∼ γℓ sin(kr − ℓ π 

2 + δℓ) . (II.2.18) 

Wegen der vorausgesetzten Zentralsymmetrie des Potentials ist ϕ� k (�r) unabhängig vom 

Azimutalwinkel, so dass die Summation über m entfällt. Ohne das streuende Potential 

hätte man lediglich eine ” durchlaufende“ ebene Welle und daher 

uℓ(r) 

r = cℓ 

sin(kr − ℓ 

jℓ(kr) ∼ cℓ 

π 

2 ) 

, (II.2.19) 

kr 

die im Ansatz eingführten Streuphasen δℓ beschreiben daher für jede einzelne Partialwelle 

die durch das Potential verursachte Phasenverschiebung gegenüber einer freien Kugelwelle. 

Diese Streuphasen sind natürlich nicht nur vom Potential, sondern auch von der 

Energie abhängig, also δℓ = δℓ(k). Damit erhält man also aus dem Partialwellenansatz 

das asymptotische Verhalten 

ϕ�k (�r) ∼ eikr 

∞� 

π 

e−iℓ 2 

iδℓ 

γℓ e 

r 

2i Yℓ,0(ϑ, ϕ) 

− e−ikr 

r 

ℓ=0 

∞� 

ℓ=0 

γℓ e −iδℓ e+iℓ π 

2 

2i Yℓ,0(ϑ, ϕ) (II.2.20)


mit aus- und einlaufenden Kugelwellen. Andererseits muss die übliche Streurandbedingung 

eingehalten werden. Legt man nun das Koordinatensystem so, dass die Richtung 

der einlaufenden ebenen Welle mit der Richtung der z-Achse übereinstimmt, hat man 

ebenso 

ϕ� k (�r) ∼ e ikz + f� k (ϑ) eikr 

∼ eikr 

r 

− e−ikr 

r 

� 

r 

∞� 

i ℓ� 4π(2ℓ + 1) 

ℓ=0 

∞� 

i ℓ� 4π(2ℓ + 1) 

ℓ=0 

π 

e−iℓ 2 

2ik Yℓ,0(ϑ, 

� 

ϕ) + f�k (ϑ) 

e+iℓ π 

2 

2ik Yℓ,0(ϑ, ϕ) . (II.2.21) 

Nun müssen die Koeffizienten der ein- und auslaufenden Kugelwellen in beiden Entwicklungen 

übereinstimmen. Ein Vergleich der einlaufenden Anteile liefert sofort die Koeffizienten 

γℓ 

γℓ = iℓ � 

iδℓ 4π(2ℓ + 1) e . (II.2.22) 

k 

Durch Vergleich der auslaufenden Anteile erhält man dann einen Ausdruck für die Streuamplitude 

f� k (ϑ) =− 

+ 

= 1 

k 

= 1 

k 

∞� 

ℓ=0 

ℓ=0 

ℓ=0 

iℓ π 

� −iℓ 

e 2 

4π(2ℓ + 1) 

k 

2i Yℓ,0(ϑ, ϕ) 

∞� iℓ π 

� e−iℓ 2 

2iδℓ 4π(2ℓ + 1) e 

k 

2i Yℓ,0(ϑ, ϕ) 

∞� e2iδℓ − 1� 

4π(2ℓ + 1) Yℓ,0(ϑ, ϕ) 

2i 

∞� 

e iδℓ sin δℓ (2ℓ + 1) Pℓ(cos ϑ) . (II.2.23) 

ℓ=0 

Damit ist die Streuamplitude vollständig durch die Streuphasen δℓ bzw. durch die Partialwellenamplituden 

Tℓ(k) = e iδℓ sin δℓ (II.2.24) 

festgelegt. Damit kann auch der differentielle Wirkungsquerschnitt durch die Streuphasen 

ausgedrückt werden 

dσ 

dΩ = |f�k (ϑ)| 2 

= 1 

k 2 

+ 1 

k 2 

∞� 

(2ℓ + 1) 2 sin 2 δℓ P 2 ℓ (cos ϑ) 

ℓ=0 

� 

(2ℓ + 1)(2ℓ ′ + 1) sin δℓ sin δℓ ′ 2 cos(δℓ − δℓ ′) PℓPℓ ′ . (II.2.25) 

ℓ


Während also im differentiellen Wirkungsquerschnitt Interferenzterme von Beiträgen verschiedener 

Partialwellen auftreten, ist das für den totalen Wirkungsquerschnitt nicht der 

Fall. Wegen 

� 

findet man 

� 

σ = 

4π 

dΩ PℓPℓ ′ = δℓℓ ′ (II.2.26) 

2ℓ + 1 

dΩ dσ 

dΩ 

= 4π 

k 2 

∞� 

(2ℓ + 1) sin 2 δℓ . (II.2.27) 

ℓ=0 

Wegen e iδℓ = cos δℓ + i sin δℓ und Pℓ(1) = 1 besteht daher ein interessanter Zusammenhang 

zwischen dem totalen Wirkungsquerschnitt und dem Imaginärteil der Vorwärts- 

Streuamplitude 

σ = 4π 

k Im f� k (ϑ = 0) . (II.2.28) 

Dieser Zusammenhang ist als optisches Theorem bekannt. Er beruht darauf, dass durch 

Interferenz der durchlaufenden und der nach vorne gestreuten Welle die Stromdichte im 

Vorwärtsrichtung verringert wird. Diese Verringerung entspricht einer Streuung der Teilchen 

” nach irgendwohin“ und ist damit proportional zum totalen Wirkungsquerschnitt. 

Die zuvor gefundene Darstellung der Streulösungen (vgl. Gl. II.2.20) 

ϕ� k (�r) ∼ eikr 

kr 

∞� 

ℓ=0 

i ℓ� π 

e−iℓ 2 

2iδℓ 4π(2ℓ + 1) e 

2i Yℓ,0(ϑ, ϕ) 

− e−ikr 

∞� 

i 

kr 

ℓ=0 

ℓ� 4π(2ℓ + 1) 

∞� 

= i ℓ � 

(2ℓ + 1) e 

2ikr 

ℓ=0 

e−iℓ π 

2 

2i Yℓ,0(ϑ, ϕ) 

π 

ei(kr−ℓ 2 

2iδℓ ) 

π 

e−i(kr−ℓ 2 

− ) 

2ikr 

� 

Pℓ(cos ϑ) (II.2.29) 

wird besonders einleuchtend, wenn sie auf die sphärischen Hankel-Funktionen 

h (1) 

ℓ (kr) = jℓ(kr) + inℓ(kr) ≡ hℓ(kr) und 

h (2) 

ℓ (kr) = jℓ(kr) − inℓ(kr) = h ∗ ℓ(kr) (II.2.30) 

zurückgeführt wird. Diese Funktionen entsprechen asymptotisch aus- und einlaufenden 

Kugelwellen (vgl. Quantenmechanik I, Abschnitt III.4) 

hℓ(kr) ∼ 

ei(kr−ℓ π 

2 ) 

ikr 


Man hat daher 

∞� 

i ℓ (2ℓ + 1) Rℓ(kr) Pℓ(cos ϑ) (II.2.32) 

ϕ� k (�r) = 

ℓ=0


mit 

Rℓ(kr) = 1 � ∗ 

h 

2 

ℓ(kr) + e 2iδℓhℓ(kr) � . (II.2.33) 

Zum Vergleich: Ohne ein Streupotential hätte man einfach die Entwicklung der ebenen 

Welle nach Kugelwellen 

ϕ� k (�r) = e ikz = 

∞� 

i ℓ (2ℓ + 1)jℓ(kr) Pℓ(cos ϑ) , (II.2.34) 

ℓ=0 

d.h. hier 

Rℓ(kr) = jℓ(kr) = 1 � ∗ 

h 

2 

ℓ(kr) + hℓ(kr) � . (II.2.35) 

Der gesamte Streuprozeß wird also dadurch beschrieben, dass die auslaufenden (nicht aber 

die einlaufenden!) Kugelwellen mit einem Phasenfaktor multipliziert werden. Das bedeutet 

auch, dass die gesamte einlaufende Stromdichte gleich der gesamten auslaufenden ist, 

d.h. die Potentialstreuung ist elastisch. 

Es ist dann jedoch einfach, auch inelastische Streuprozesse zu beschreiben, also Prozesse, 

bei denen einlaufende Teilchen absorbiert werden bzw. Teilchenumwandlungsprozesse 

auftreten. Man schreibt dann 

Rℓ(kr) = 1 � ∗ 

h 

2 

ℓ(kr) + Sℓ hℓ(kr) � , (II.2.36) 

wobei 

Sℓ = Sℓ(E) = sℓ(E) e 2iδℓ(E) 


mit 0 ≤ sℓ(E) ≤ 1. 

In dem Ausdruck für die Partialwellenamplituden ist dann e 2iδℓ durch Sℓ zu ersetzen: 

Tℓ(k) = Sℓ − 1 

2i 

= 1 � 

sℓ cos 2δℓ + isℓ sin 2δℓ − 1 

2i 

� 

= 1 � 

sℓ sin 2δℓ + i(1 − sℓ cos 2δℓ) 

2i 

� . (II.2.38) 

Der gesamte Wirkungsquerschnitt σtot setzt sich nun aus einem elastischen Anteil σel und 

einem inelastischen Anteil σinel zusammen. Der elastische Wirkungsquerschnitt kann wie 

vorher auf die Partialwellenamplituden zurückgeführt werden: 

σel = 4π 

k2 ∞� 

(2ℓ + 1)|Tℓ(k)| 

ℓ=0 

2 

∞� 

(2ℓ + 1) � s 2 � 

ℓ + 1 − 2sℓ cos 2δℓ . (II.2.39) 

= π 

k 2 

ℓ=0


Für die Berechnung des inelastischen Wirkungsquerschnitts betrachtet man zunächst den 

gesamten Strom durch eine hinreichend große Kugeloberfläche um das Streuzentrum. Aufgrund 

der Teilchenabsorbtion ist der einlaufende Strom größer als der auslaufende, der 

Gesamtstrom ist also negativ: 

Mit 

= 

� 

� 

2 � 

dΩ r 

2im 

dΩ r 

2 � 

ℓ,ℓ ′ 

� ϕ ∗ �k 

∂ 

∂ 

∂r ϕ�k − ϕ�k ∂r ϕ∗ �k i ℓ′ −ℓ ′ 

(2ℓ + 1)(2ℓ + 1) Pℓ(cos ϑ)Pℓ ′(cos ϑ) 

� 

· � � ∗ d d 

Rℓ Rℓ ′ − Rℓ 

2im dr dr R∗ ℓ ′ 

� 

� 

2 

= 4πr (2ℓ + 1) · � 

m Im R∗ d 

ℓ 

dr Rℓ . (II.2.40) 

ℓ 

Rℓ(kr) = 1 � ∗ 

h 

2 

ℓ(kr) + Sℓ hℓ(kr) � 

∼ 1 

2 

� 

− 

e−i(kr−ℓ π 

2 ) 

ikr 

+ Sℓ 

π 

i(kr−ℓ 

e 2 ) 

folgt, da für die ” große“ Kugel nur der Zähler differenziert zu werden braucht, 

∼ Im 1 

4 

d 

ikr 

Im R ∗ ℓ 

dr Rℓ 

� i(kr−ℓ 

e π 

2 ) 

ikr − S∗ π 

−i(kr−ℓ 

e 2 

ℓ 

) � � −i(kr−ℓ 

e 

· ik 

ikr 

π 

2 ) 

ikr 

� ikr −ℓ ∗ 

e i − Sℓ e −ikr i ℓ�� e −ikr i ℓ + Sℓ e ikr i −ℓ� 

= Im 1 

4ikr2 = Im −i 

4kr2 � 

+ Sℓ 

� 1 − |Sℓ| 2 + Sℓ e 2ikr (−1) ℓ − S ∗ ℓ e −2ikr (−1) ℓ� 

� �� 

(−1) ℓ 2i Im Sℓ e 2ikr 

= − 1 

4πkr2 Das ergibt für den gesuchten Gesamtstrom schließlich den Ausdruck 

− π 

k 

= �k 

m 

π 

i(kr−ℓ 

e 2 ) 

ikr 

� 


� 1 − |Sℓ| 2� . (II.2.42) 

� 

(2ℓ + 1) 

ℓ 

� � 

1 − |Sℓ| 

m 

2� 

π 

k2 � 

(2ℓ + 1) � 1 − |Sℓ| 2� . (II.2.43) 

ℓ 

Wegen |Sℓ| 2 ≤ 1 ist er negativ für echt inelastische Prozesse und verschwindet für elastische 

Streuung. Der gesamte absorbeirte Fluss ist daher 

+ �k 

m 

π 

k 2 

� 

(2ℓ + 1) � 1 − s 2� ℓ , (II.2.44) 

ℓ

II.3 Bornsche Reihe und Bornsche Näherung 60 

was nach Normierung auf den einlaufenden Fluss jin = �k 

m 

querschnitt 

σinel = π 

k 2 

� 

(2ℓ + 1) � 1 − s 2� ℓ 

ℓ 

den inelastischen Wirkungs- 


liefert. Der totale Wirkungsquerschnitt erhält daher die Form 

σtot = σel + σinel = 2π 

k2 ∞� 

(2ℓ + 1) � � 

1 − sℓ cos 2δℓ . (II.2.46) 

ℓ=0 

Da die Vorwärts-Streuamplitude im inelastischen Fall durch 

f�k (ϑ = 0) = 1 

∞� 

Tℓ(k) (2ℓ + 1)Pℓ(1) 

k 

ℓ=0 

= 1 

∞� � 

sℓ sin 2δℓ + i(1 − sℓ cos 2δℓ) 

2k 

� (2ℓ + 1) (II.2.47) 

ℓ=0 

gegeben wird (vgl. Gleichung II.2.38), hat man erneut den Zusammenhang 

σtot = 4π 

k Im f� k (ϑ = 0) . (II.2.48) 

D.h. das optische Theorem gilt auch bei inelastischer Streuung! 

Im Extremfall eines total absorbierenden Targets hat man sℓ = 0 für alle ℓ, also 

σinel = π 

k2 � 

(2ℓ + 1) und (II.2.49) 

ℓ 

σel = π 

k2 � 

(2ℓ + 1) . (II.2.50) 

ℓ 

Auch für ein vollkommen absorbierendes Target gibt es elastische Streuung ( ” Schattenstreuung“). 

Der elastische Wirkungsquerschnitt ist daher ebenso groß wie der inelastische. 

II.3 Bornsche Reihe und Bornsche Näherung 

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung für die stationären Streulösungen 

ϕ�k (�r) = e i�k�r 2m 

+ 

�2 � 

d 3 r ′ G+(�r − �r ′ ) V (�r ′ ) ϕ�k (�r ′ ) 

= e i�k�r 2m 

− 

4π�2 � 

d 3 r ′ eik|�r−�r ′ | 

|�r − �r ′ | V (�r ′ ) ϕ�k (�r ′ ) (II.3.1) 

legt eine symmetrische Konstruktion dieser Lösungen nahe: Sofern entweder das Potential 

” schwach“ ist, oder das einfallende Teilchen sehr energiereich, wird die einlaufende ebene 

Welle durch das Potential nur wenig verzerrt. Man hat dann in nullter Näherung“ einfach 

” 

ϕ (0) 

� k (�r) = e i� k�r 

(II.3.2)


und erhält eine verbesserte erste Näherung, indem man diese nullte Näherung unter dem 

Integral einsetzt: 

ϕ (1) 

� = e 

k i�k�r 2m 

+ 

�2 � 

d 3 r ′ G+(�r − �r ′ ) V (�r ′ ) e i�k�r ′ 


Dieses Verfahren lässt sich offensichtlich iterieren. Schreibt man die Lippmann-Schwinger- 

Gleichung (II.3.1) formal als 

ϕ� k = ϕ (0) 

� k + GV ϕ� k (II.3.4) 

mit dem Integraloperator 

GV ϕ�k (�r) = 2m 

�2 � 

d 3 r ′ G+(�r − �r ′ ) V (�r ′ ) ϕ� k (�r ′ ) , (II.3.5) 

so erhält man schließlich die sogenannte Bornsche Reihe 

ϕ� k = ϕ (0) 

� k + GV ϕ 0 � k + GV (GV ϕ (0) 

� k ) + . . . 

= 

∞� 

n=0 

(GV ) n ϕ (0) 

� k 


Diese Reihe hängt formal eng mit der geometrischen Reihe zusammen. Aus der Lippmann- 

Schwinger-Gleichung folgt nämlich 

ϕ� k = (1 − GV ) −1 ϕ (0) 

� k 

n=0 

(GV ) n ϕ (0) 

� k 


mit der formalen Lösung 

∞� 

ϕ�k = 


sofern ||GV || < 1, also die Operatornorm des Integraloperator GV klein genug ist. Diese 

Reihe hat eine einfache ” graphische Struktur“: Es bezeichne 

�r 

die in Gegenwart des Potentials propagierende ” volle“ Lösung der freien Schrödinger-Gleichung 

ϕ� k 

eine Lösung der freien Schrödinger-Gleichung, 

ein Wechselwirkungsereignis ( ” Vertex“) mit dem Potential V (�r). 

da auch die Greensche Funktion G+ die Propagation einer freien Lösung beschreibt, hat 

man symbolisch 

= 

+ 

+ 

+ 

�r ′ 

�r ′′ �r ′ 

�r ′′′ �r ′′ �r ′ 

+ (. . .) . (II.3.9)


Um diese Symbole in eine Gleichung zu übersetzen, muß jeder Vertex durch einen Faktor 

2m 

� 2 berücksichtigt werden. Über jede Vertexkoordinate ist zu integrieren. 

In der Praxis beschränkt man sich häufig auf die 1. Bornsche Näherung ϕ (1) 

� k . Diese Näherung 

ist auch wichtig für die Berechnung der Streuamplitude. Gemäß (II.1.21) hat man 

die Integralgleichung 

f� k (ϑ, ϕ) = − 2m 

4π� 2 

� 

d 3 r ′ e −i�k ′ �r ′ 

V (�r ′ ) ϕ(�r ′ ) (II.3.10) 

mit � k ′ = k �r 

r , deren Auswertung die Kenntnis der exakten Streulösung ϕ� k (�r ′ ) vorraussetzt. 

Ersetzt man jedoch unter dem Integral ϕ�k (�r ′ ) durch ϕ�k (�r ′ ) (0) = ei�k�r ′ 

, so erhält man die 

einfach auszurechnende 1. Bornsche Näherung für die (elastische) Streuamplitude 

f�k (ϑ, ϕ) ≈ − 2m 

4π�2 � 

d 3 r ′ e −i�k ′ �r ′ 

V (�r ′ = − 

) 

2m 

4π�2 � 

d 3 r ′ e i(�k− �k ′ )�r ′ 

V (�r ′ ) . (II.3.11) 

In dieser Näherung ist die Streuamplitude lediglich die Fouriertransformierte des Potentials 

bzgl. des Differenzenvektors �k − �k ′ . 

Die Bedingung dafür, daß diese Näherung anwendbar ist, lautet offensichtlich 

� 

� (1) 

ϕ � (�r) − ϕ 

k (0) 

� (, �r) 

k � � 

� ≪ �ϕ (0) 

� (�r) 

k � � , also (II.3.12) 

2m 

� 2 

�� 

� 

� 

� 

d 3 r ′ G+(�r − �r ′ ) V (�r ′ ) e i�k�r ′ 

� 

� 

� 

� ≪ 1 . (II.3.13) 

Für ein zentralsymmetrisches Potential hat man 

� 

d 3 r ′ G+(�r − �r ′ ) V (r ′ ) e i� k ′ �r ′ 

� 

= 2π 

≈ − 1 

� ∞ 

2 

� ∞ 

= − 

0 

� 

dϑ sin ϑ − 1 

4π 

eik|�r−�r ′ | 

|�r − �r ′ � 

V (r 

| 

′ ) e ikr′ cos ϑ 

dr ′ r ′2 

� 1 

0 

−1 

dr ′ r ′2 

� 1 

d cos ϑ 

−1 

eikr′ 

r ′ V (r′ ) e ikr′ cos ϑ 

dr ′ eikr′ ′2 

r 

r ′ V (r′ sin kr′ 

) 

kr ′ , (II.3.14) 

wobei vorrausgesetzt wurde, daß �r = 0 für das Integral charakteristisch ist. Damit erhält 

man das Gültigkeitskriterium für die 1. Bornsche Näherung in der häufig benutzen Form 

m 

�2 �� 

� ∞ 

� 

k � dr V (r) � e 2ikr − 1 �� ≪ 1 . (II.3.15) 

0 

Wie erwartet kann diese Kriterium entweder für schwache Potentiale oder für hochenergetische 

Teilchen erfüllt werden.


Beispiel: Es soll nun die Streuamplitude für die Streuung an einem abgeschirmten 

Coulomb-Potential (Yukawa-Potential, vgl. Quantenmechanik I, IV.7) berechnet werden: 

also 

V (r) = − κ 

r e−µr , (II.3.16) 

f�k (ϑ) = 2kκ 

4π�2 � 

d 3 r e−µr 

r 

e i(,� k− � k ′ )�r . (II.3.17) 

Führt man jetzt Polarkoordinaten r, θ, φ bzgl. der durch die Richtung von �k − �k ′ gegebenene 

z-Achse ein, erhält man 

f�k (ϑ) = mκ 

�2 � ∞ 

dr r e 

0 

−µr 

� 1 

d cos θ e 

−1 

i|�k− �k ′ = 

|t cos θ 

mκ 

�2 � ∞ 

dr r e 

0 

−µr ei|� k−�k ′ |r −i| − e �k− �k ′ |r 

i| �k − �k ′ = 

|r 

mκ 

�2 1 

i| �k − �k ′ � ∞ � 

dr e 

| 0 

−(µ−i|�k− �k ′ |)r (µ+i| 

− e �k− �k ′ � 

|)r 

= mκ 

�2 1 

i| �k − �k ′ � 

| 

1 

µ − i| �k − �k ′ | − 

1 

µ + i| �k − �k ′ � 

| 

= 2mκ 

�2 1 

| �k − �k ′ | 2 . 

+ µ 2 


Für die Streuung am Yukawa-Potential erhält man also mit | �k − �k ′ | = 2k sin(ϑ/2) den 

differentiellen Wirkungsquerschnitt in 1. Bornscher Näherung in der Form 

dσ 

dΩ = |f�k (ϑ)| 2 � 

2mκ 

= 

4�2k2 � 

1 

� 

2 ϑ µ2 

sin + 2 4k2 � . (II.3.19) 

Im Grenzfall µ → 0 folgt mit E = �2 k 2 

2m dann 

dσ 

dΩ = 

� 

κ 

4E 

�2 1 


4 ϑ sin 2 

Das ist genau der klassische Rutherford-Wirkungsquerschnitt. Dieses Produkt wurde bereits 

in Quantenmechanik I, IV.7 erhalten – dort auf der Grundlage der zeitabhängigen 

Störungsrechnung in erster Ordnung (bzw. der ” Goldenen Regel“). Ein Vergleich beider 

Argumentationsketten lohnt sich. 

Schließlich soll noch die 1. Bornsche Näherung für die Streuphasen angegeben werden. Im 

Partialwellenansatz 

∞� uℓ(r) 

ϕ�k (�r) = 

r Yℓ,0(ϑ, ϕ) (II.3.21) 

n=0


gehorchen die Funktionen uℓ(r) der Anfangsbedingung uℓ(0) = 0 und besitzen das asymptotische 

Verhalten 

uℓ(r) ∼ γℓ sin(kr − ℓπ/2 + δℓ) . (II.3.22) 

Sie ergeben sich durch exakte Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung 

u ′′ 

� 

ℓ (r) + k 2 ℓ(ℓ + 1) 

− 

r2 − 2m 

� 

V (r) uℓ(r) = 0 . (II.3.23) 

�2 Ohne Streupotential hat man dagegen 

v ′′ 

ℓ (r) + 

� 

k 2 − 

ℓ(ℓ + 1) 

r 2 

� 

vℓ(r) = 0 (II.3.24) 

mit vℓ(0) = 0. Lösungen sind die Funktionen vℓ(r) = ˜γℓ kr jℓ(kr) mit dem asymptotischen 

Verhalten 

vℓ(r) ∼ ˜γℓ sin(kr − ℓπ/2) . (II.3.25) 

Multipliziert man nun die Gleichung (II.3.23) mit vℓ, sowie (II.3.24) mit uℓ, subtrahiert 

beide und integriert über r, so erhält man, wenn man den Potentialterm auf die rechte 

Seite bringt 

� ∞ 

0 

Nun ist 

dr � vℓu ′′ 

ℓ − uℓv ′′ � � 

ℓ = vℓu ′ ℓ − uℓv ′ � 

ℓ 

�∞ � 

� = 

0 

2m 

�2 vℓ(r) u ′ ℓ(r) − uℓ(r) v ′ ℓ(r) 

� ∞ 

dr V uℓvℓ . (II.3.26) 

� 

∼ γℓ ˜γℓ k sin � kr − ℓπ/2 � cos � � � � � � 

kr − ℓπ/2 + δℓ − cos kr − ℓπ/2 sin kr − ℓπ/2 + δℓ 

� 

= −γℓ ˜γℓ k sin δℓ . (II.3.27) 

Somit hat man die exakte Integralgleichung 

sin δℓ = − 2m 

�2 � ∞ 

dr V (r) uℓ(r) r jℓ(kr) , (II.3.28) 

γℓ 

0 

deren Auswertung wieder die Kenntnis der vollen Radialfunktionen uℓ(r) vorraussetzt. 

Wenn die Streulösungen jedoch durch das Potential nur wenig modifiziert werden, hat 

man näherungsweise 

uℓ(r) ≈ γℓ kr jℓ(kr) und damit (II.3.29) 

sin δℓ ≈ − 2m 

�2 � ∞ 

dr V (r) 

k 

� kr jℓ(kr) �2 . (II.3.30) 

0 

Das ist die 1. Bornsche Näherung für die Streuphasen. Diese Näherung ist ” gut“, wenn 

die rechte Seite der Gleichung klein gegen Eins ist. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten. 

0

II.4 Streuung an Potentialen endlicher Reichweite 65 

• Ist K klein, so muß vℓ(r) ∼ kr jℓ(kr) klein im Potentialbereich bleiben. Nun wächst 

vℓ(r) für kleine r wie (kr) ℓ+1 . Wegen 

� 

vℓ(r) + k 2 ℓ(ℓ + 1) 

− 

r2 � 

vℓ(r) = 0 (II.3.31) 

besitzt diese Funktion einen Wendepunkt für kr = � ℓ(ℓ + 1). Die obige Näherung 

für die Streuphasen ist also anwendbar, wenn die Potentialreichweite r0 die Bedingung 

r0 ≪ �� ℓ(ℓ + 1) 

�k 


erfüllt. Das entspricht der Bedingung, daß der klassische Stoßparameter (d.h. der 

Quotient aus Drehimpuls und Impuls) groß im Vergleich zur Potentialreichweite sein 

soll. 

• Bei hochenergetischen Projektilen mit großer Wellenzahl k lautet das Gültigkeitskriterium 

wegen der Beschränktheit von kr jℓ(kr) einfach 

2m 

�2 � ∞ 

dr |V (r)| ≪ 1 , (II.3.33) 

k 

0 

sofern das Integral existiert. 

II.4 Streuung an Potentialen endlicher Reichweite 

Es wird nun vorausgesetzt, dass V (r) = 0 für r > a. In diesem Fall werden die Partialwellen 

für r > a durch 

R > ℓ 

1 � ∗ 

(r) = h 

2 

ℓ(kr) + e 2iδℓ hℓ(kr) � 


gegeben. Für den Fall r < a müssen die Partialwellen R < ℓ 

Gleichung bestimmt werden. Um R > ℓ 

man die Stetigkeit von Rℓ(r) und d 

drRℓ(r), also auch die der logarithmischen Ableitung 

d ln R < ℓ (r) 

dr 

� 

� 

� 

� 

� r=a 

� 

d ∗ h dr ℓ + e 

= cℓ = 

2iδℓ 

�� 

� 

hℓ � 

� 

h ∗ ℓ + e2iδℓ hℓ 

Mit hℓ(kr) = jℓ(kr) + inℓ(kr) ergibt das 

� 

d 

jℓ − inℓ + e dr 

2iδℓ (jℓ + inℓ) � 

jℓ − inℓ + e2iδℓ � 

� 

� 

� = cℓ 

(jℓ + inℓ) 

bzw. 

(r) aus der radialen Schrödinger- 

(r) bei r = a richtig anschließen zu können, benötigt 

� r=a 

� r=a 


�� 2iδℓ 1 + e jℓ + i � e 2iδℓ 

� � 

− 1 nℓ cℓ = � 1 + e 2iδℓ 

� djℓ 

dr + i � e 2iδℓ 

� dnℓ 

− 1 

dr 





� � 2iδℓ 1 + e � � 

djℓ 

− cℓjℓ + i 

dr � e 2iδℓ 

� 

− 1 � � 

dnℓ 

− cℓnℓ = 0 . (II.4.5) 

dr 

Division liefert schließlich 

1 + e2iδℓ 

− 

i (e2iδℓ − 1) = cot δℓ = 

dnℓ − cℓnℓ 

dr 

djℓ − cℓjℓ 

dr 


wobei alle Funktionen an der ” Nahtstelle“ r = a auszuwerten sind. 

Betrachtet man als Beispiel ein Hartkugelpotential, d.h. 

� 

∞ , r ≤ a 

V (r) = 

0 , r > a , 

so ist Rℓ(a) = 0 und folglich cℓ = ∞. Das ergibt 

cot δℓ = nℓ(ka) 

jℓ(ka) 

Wegen j0(z) = 



sin z 

z und n0(z) cos z = − folgt speziell für ℓ = 0 

z 

cot δ0 = − cot ka , d.h. 

δ0 = −ka (mod π) . (II.4.9) 

Im allgemeinen Fall hat man 

jℓ(z) ∼ 

z ℓ 

(2ℓ + 1)!! 

(2ℓ − 1)!! 

und nℓ(z) ∼ − 

zℓ+1 (II.4.10) 

für |z| ≪ 1. Damit erhält man für ka ≪ 1 aus der in Gleichung II.4.6 angegebenen 

Anschlussbedingung 

� 

1 

ℓ−1 kℓ(ka) − cℓ(ka) (2ℓ+1)!! 

tan δℓ ≈ 

ℓ� 

� 

� 

1 

1 

−(2ℓ − 1)!! −k(ℓ + 1) 

Damit folgt 

= 

δℓ ∼ (ka) 2ℓ+1 

2ℓ + 1 

[(2ℓ + 1)!!] 2 (ka)2ℓ+1 ℓ − cℓa 

ℓ + 1 + cℓa 

(ka) ℓ+2 − cℓ (ka) ℓ+1 


für k → 0 . (II.4.12) 

Bei niederenergetischen Streuprozessen werden die Partialwellen mit ℓ ≥ 1 stark unterdrückt. 

Daher hat man im Grenzfall E → 0 reine s-Wellen-Streuung; die Streuung wird 

dann isotrop 

dσ 

dΩ = sin2 δ0 

k 2 . (II.4.13)


Für das Hartkugelpotential ergibt sich wegen δ0 = −ka dann 

σ = 4πa 2 , (II.4.14) 

d.h. der totale Wirkungsquerschnitt für die Streuung an einem Harkugelpotential beträgt 

im Niederenergie-Grenzfall das vierfache des geometrischen Querschnitts. 

Es wird nun die Streuung an einem sphärischen Potentialtopf behandelt, also 

� 

−V0 , r ≤ a 

V (r) = 

0 , r > a , 


wobei V0 > 0. Die hier gewonnenen Resultate können auf alle kurzreichweitig-attraktiven 

Potentiale übertragen werden. Die Partialwellen im ” Innenraum“ lauten dann 

R < ℓ (r) = jℓ(qr) mit q = 1� 

2m(V0 + E) , (II.4.16) 

� 

also erhält man die Anschlusskoeffizienten 

cℓ = q j′ ℓ (qa) 

jℓ(qa) 


Die für ka ≪ 1 hergeleitete Näherung für die Streuphasen in Gleichung II.4.11 zeigt, dass 

), sofern 

tan δℓ singulär wird, also δℓ = (n + 1 

2 

ℓ + 1 + cℓa = 0 . (II.4.18) 

Dann wird der Beitrag σℓ der ℓ-ten Partialwelle zum totalen Wirkungsquerschnitt maximal, 

nämlich 

σℓ = 4π 

k2 (2ℓ + 1) sin2 � (n + 1 

2 )π� = 4π 

(2ℓ + 1) . (II.4.19) 

k2 Um dieses Maximum zu verstehen, betrachte die Bedingung für das Auftreten von Bindungszuständen 

im sphärischen Potentialtopf 

q j′ ℓ (qa) 

jℓ(qa) = iκ h′ ℓ (iκa) 

hℓ(iκa) 


wobei 

q = 1� 

2m(V0 + E) 

� 

E 

κ 

< 

= 

0 

1� 

2m(−E) . 

� 


Für einen schwach gebundenen Zustand mit κa ≪ 1 gilt in guter Näherung die Vereinfachung 

hℓ(iκa) = jℓ(iκa) + inℓ(iκa) ≈ inℓ(iκa). Wegen 

(2ℓ − 1)!! 

nℓ(z) ∼ − 

zℓ+1 und n ′ (2ℓ − 1)!!(ℓ + 1) 

ℓ(z) ∼ + 

zℓ+1 (II.4.22)


tritt ein Bindungszustand mit kleiner Bindungsenergie auf für 

q j′ ℓ (qa) 

jℓ(qa) 

≈ −iκ (ℓ + 1) 

iκa 


Das ist genau die Bedingung für das Auftreten des Maximums von σℓ, sofern E > 0: Der 

partielle Wirkungsquerschnitt σℓ wird maximal, wenn die Energie des streuenden Teilchens 

mit der Enregie einer Kontinuumsresonanz zum Drehimpuls ℓ übereinstimmt. Man 

spricht dann von Resonanzstreuung. 

Entwickelt man 

ℓ + 1 + cℓ(E)a = 0 + (E − ER)c ′ ℓ(ER)a + . . . , (II.4.24) 

erhält man die Streuphasen in Resonanznähe in der Form (vergleiche Gleichung II.4.11) 

tan δℓ ≈ −γ (ka)2ℓ+1 

E − ER 

wobei die Konstante γ durch 

2ℓ + 1 

γ = − 

[(2ℓ + 1)!!] 2 

+ O � (ka) 2ℓ+1� , (II.4.25) 

ℓ − cℓ(ER)a 

c ′ ℓ (ER)a 


gegeben wird und ER die Resonanzenergie bezeichnet. Schreibt man jetzt die Partialwellenamplituden 

in der Form 

Tℓ(k) = e2iδℓ − 1 

2i 

und berücksichtigt 

= 1 e 

2i 

2iδℓ − 1 

e2iδℓ � � 

2iδℓ e + 1 

+ 1 

1 − i tan δℓ = e2iδℓ + 1 

e 2iδℓ + 1 − e2iδℓ − 1 

e 2iδℓ + 1 = 

so ergibt sich 

Tℓ(k) = 

tan δℓ 

1 − i tan δℓ 

≈ 

2 

e 2iδℓ + 1 



−γ(ka) 2ℓ+1 


E − ER + iγ(ka) 2ℓ+1 

Daraus folgt für den partiellen Wirkungsquerschnitt 

σℓ = 4π 

k2 (2ℓ + 1) |Tℓ(k)| 2 = 4π 

� 

2ℓ+1 γ(ka) 

(2ℓ + 1) 

k2 �2 (E − ER) 2 + [γ(ka) 2ℓ+1 2 . (II.4.30) 

] 

Das ist die Breit-Wigner-Formel für Resonanzstreuung. Die Maxima im partiellen Wirkungsquerschnitt 

entsprechen also Polen der Partialwellenamplituden bei 

E = ER − iγ(ka) 2ℓ+1 



in der komplexen Energieebene. 

Schließlich soll noch die s-Wellen-Streuung am Potentialtopf behandelt werden: Für ℓ = 0 

ist 

R < 0 (r) = j0(qr) = sin(qr) 

qr 

das ergibt 

� 

cos(qr) 

c0 = − 

r 

sin(qr) 

qr2 � � 

qr 

� 

� 

� 

sin(qr) 


� r=a 

= q cot(qa) − 1 

a 


Daraus folgt für die Streuphase δ0 nach Gleichung II.4.6 der Ausdruck 

� 

dj0(kr) 

− c0j0(kr) 

� 

dr 

� 

tan δ0 = 

� , (II.4.34) 

− c0n0(kr) 

dn0(kr) 

dr 

also mit n0(kr) = − cos(kr) 

kr 

tan δ0 = 

= cos(ka) − q 

= 

cos(ka) sin(ka) 

− a ka2 sin(ka) cos(ka) 

+ a ka2 k 

� r=a 

− � q cot(qa) − 1 

+ � q cot(qa) − 1 

a 

cot(qa) sin(ka) 

sin(ka) + q 

cot(ka) cos(ka) 

k 

q 

k 

tan(qa) − tan(ka) 

1 + k tan(qa) tan(ka) 

q 

= 2 � � 

k 

tan arctan q tan(qa) 

� 

� 

− ka 

� sin(ka) 

a ka 

� cos(ka) 

ka 


Daraus folgt für die s-Wellen-Streuphase 

� 

k 

δ0 = arctan q tan(qa) 

� 

− ka mod π . (II.4.36) 

Falls tan(qa) endlich bleibt (d.h. falls qa �= (2n + 1) π, 

d.h. falls die Topftiefe nicht so 

2 

gewählt ist, dass ein neuer Bindungszustand an der Kontinuumskante auftritt), findet 

man also für kleine Energien des einfallenden Teilchens 

tan(qa) − ka mod π 

� 

= −ka 1 − tan(qa) 

� 


qa 

δ0 ≈ k 

q 

Mit σ = 4π 

k2 sin2 δ0 erhält man den totalen Wirkunsquerschnitt 

σ ≈ 4πa 2 

� 

1 − tan(qa) 

�2 . (II.4.38) 

qa 

2 Hier wird das Additionstheorem des Tangens benutzt: tan(x − y) = tan x−tan y 

1+tan x tan y


Also gilt σ = 0 wenn tan(qa) 

= 1. Dieses gegenintuitive Verschwinden des totalen Wirkungs- 

qa 

querschnitts entspricht dem Ramsauer-Effekt: Streut man Elektronen an Edelgasatomen, 

so beobachtet man bei E = 0.7 eV einen extrem niedrigen totalen Wirkungsquerschnitt. 

Da das Wechselwirkungspotential zwischen einem Elektron und einem Edelgasatom sehr 

schnell abfällt, kann es durch ein Topfpotential modelliert werden. Die obige Überlegung 

liefert daher eine qualitative Erklärung dieses Phänomens. 

Da die Energie der Bindungszustände mit ℓ = 0 aus 

q cot(qa) = − 1� 

2m|E| (II.4.39) 

� 

bestimmt wird, taucht bei Veränderung der Topftiefe ein neuer s-Bindungszustand auf, 

wenn 

qa = a� 

2m(0 + V0) = (2n + 1) 

� 

π 


2 

Dann ist tan(qa) = ∞ und daher für k → 0 

δ0 = π 

2 

mod π . (II.4.41) 

Beim Auftauchen eines neuen Bindungszustandes geht δ0 durch ein ungeradzahliges Vielfaches 

von π 

2 und wächst um π. Im Grenzfall k → 0 wird daher δ0, in Abhängigkeit von 

der Topftiefe betrachtet, zu einer Stufenfunktion 

δ0(0) = Nπ , (II.4.42) 

wobei N die Zahl der s-Bindungszustände angibt. Das ist ein Beispiel für das Levinson- 

Theorem. Für kleine k variiert δ0 linear mit k. Man findet 

δ0 = −ka0 + O � k 3� 

mod π . (II.4.43) 

Die Größe a0 wird als s-Wellen-Streulänge bezeichnet. Für das Topfpotential kann a0 

sofort aus dem Resultat von Gleichung II.4.35 abgelesen werden: 

� � 

tan q0a 

a0 = a 1 − 

q0a 

mit q0 = 1� 

2mV0 . 

� 


Dann ist sin 2 δ0 = (ka0) 2 + O (k 4 ), so dass der totale Wirkungsquerschnitt für kleine 

Energien durch die s-Wellen-Streulänge bestimmt wird: 

σ = 4πa 2 0 + O � k 2� . (II.4.45) 

Entsprechend gilt für die Streuamplitude 

f� k (ϑ) ≈ 1 

k 

e 2iδ0 − 1 

2i 

−→ − a0 



für k → 0. Eine genauere Näherung erhält man, wenn man von dem bereits in Gleichung 

II.4.29 benutzten Ausdruck für die Partialwellenamplitude ausgeht: 

T0(k) = 

tan δ0 

1 − i tan δ0 

≈ −ka0 

1 + i ka0 

für ka0 ≪ 1 . (II.4.47) 

Die Partialwellenamplitude besitzt also einen Pol bei k = i . Dieser entspricht einem 

a0 

Bindungszustand mit der Energie EB = − �2 

2ma 2 0 

dann 

σ ≈ 4π 

k2 |T0(k)| 2 ≈ 4π 

k2 = 2π�2 /m 

E − EB 

k 2 a 2 0 

1 + k 2 a 2 0 

= 4πa2 0 

1 + k 2 a 2 0 

. Für den Wirkungsquerschnitt ergibt sich 

= 

� 2 k 2 

2m 

4π �2 

2m 

+ �2 

2ma 2 0 


Damit hängt die Streulänge bzw. der Wirkungsquerschnitt sehr empfindlich von einem 

Bindungszustand nahe der Kontinuumskante ab. 

Eine graphische Interpretation der Streulänge erhält man durch Betrachtung der Wellen- 

funktion. Man hat 

R > 0 = 1 

2 

� 

h ∗ 0 + e 2iδ0 h0 

� 

= 1 

2 eiδ0 

�� 

cos δ0 − i sin δ0 j0 − in0 + cos δ0 + i sin δ0 j0 + in0 

� 

= 1 

2 eiδ0 

� 

cos δ0j0 − i cos δ0n0 − i sin δ0j0 − sin δ0n0 

� 

+ cos δ0j0 + i cos δ0n0 + i sin δ0j0 − sin δ0n0 

= e iδ0 � cos δ0j0(kr) − sin δ0n0(kr) � . (II.4.49) 

Das ergibt für kleine k mit 

e iδ0 cos δ0 = 1� 

� 2iδ0 e + 1 ≈ 1 (II.4.50) 

2 

e iδ0 sin δ0 = 1� 

� 2iδ0 e − 1 ≈ δ0 ≈ −ka0 


2 

und nicht zu große r dann für u > 0 = rR > 0 die Näherung 

u > 0 ≈ 

sin kr 

k 

− ka0 

cos kr 

k ≈ r − a0 . (II.4.52) 

Also beschreibt die Streulänge den Ort, an dem die ” äußere“ (potentialfreie) Radialfunktion 

u > 0 die Achse schneiden würde, wenn man sie ohne Berücksichtigung des Potentials 

nach ” Innen“ fortsetzen würde. Für lediglich schwach attraktive Potentiale ohne Bindungszustand 

ist a0 negativ (vgl. Abbildung II.4(A)), beim Auftauchen eines Bindungszustandes 

an der Kontinuumskante wird a0 singulär (vgl. Abbildung II.4(B)). Weitere 

Erhöhung der Potentialstärke führt dann zunächst zu einer positiven Streulänge (vgl. 

Abbildung II.4(C)).

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£ 

Abbildung II.4: 

III Wechselwirkung von Strahlung mit Materie 

III.1 Wechselwirkung mit einem klassischen Strahlungsfeld 

In der klassischen Elektrodynamik gehorchen die Felder � E(�r, t) und � B(�r, t) den Maxwell- 

Gleichungen 

�∇ · � E(�r, t) = 1 

ε0 

ϱ(�r, t) (III.1.1) 

�∇ · � B(�r, t) = 0 (III.1.2) 

�∇ × � E(�r, t) = − ∂ 

∂t � B(�r, t) (III.1.3) 

�∇ × � B(�r, t) = 1 

c2 ∂ 

∂t � E(�r, t) + 1 

ε0c2 �j(�r, t) (III.1.4) 

8 m 

mit der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c = 2, 99792 · 10 und der dielektrischen Kon- 

s 

−12 AS 

stanten ε0 = 8, 8542 · 10 . Nach einer räumlichen Fouriertransformation, also 

�E(�r, t) = 

usw., wird daraus 

1 

(2π) 3/2 

� 

i � k · � E 1 ( � k, t) = 1 

ε0 

V m 

d 3 k � E( � k, t) e i� k·�r , (III.1.5) 

ϱ( � k, t) (III.1.6) 

i�k · � B( �k, t) = 0 (III.1.7) 

i�k × � E( �k, t) = − ∂ 

∂t � B( �k, t) (III.1.8) 

i � k × � B( � k, t) = 1 

c 2 

∂ 

∂t � E( �k, t) + 1 

ε0c2 �j( �k, t) . (III.1.9) 

1 Um der einfacheren Schreibweise willen werden hier die Feldgrößen im Orts- und im Fourierraum 

durch ihr Argument unterschieden. 

¢¡ 

£ 

72

III.1 Wechselwirkung mit einem klassischen Strahlungsfeld 73 

Die ersten beiden dieser Gleichungen legen die longitudinalen Komponenten � E||( � k, t) und 

�B||( � k, t) der elektrischen und magnetischen Felder fest, d.h. die Projektion von � E( � k, t) 

und � B( � k, t) auf � k 

k : 

�E||( � k, t) = − i� k 

ε0k 2 ϱ(� k, t) (III.1.10) 

�B||( � k, t) = 0 . (III.1.11) 

Diese Gleichungen lassen sich mit den üblichen Fourier-Techniken sofort in den Ortsraum 

übertragen. Zunächst gilt, dass 

1 

(2π) 3/2 

� 

d 3 k 1 

k2 ei� k·�r 1 

= 

(2π) 1/2 

� ∞ � 1 

ikr cos ϑ 

dk d cos ϑ e 

0 −1 

1 

= 

(2π) 1/2 

� ∞ 

dk 

0 

eikr − e−ikr ikr 

� � � ∞ 

2 1 sin z π 1 

= 

dz = , (III.1.12) 

π r 0 z 2 r 

� �� 

also auch 

�∇ 

� π 

2 

1 

r = 

1 

(2π) 3/2 

� 

π 

2 

d 3 k i� k 

k 2 ei� k·�r . (III.1.13) 

Daher ist � π 

2 � ∇ 1 

r die Fouriertransformierte von i�k k2 . Weiterhin hat man das Faltungstheorem: 

Sind F ( �k) und G( �k) die Fouriertransformierten von f(�r) und g(�r), so ist 

F ( �k) · G( �k) = 

1 

(2π) 3/2 

� 

d 3 r f(�r) e −i�k·�r 1 

(2π) 3/2 

� 

d 3 r ′ g(�r ′ ) e −i�k·�r ′ 

= 

1 

(2π) 3 

� 

d 3 r f(�r − �r ′ ) e −i�k·(�r−�r ′ � 

) 

d 3 r ′ g(�r ′ ) e −i�k·�r ′ 

= 

1 

(2π) 3 

� 

d 3 � 

r d 3 r ′ f(�r − �r ′ ) g(�r ′ ) e −i�k·�r , (III.1.14) 

folglich ist das Produkt F ( �k)G( � 1 

k) die Fouriertransformierte der Faltung (2π) 3/2 

� 

3 ′ d r f(�r− 

�r ′ )g(�r ′ ). Da nun � E||( �k, t) = − i�k k2 · 1 

ε0 ϱ(�k, t), findet man sofort 

�E||( � 1 

k, t) = 

(2π) 3/2 

� 

d 3 r ′ 

� � 

π 

− 

2 � 1 

∇r 

|�r − �r ′ � 

1 

ϱ(�r, t) 

| ε0 

= − 1 

� 

d 

4πε0 

3 r ′ ϱ(�r, t) � 1 

∇r 

|�r − �r ′ | 

(III.1.15) 

sowie 

�B||(�r, t) = �0 . (III.1.16)


Das magnetische Feld ist also rein transversal. Das longitudinale elektrische Feld stimmt 

mit dem Coulomb-Feld überein, das durch die Ladungsverteilung ϱ(�r, t) ohne Retardierung 

(d.h. ” instantan“) hervorgerufen wird. Daher bilden die longitudinalen Felder keine 

unabhängigen Freiheitsgrade. Sie sind entweder Null oder können durch ϱ ausgedrückt 

werden. Im Unterschied dazu beschreiben die Transversalfelder � E⊥ und � B⊥ = � B, d.h. die 

Projektionen von � E( � k, t) und � B( � k, t) in die zu � k senkrechte Ebene, echte unabhängige 

Freiheitsgrade mit den Bewegungsgleichungen 

∂ 

∂t � B( �k, t) = −i�kx � E⊥( �k, t) (III.1.17) 

∂ 

∂t � E⊥( �k, t) = c 2 i�kx � B( �k, t) − 1 

�j⊥( �k, t) . (III.1.18) 

ε0 

Bekanntlich lässt sich ein elektromagnetisches Feld auch mit Hilfe von Potentialen � A(�r, t) 

und φ(�r, t) beschreiben, die mit den tatsächlichen beobachtbaren Feldern gemäß 

�E(�r, t) = − � ∇ φ(�r, t) − ∂ 

∂t � A(�r, t) (III.1.19) 

�B(�r, t) = � ∇ × � A(�r, t) (III.1.20) 

zusammenhängen. Im reziproken Raum wird daraus 

�E( � k, t) = −i � k φ( � k, t) − ∂ 

∂t � A( � k, t) (III.1.21) 

�B( � k, t) = i � k × � A( � k, t) . (III.1.22) 

Diese Potentiale sind nicht eindeutig. Die Felder � E(�r, t) und � B(�r, t) bleiben invariant, 

wenn die Potentiale mit Hilfe einer Eichfunktion χ(�r, t) gemäß 

�A(�r, t) −→ � A ′ (�r, t) = � A(�r, t) + � ∇ χ(�r, t) (III.1.23) 

φ(�r, t) −→ φ ′ (�r, t) = φ(�r, t) − ∂ 

χ(�r, t) 

∂t 


” umgeeicht werden“ (vgl. Quantenmechanik I, Abschnitt I.5). Die Fourier-Darstellung 

�A( �k, t) −→ � A ′ ( �k, t) = � A( �k, t) + i�k χ( �k, t) (III.1.25) 

φ( �k, t) −→ φ ′ ( �k, t) = φ( �k, t) − ∂ 

∂t χ(�k, t) (III.1.26) 

zeigt, dass bei einer solchen Eichtransformation nur � A||( � k, t) und φ( � k, t), nicht aber das 

transversale Vektorpotential � A⊥ verändert werden: 

�A ′ ⊥( � k, t) = � A⊥( � k, t) . (III.1.27) 

Ferner zeigen die beiden Gleichungen (III.1.21) und (III.1.22), dass die transversalen 

Felder � E⊥( � k, t) und � B( � k, t) nur von dieser invarianten Komponente des Vektorpotentials 

abhängen: 

�E⊥( � k, t) = − ∂ 

∂t � A⊥( � k, t) (III.1.28)


�B( � k, t) = i � k × � A⊥( � k, t) . (III.1.29) 

Die Eichfreiheit lässt sich ausnutzen, um ein Problem durch geschickte Wahl der Eichung 

zu vereinfachen. Zur Beschreibung der Wechselwirkung von Strahlung mit Materie benutzt 

man häufig die sogenannte Coulomb-Eichung, in der die Identität 

�∇ · � A( � k, t) = 0 (III.1.30) 

erfüllt ist, also insbesondere auch � A||( � k, t) = 0. In der Coulomb-Eichung ist also das 

Vektorpotential ” rein transversal“, so dass diese Eichung auch als transversale Eichung 

bezeichnet wird. 

Aus der Gleichung (III.1.21) folgt in dieser Eichung 

�E||( � k, t) = −i � k φ( � k, t) . (III.1.31) 

Andererseits hat man (III.1.10), also insgesamt für die Coulomb-Eichung 

�E||( � k, t) = −i � k 

ε0k 2 ϱ(� k, t) , (III.1.32) 

bzw. mit Hilfe des Faltungssatzes 

1 

φ(�r, t) = 

(2π) 3/2 

� 

d 3 r ′ 

� 

π 1 

2 |�r − �r ′ ϱ(�r 

| 

′ , t) 

ε0 

� 

1 

= d 

4πε0 

3 r ′ ϱ(�r ′ , t) 

|�r − �r ′ . (III.1.33) 

| 

Also verschwindet in der Coulomb-Eichung das longitudinale Vektorpotential. Das skalare 

Potential stimmt mit dem Coulomb-Potential der gleichzeitigen Ladungsverteilung ϱ(�r, t) 

aus der Elektrostatik überein. Die unabhängigen Feldvariablen dieser Eichung sind also 

das transversale Vektorpotential � A⊥( �k, t) und seine Geschwindigkeit“ 

” 

˙�A⊥( � k, t) = − � E⊥( � k, t) . (III.1.34) 

Die Energie des Strahlungsfeldes ist 

E = ε0 

� 

d 

2 

3 r � � 

E( � � 2 

k, t) + c B� 2 

(�r, t) , (III.1.35) 

wobei hier zunächst noch das gesamte elektrische Feld � E = � E⊥ + � E|| eingeht 2 . Die Ener- 

2 Zur Orientierung ein Überblick über die Dimensionen. Man hat 

� � 

�E 

Kraft 

= 

Ladung 

� � Ladung 

ε0 = 

2 

, also 

Arbeit · Länge 

� �B � = 

Kraft 

Ladung · Geschwindigkeit 

� 

ε0 � E � Ladung 

= 

2 � �2 Kraft 

= 

Arbeit · Länge Ladung 

Arbeit 

Volumen 

� 

ε0c 2 B� 2� = Arbeit � � 2 

εc E � × B� Arbeit · Länge 

= 

Volumen 

Volumen · Zeit = 

Arbeit 

Fläche · Zeit .


giestromdichte wird gegeben durch den Poynting-Vektor 

�S(�r, t) = ε0c 2 � E(�r, t) × � B(�r, t) . (III.1.36) 

Mit � B(�r, t) = � ∇(�r, t) hat man 

�∇ × ( � ∇ × � A) = � ∇( � ∇ · � A) − ∆ � A = 1 

c 2 

in transversaler Eichung also 

−∆ � A = 1 

c 2 

∂ 

∂t � E + 1 

ε0c 2 �j , (III.1.37) 

∂ 

∂t � E⊥ + 1 

ε0c2 �j⊥ . (III.1.38) 

Da weiter � E⊥ = − ∂ 

∂t � A⊥ ist, ergibt sich die inhomogene Wellengleichung 

� 

∆ − 1 

c 2 

∂ 2 

∂t 2 

� 

�A = − 1 

ε0c 2 �j ⊥ , (III.1.39) 

deren Lösung das Strahlungsfeld bestimmt, das von einer klassischen Stromdichte �j(�r, t) 

erzeugt wird. In die Inhomogenität geht nur der transversale (divergenzfreie) Anteil ein. 

In einem Raumbereich mit �j = �0 wird diese Gleichung durch ebene Wellen gelöst: 

�A(�r, t) = α �ε e i(� k�r−ωt) + α ∗ �ε ∗ e −i( � k�r−ωt) . (III.1.40) 

Die Gleichung (III.1.39) mit �j = �0 fordert −k 2 + ω2 

c 2 = 0, also ω = kc. Die Transversalität 

�∇· � A = 0 erzwingt die Orthogonalität des Ausbreitungsvektors � k und des Polarisationsvektors 

�ε. Es darf ohne Einschränkung |�ε| 2 = 1 vorrausgesetzt werden. Für linear polarisierte 

Strahlung ist �ε reell. 

Die Energiedichte dieser ebenen Welle berechnet sich aus 

und 3 

�E = − ∂ 

∂t � A = iω α �ε e i(� k�r−ωt) − iω α ∗ �ε ∗ e −i( � k�r−ωt) 

�B = � ∇ × � A = iα � k × �ε e i(� k�r−ωt) − iα ∗ � k × �ε ∗ e −i( � k�r−ωt) 

�E 2 = 2ω 2 |α| 2 − 2ω 2 Re � α 2 �ε 2 e 2i(� k�r−ωt) � 

�B 2 = 2k 2 |α| 2 − 2k 2 Re � α 2 �ε 2 e 2i(� k�r−ωt) � 



im Zeitmittel zu 

¯w = ε0 

� � 

�E 2 2 

+ c B� 2 = 2ε0ω 

2 

2 |α| 2 . (III.1.43) 

3 Beachte ( � k × �ε) · � k × �ε ∗ = − � k × ( � k × �ε) · �ε ∗ = −(−k 2 �ε) · �ε ∗ = k 2 .


Da sich die Welle mit Lichtgeschwindigkeit in � k-Richtung ausbreitet, lautet der zeitgemittelte 

Poynting-Vektor 

�S = 2ε0ω 2 C|α| 2�k . (III.1.44) 

k 

Eine beliebige Lösung � A(�r, t) kann nun als Linearkombination ebener Wellen dargestellt 

werden, besitzt also die Form 

�A(�r, t) = � 

� 

A�k,λ √V �ελ e i(� A 

k�r−ωt) 

+ ∗ �k,λ √V �ελ ∗ e −i(� � 

k�r−ωt) 


� k,λ 

mit den Amplituden A� k,λ . Hier wird ein großes ” Quantisierungsvolumen“ V = L 3 vorausgesetzt. 

Außerdem werden periodische Randbedingungen gestellt: 

� k = 2π 

L 

�n , (III.1.46) 

wobei die Komponenten von �n ganzzahlig sind. Die Summe über λ erstreckt sich für jedes 

� k über zwei zu � k orthogonale Polarisationsrichtungen. Die mittlere Energiedichte lautet 

dann 

¯w = � 

2ε0ω 2 |A�k,λ | 2 

. (III.1.47) 

V 

� k,λ 

Um nun die Wechselwirkung eines klassischen elektromagnetischen Strahlungsfeldes mit 

einem quantenmechanischen Teilchen zu beschreiben, soll zunächst noch keine Eichung 

festgelegt werden. Der Hamiltonoperator für ein Teilchen der Ladung e in einem elektromagnetischen 

Feld lautet (vgl. Quantenmechanik I, I.5.3) 

H = 1 � � 

�p − eA(�r, � 2 

t) + eφ(�r, t) + V (�r, t) , (III.1.48) 

2m 

wobei V (�r, t) alle anderen Potentiale zusammenfasst, die auf das Teilchen einwirken. Die 

Schrödingergleichung 

i� ∂ 

� � 

1 � 

ψ(�r, t) = 

∂t 2m i � ∇ − e � � � 

2 

A + eφ + V ψ(�r, t) (III.1.49) 

bleibt dann invariant unter einer kombinierten Phasen-Eich-Transformation (vgl. Quantenmechanik 

I, I.5.3): Transformiert man die Felder gemäß 

�A ′ = � A + � ∇χ φ ′ = φ − ∂ 

χ , (III.1.50) 

∂t 

so entspricht dem die neue Wellenfunktion 

ψ ′ = e i 

� e χ ψ . (III.1.51)


Man beachte, dass z.B der Impuls �p keine eichinvariante Größe ist: Die Matrixelemente 

des Impulsoperators besitzen für transformierte Wellenfunktionen die Form 

� 

d 3 r ψ ′ ∗ � 

1 

i � ∇ ψ ′ � 

2 = d 3 � 

r e i 

� e χ �∗ � 

ψ1 

i � � 

∇ e i 

� e χ � 

ψ2 

� 

= d 3 r ψ ∗ � 

� 

1 

i � ∇ ψ2 + e� � 

∇χ ψ2 . (III.1.52) 

Dagegen besitzt die Kombination �p − e � A offensichtlich eichinvariante Matrixelemente. 

In der klassischen Mechanik entspricht diese Kombination dem Produkt aus Masse und 

Geschwindigkeit des Teilchens. In der Quantenmechanik entspricht dem die Heisenberg- 

Bewegungsgleichung (vgl. Quantenmechanik I, IV.6) 

also 

i� d�r(t) 

dt 

= [�r(t), H] 

= 

� 

�r(t), 1 

= 

� � � 

2 

�p(t) − eA(�r, � t) + eφ(�r, t) + V (�r, t) 

2m 

1 

� � 

�p(t) − A(�r, � 1 

t) [�r(t), �p(t)] + 2m 

2m [�r(t), �p(t)]��p(t) − � A(�r, t) � 

� � 

�p(t) − eA(�r, � t) , (III.1.53) 

= i� 

m 

m d�r(t) 

dt = �p(t) − e � A(�r, t) . (III.1.54) 

Generell müssen alle physikalisch beobachtbaren Größen eichinvariant sein. Der Hamilton- 

Operator H wird nun in zwei Anteile zerlegt 

wobei 

H = H0 + Hint , (III.1.55) 

H0 = �p2 

+ V (�r, t) (III.1.56) 

2m 

den Hamilton-Operator ohne Strahlungsfeld bezeichnet, und 

Hint = − e 

2m (�p · � A(�r, t) + � A(�r, t) · �p) + e2 

2m � A 2 (�r, t) + eφ(�r, t) (III.1.57) 

den Operator für die Wechselwirkung. Wegen 

�p · � A ψ = � 

i ∂jAjψ = � 

i (∂jAj)ψ + � 

i Aj∂jψ = � 

i (� ∇ · � A)ψ + � A · �p ψ (III.1.58) 

ist im allgemeinen �p · � A �= � A · �p, nur in der transversalen Eichung gilt �p · � A = � A · �p.


Für ein System von N Teilchen, das mit dem Strahlungsfeld wechselwirkt, hat man dann 

H = 

N� 

j=1 

also erhält man 

Hint = 

N� 

j=1 

1 

2mj 

� 

�pj − ej � �2 A(�rj, t) + 

N� 

ejφ(�rj, t) + V , (III.1.59) 

j=1 

� 

− ej 

� 

�pj · 

2mj 

� A(�rj, t) + � � 

A(�rj, t) · �pj + e2j �A 

2mj 

2 � 

(�rj, t) + ejφ(�rj, t) 

Wenn alle Teilchen die gleiche Ladung e und die gleiche Masse m haben, so ist 

wobei 

N� 

eφ(�rj, t) = 

j=1 

ϱ(�r) = 

N� 

� 

j=1 

d 3 � 

r eδ(�r − �rj) φ(�r, t) = 


d 3 r eϱ(�r) φ(�r, t) , (III.1.61) 

N� 

δ(�r − �rj) (III.1.62) 

j=1 

als Operator der Teilchendichte aufgefasst werden kann. (Beachte: φ(�r, t) ist kein Operator 

mehr, da alle Ortsvektoren �rj in ϱ(�r) auftauchen.) Ebenso schreibt man 

N� 

j=1 

− e 

� 

�pj · 

2m 

� A(�rj, t) + � � � 

A(�rj, t) · �pj = −e 

mit dem Stromdichteoperator 

�j(�r) = 1 

2 

N� 

j=1 

� 

�pj 

m δ(�r − �rj) + δ(�r − �rj) �pj 

� 

m 

d 3 r�j(�r) · � A(�r, t) (III.1.63) 


Die symmetrische Form dieses Operators garantiert seine Hermitizität. Da jedoch �pj 

m nicht 

der richtige“ Geschwindigkeitsoperator ist, ist auch �j(�r) nicht der eigentliche Stromdich- 

” � 

�pj − e � � 

A(�rj, t) , erhält man stattdessen 

teoperator: Ersetzt man �pj 

m 

durch 1 

m 

�J(�r) = �j(�r) − e 

m � A(�r, t)ϱ(�r) . (III.1.65) 

In dieser Gleichung wird der erste Term als paramagnetische Stromdichte und der zweite 

als diamagnetische Stromdichte bezeichnet. 

Der Wechselwirkungsoperator lautet nun 

� 

Hint = d 3 � 

r −e�j(�r) · � A(�r, t) + e2 

2m ϱ(�r) � A 2 � 

(�r, t) + eϱ(�r) φ(�r, t) . (III.1.66)

III.2 Absorption von Licht 80 

Geht man nun zur transversalen Eichung über, so ist nach Gleichung III.1.33 φ(�r, t) = 0, 

sofern sich in dem betrachteten Volumen keine felderzeugenden Ladungen befinden. Weiter 

sind typische inneratomare Felder von der Größenordnung 

Ea.u. = 1 

4πε0 

e 

a 2 B 

11 V 

≈ 5.142 · 10 

m 


Das ist die Feldstärke, die ein Elektron im Abstand von einem Bohrschen Radius aB 

von einem Proton erfährt. (Diese Größe ist die atomare Einheit“ der Feldstärke; sie 

” 

entspricht einer Laserintensität von Ia.u. = 1 

2ε0E 2 20 W 

a.u.c ≈ 3.51 · 10 m2 .) Für Felder, die im 

Vergleich dazu klein sind, ist der zu � A2 proportionale Term meist gegenüber dem �j· � A-Term 

vernachlässigbar. Der wesentliche“ Wechselwirkungsoperator lautet daher einfach 

” 

� 

Hint = −e d 3 r�j(�r) · � A(�r, t) . (III.1.68) 

III.2 Absorption von Licht 

Mit der in Gleichung III.1.45 angegebenen Modenzerlegung des Vektorpotentials erhält 

man 

� 

Hint = −e d 3 r�j(�r) · � 

� 

A�k,λ √V �ελ · e i(� A 

k·�r−ωt) 

+ ∗ �k,λ √V �ε ∗ λ · e −i(� � 


= −e � 

� k,λ 

� A� k,λ 

√V 

� k,λ 

�j − � k · �ελ e −iωt + A∗ � k,λ 

√V 

�j� k · �ε ∗ λ e iωt 

Dabei bezeichnet �j� k die Fouriertransformierte des Stromdichteoperators 

� 

�j� k = 

d 3 r e −i� k·�r �j(�r) = 1 

2 

� 

j 

� 

�pj 

m e−i� k·�rj −i 

+ e �k·�rj �pj 

� 

m 

� 



Es soll nun die Absorptionsrate für ein Atom berechnet werden, das sich anfangs in einem 

beliebigen Zustand |i〉 befindet. Der Lichtstrahl sei inkohärent in dem Sinne, dass 

keine Korrelationen zwischen den Phasen der verschiedenen Fourier-Komponenten bestehen. 

Das ist der Fall für das Licht gewöhnlicher Lampen, das von vielen verschiedenen 

Atomen erzeugt wird. Die Phasenbeziehungen der einzelnen Beiträge zum Lichtfeld sind 

dann rein zufällig. Unter dieser Voraussetzung gibt es bei der Wechselwirkung des Lichtes 

mit den Atomen keine Interferenzeffekte zwischen den Fourier-Komponenten. Daher kann 

der Effekt jeder Komponente einzeln betrachtet und schließlich über alle Komponenten 

aufsummiert werden. 

Sofern das Licht nicht zu intensiv ist, kann seine Wechselwirkung mit dem Atom störungstheoretisch 

in erster Ordnung berechnet werden. Da die möglichen Endzustände für das


Gesamtsystem ” Atom + Lichtfeld“ ein Kontinuum bilden, dann selbst dann die ” goldene 

Regel“ benutzt werden, wenn der Endzustand |f〉 des Atoms ein diskreter Bindungszustand 

ist. Gemäß Quantenmechanik I, Abschnitt IV.7 erhält man für eine perodisch 

zeitabhängige Störung mit der Kreisfrequenz ω Übergänge in ” beide Richtun- 

gen“: Positive Frequenzkomponenten der Störung, also Terme proportional zu e −iωt , liefern 

zunächst einen Phasenfaktor e i 

� (Ef −Ei−�ω)t und führen schließlich auf eine δ-Funktion 

δ(Ef − Ei − �ω), die ” Aufwärts“-Übergänge mit Ef = Ei + �ω beschreibt. Negative 

Frequenzkomponenten proportional zu e +iωt führen auf e i 

� (Ef −Ei+�ω)t und ergeben 

δ(Ef − Ei + �ω) für ” Abwärts“-Übergänge mit Ef = Ei − �ω. Die goldene Regel liefert 

daher für eine einzige Komponente des Lichtfeldes die Absorptionsrate 

Γ (abs) 

i→f, � 2π 

= 

k,λ � δ(Ef − Ei − �ω) e2 

V |A�k,λ | 2 |〈f|�j −�k · �ελ|i〉| 2 . (III.2.3) 

Summation über alle � k und die beiden Polarisationsrichtungen, die zu jedem � k gehören, 

ergibt die gesamte Absorptionsrate 

Γ (abs) 

i→f 

= 1 

V 

� 

� k,λ 

2π 

� δ(Ef − Ei − �ω) e 2 |A� k,λ | 2 |〈f|�j − � k · �ελ|i〉| 2 . (III.2.4) 

Wandelt man die Summe über �k mit der bekannten Vorschrift 

1 � 

� 2 k dk dΩ 

→ 

V 

(2π) 3 = ω2 dω dΩ 

(2πc) 3 

� k 


in ein Integral über ω um und benutzt δ(Ef − Ei − �ω) = 1 

�δ(ωif − ω) mit ωif = Ef −Ei 

, � 

so folgt daraus 

Γ (abs) 2πe2 

i→f = 

�2 ω2 if 

(2πc) 3 

� 

dΩ � 

|A�k,λ | 2 |〈f|�j −�k · �ελ|i〉| 2 . (III.2.6) 

λ 

Wenn nun der Lichtstrahl einen Raumwinkel dΩ aufspannt und eine feste Polarisation λ 

besitzt, lautet seine Intensität nach Gleichung III.1.47 

| � S| = ¯wc = 1 � 

2ε0ω 

V 

2 c |A�k,λ | 2 � 

= dΩ dω ω4 

(2πc) 3 2ε0c |A�k,λ | 2 . (III.2.7) 

Damit ist 

I(ω) = 2ε0c dΩ ω 4 |A� k,λ | 2 

(2πc) 3 

� k 


die spektrale Intensität (d.h. die Intensität pro Frequenzintervall). Für die Absorptionsrate 

erhält man dann 

Γ (abs) 

i→f 

= 2πe2 

� 2 

I(ωif) 

2ε0c ω2 if 

|〈f|�j − � k · �ελ|i〉| 2 . (III.2.9)


In gleicher Weise induziert die negative Frequenzkomponente des Wechselwirkungsoperators 

Übergänge f → i. Wenn man den durch Γ (abs) 

f→i beschriebenen Prozeß als Absorption 

eines Energiequants“ der Größe �ωif aus dem Strahlungsfeld deutet, wird man diesen 

” 

umgekehrten Prozeß als durch das Strahlungsfeld induzierte Emission eines solchen Energiequants 

auffassen. Die dazugehörige Rate ist 

Γ (ind.em.) 

f→i = 1 

V 

= 2πe2 

� 2 

� 

� k,λ 

2π 

� δ(Ef − Ei − �ω) e 2 |A� k,λ | 2 |〈f|�j� k · �ε ∗ λ |i〉| 2 

I(ωif) 

2ε0c ω2 if 

|〈f|�j� k · �ε ∗ λ |i〉| 2 . (III.2.10) 

Offensichtlich sind die beiden ” entgegengesetzten“ Raten gleich, 

da ja 

Γ (abs) 

i→f 

= Γ(ind.em.) 

f→i , (III.2.11) 

|〈f|�j − � k · �ελ|i〉| = |〈i|�j� k · �ε ∗ λ |f〉| ∗ . (III.2.12) 

Die Annahme eines inkohärenten Strahlungsfeldes ist also eng verbunden mit einem Energieaustausch 

zwischen Atom und Feld, der nur in Vielfachen von �ωif vor sich geht. Deutet 

man – obwohl das Feld bisher rein klassisch behandelt wurde! – diese Energieportion als 

die Energie eines Photons, d.h. eines Anregungszustandes des Feldes, und nimmt weiterhin 

an, dass N� k,λ solcher Photonen zum Vektorpotential mit der Amplitude A� k,λ gehören, 

erhält man für die Gesamtenergie 

� 

N�k,λ = � 

2ε0ω 2 |A�k,λ | 2 , 

� k,λ 

|A� k,λ | 2 = 

� k,λ 

� 

2ε0ω N� k,λ . (III.2.13) 

Die Raten für Absorption und induzierte Emission lauten dann 

Γ (abs) 

i→f 

= 1 

V 

� 

� k,λ 

πe 2 

ε0ω δ(Ef − Ei − �ω) |〈f|�j − � k · �ελ|i〉| 2 · N� k,λ 

= Γ (ind.em.) 

f→i . (III.2.14) 

Damit sind die Raten für die Absorption eines Photons aus einer Mode heraus bzw. für 

die induzierte Emission eines Photons in einer Mode hinein proportional zur Anzahl der 

Photonen, die in dieser Mode vorhanden sind. 

Man erkennt, dass zuvor der Betrag, nicht aber die Phase der Amplitude A� k,λ durch N� k,λ 

ausgedrückt werden kann. Die Annahme eines inkohärenten Strahlungsfeldes ist gleichbedeutend 

mit dem Verlust aller Informationen über die Phasenbeziehungen zwischen 

verschiedenen Moden. Die Berechnung der Raten zunächst für die einzelnen Fourierkomponenten 

und ihre anschließende Aufsummation entspricht einer Mittelung über alle

III.3 Heuristische Quantisierung des Strahlungsfeldes 83 

möglichen Phasen, bei der nur die Diagonalterme übrig bleiben. Also wird ein inkohärentes 

Strahlungsfeld vollkommen durch die Angabe der Zahl der Photonen in jeder Mode 

spezifiziert. Wenn man umgekehrt die Besetzungszahlen N� k,λ kennt, hat man keine Informationen 

über die Phasenbeziehungen zwischen den einzelnen Moden. In diesem Sinne 

sind ” Photonenzahl“ und ” Phase“ komplementäre Größen. 

III.3 Heuristische Quantisierung des Strahlungsfeldes 

Die mathematische Bahandlung der Wechselwirkung eines Atoms mit einem klassischen 

Strahlungsfeld im Rahmen der goldenen Regel“ zeigt, dass der Energieaustausch zwi- 

” 

schen dem Atom und dem Feld in Vielfachen einer Energiemenge �ωif vor sich geht. 

Dieses Quantum“ wird durch den Abstand Ef − Ei der atomaren Niveaus bestimmt. Die 

” 

Deutung dieses Quantums als ein Teilchen mit einer eingenen Indentität – als Photon – 

impliziert, dass nicht nur der Energieaustausch mit dem Feld, sondern auch das Feld selbst 

” quantisiert“ ist, also aus Photonen besteht. Wenn man diese Hypothese akzeptiert, wird 

man in Fortführung der Gedanken des letzten Abschnittes einen inkohärenten Lichtstrahl 

dadurch spezifizieren, dass man angibt, wieviele Photonen N�k,λ die durch �k, λ indizierte 

Schwingungsmode besetzen“. In dieser Besetzungszahldarstellung“ erhält ein Zustand 

” ” 

des elektromagnetischen Feldes die Form 

|N� k1,λ1 , N� k2,λ2 , . . . , N� k,λ . . .〉 . (III.3.1) 

Ein solcher Zustand wird (in Abgrenzung zu einem kohärenten Zustand) als Fock-Zustand 

bezeichnet. Den dazugehörigen Zustandsraum, der von diesen Fock-Zuständen aufgespannt 

wird, bezeichnet man als Fock-Raum. Zwei Fock-Zustände, die nicht in jeder Mode 

die gleiche Photonenzahl besitzen, sind orthogonal. Wenn nun aus der Mode � k, λ ein Photon 

absorbiert wird, geht das Feld in den Zustand 

|N� k1,λ1 , N� k2,λ2 , . . . , N� k,λ −1 . . .〉 (III.3.2) 

über, während gleichzeitig das Atom von |i〉 nach |f〉 angeregt wird. Dieser Übergang wird 

durch den Operator � Hint beschrieben, der das Strahlungsfeld an die Materie ” ankoppelt“. 

Von diesem Operator muss verlangt werden, dass die hier zu entwickelnde quantenmechanische 

Beschreibung der Absorption von Licht zumindest für starke inkohärente Felder 

(d.h. für große Photonenzahlen) die Resultate der vorherigen ” semiklassischen“ Theorie 

reproduziert. 

Betrachtet man das kombinierte System ” Atom + Strahlungsfeld“, so verursacht � Hint 

Übergänge zwischen dem Anfangszustand 

|i; N� k1,λ1 , N� k2,λ2 , . . . , N� k,λ . . .〉 (III.3.3) 

mit der Energie 

Ei + � 

� k,λ 

�ck N� k,λ 

(III.3.4)


und dem Endzustand 

|f; N� k1,λ1 , N� k2,λ2 , . . . , N� k,λ −1 . . .〉 (III.3.5) 


Ef + � 

� k ′ ,λ ′ 

�ck ′ N� k ′ ,λ ′ − �ck . (III.3.6) 

Die goldene Regel liefert dann die Übergangsrate in der Form 

Γ (abs) 

i→f, � 2π 

= 

k,λ � δ(Ef − Ei − �ck) � � 〈f; . . . N�k,λ−1 . . . | � Hint|i; . . . N�k,λ . . .〉 � �2 . (III.3.7) 

Damit das mit dem semiklassischen Resultat übereinstimmt, fordert man 

� 

� 〈f; . . . N� k,λ −1 . . . | � Hint|i; . . . N� k,λ . . .〉 � � 2 

= e2 

V |A� k,λ | 2 |〈f|�j − � k · �ελ|i〉| 2 

= e2 

V 

� 

2ε0ω N� k,λ |〈f|�j − � k · �ελ|i〉| 2 , (III.3.8) 

wobei im zweiten Schritt die Gleichung III.2.13 benutzt wurde, die das Betragsquadrat der 

Amplitude des klassischen Vektorpotentials mit der Photonenzahl in Verbindung bringt. 

Der noch unekannte Operator � Hint ist daher ein Produkt aus dem Faktor �j − � k · �ελ, der auf 

dem Materie-“Sektor“ operiert, und einem weiteren Faktor, der (wegen der Orthogonalität 

der Fock-Zustände) die Photonenzahl in der Mode � k, λ um eins reduziert. Der Vergleich 

mit dem klassischen Ausdruck (siehe Gleichung III.2.1) 

Hint = −e 

√ V 

� � 

� k,λ 

A� k,λ �j − � k · �ελ e −iωt + A ∗ � k,λ �j� k · �ε ∗ λ e iωt 

legt nahe, das quantenmechanische Gegenstück � Hint von Hint in der Form 

�Hint = −e 

√ V 

� 

� k,λ 

� 

�A� �j k,λ −�k · �ελ + � A † �j� �k,λ k · �ε ∗ � 

λ 

� 



zu schreiben, wobei der Operator � A�k,λ die Photonenzahl in der Mode �k, λ um eins erniedrigt. 

Der Operator � A † 

� ist der zu 

k,λ � A�k,λ adjungierte. Die Quantisierung“ des Strahlungs- 

” 

feldes besteht damit in der Ersetzung der klassischen Amplitude A�k,λ des Vektorpotentials 

durch Operatoren � A� k,λ , die die Photonenzahl ändern. Der Vergleich mit Gleichung III.3.8 

zeigt nun sofort 

� 

�〈. . . N� k,λ −1 . . . | � A� k,λ | . . . N� k,λ . . .〉 � � 2 = � 

2ε0ω N� k,λ , (III.3.11)


also 

〈. . . N� k,λ −1 . . . | � A� k,λ | . . . N� k,λ . . .〉 = 

� 

� � 

N�k,λ 2ε0ω 


bis auf einen Phasenfaktor. Da jedoch auch in der Definition der Fock-Zustände eine Phase 

offen bleibt, kann dieser Faktor mit Eins identifiziert werden. Damit tritt dann das 

Matrixelement 〈. . . N� k,λ −1 . . . | � A� k,λ | . . . N� k,λ . . .〉 an die Stelle der klassischen Amplitude 

A� k,λ . 

Postuliert man jetzt, dass die Fock-Zustände nicht nur orthogonal, sondern auch normiert 

sind, findet man 

� 

� � 

�A� k,λ | . . . N�k,λ... 〉 = N�k,λ | . . . N�k,λ−1... 〉 . (III.3.13) 

2ε0ω 

Betrachtet man das Konjugierte des obigen Matrixelementes, ergibt sich weiter 

also auch 

〈. . . N� k,λ −1 . . . | � A� k,λ | . . . N� k,λ . . .〉 ∗ 

= 〈. . . N� k,λ . . . | � A † 

� k,λ | . . . N� k,λ −1 . . .〉 = 

�A † 

� k,λ | . . . N� k,λ . . .〉 = 

� 

� � 

N�k,λ , (III.3.14) 

2ε0ω 

� 

� � 

N�k,λ | . . . N�k,λ +1 . . .〉 . (III.3.15) 

2ε0ω 

Damit wirken die Operatoren � A † 

� und 

k,λ � � 

� 

A�k,λ (bis auf den Faktor , der aber sofort 

2ε0ω 

durch Umnormierung beseitigt werden kann) genau wie die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren 

a † und a eines harmonischen Oszillators. Also entspricht ein quantisier- 

” 

tes“ Strahlungsfeld einer unendlich großen Anzahl harmonischer Oszillatoren (ein Oszillator 

für jede Mode �k, λ). Die Anregungsquanten“ dieser Feldoszillatoren entsprechen 

” 

den Photonen. Diese Überlegungen haben eine unmitelbare, experimentell nachprüfbare 

Konsequenz, die die Wechselwirkung mit einem quantenmechanischen Strahlungsfeld 

deutlich von der mit einem klassischen Feld unterscheidet. Berechnet man nämlich die 

Emissionsrate für den Übergang von einem Zustand 

|f; . . . N� k,λ . . .〉 (III.3.16) 


Ef + � 

� k ′ ,λ ′ 

in den Zustand 

�ck ′ N� k ′ ,λ ′ 


|i; . . . N� k,λ +1 . . .〉 (III.3.18)


mit einem Photon mehr in der Mode �k, λ und der Energie 

Ei + � 

� k ′ ,λ ′ 

so erhält man 

Γ (em.) 

f→i, � kλ 

�ck ′ N� k ′ ,λ ′ + �ck , (III.3.19) 

= 2π 

� δ(Ef − Ei − �ck) · |〈i; . . . N� k,λ +1 . . . | � Hint|f; . . . N� k,λ . . .〉| 2 

= 2π 

� δ(Ef − Ei − �ck) · e2 

V |〈. . . N�k,λ +1 . . . | � A † 

� | . . . N� 

k,λ k,λ . . .〉| 2 |〈i|�j� k,λ·ε∗ |f〉| 

λ 

2 

= 2π 

� δ(Ef − Ei − �ck) · e2 

V 

� 

2ε0ω (N� k,λ + 1) |〈f|�j − � k,λ·ελ |i〉|2 . (III.3.20) 

Das stimmt nicht genau mit dem klassischen Resultat überein. Zwar liefert der zur Photonenanzahl 

N� k,λ proportionale Anteil nach Summation über alle Moden genau die in 

Gleichung III.2.14 gefundene Rate für die induzierte Emission, 

Γ (ind.em.) 

f→i 

= 1 

V 

� 

� k,λ 

πe 2 

ε0ω δ(Ef − Ei − �ω) |〈f|�j − � k · �ελ|i〉| 2 · N� k,λ . (III.3.21) 

Zusätzlich gibt es jedoch einen Beitrag, der von der Photonenzahl unabhängig ist und 

daher selbst dann auftritt, wenn kein äußeres Feld vorhanden ist. Dieser Beitrag entspricht 

einer spontanen Emission (d.h. nicht von außen induziert) eines Photons 

Γ (sp.em.) 

f→i, � kλ 

= 1 

V 

� 

� k,λ 

πe 2 

ε0ω δ(Ef − Ei − �ω) |〈f|�j − � k · �ελ|i〉| 2 . (III.3.22) 

Die gesamte Emissionsrate ist dann die Summe aus der ” induzierten“ und der ” spontanen“ 

Rate 

Γ (em.) 

f→i 

= Γ(ind.em.) 

f→i 

+ Γ (sp.em.) 

f→i . (III.3.23) 

Für große Photonenzahlen N� k,λ ist N� k,λ +1 ≈ N� k,λ , so dass die spontanen Prozesse von den 

induzierten verdeckt werden und die Gesamtrate praktisch mit der induzierten Rate übereinstimmt, 

wie es der semiklasssische Grenzfall verlangt. Trotzdem führt die Quantisierung 

der Strahlungsfeldes aufgrund der Algebra der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren 

zwingend auf einen nichtklassischen Prozess, der z.B. den ” Zerfall“ eines angeregten Atoms 

beschreibt. Die Frage, ob die hier entwickelte Theorie ” richtig“ ist, kann also experimentell 

geprüft werden, in dem die gemessenen Lebensdauern angeregter Zustände mit den 

theoretisch berechneten Lebensdauern, die sich aus den jeweiligen spontanen Zerfallsraten 

ergeben, verglichen werden. 

Auch ohne auf eine Quantenfeldtheorie zurückzugreifen, konnte Einstein die Rate der 

spontanen Emission mit Hilfe eines einfachen statistischen Arguments bestimmen. Einstein 

betrachtete die Photonen in einem Hohlraum, dessen Wände die Temperatur T 

besitzen. Wenn sich das ” Photonengas“ im Hohlraum im thermischen Gleichgewicht mit


den Wänden befindet, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Mode � k, λ mit N� k,λ 

Photonen besetzt ist – dass sich also der zugehörige Feldoszillator im N� k,λ -ten angeregten 

Zustand befindet – gemäß dem Boltzmannschen Prinzip proportional zu 

e − N � k,λ ·�ck 

k B T , (III.3.24) 

wobei kB die Boltzmann-Konstante bezeichnet. Die mittlere Photonenzahl in der Mode 

� k, λ ergibt sich daher zu 

¯N� k,λ = 

�∞ N�k,λ =0 N�k,λe − N� ·�ck 

k,λ 

kB T 

�∞ N�k,λ =0 e− N� ·�ck 

k,λ 

kB T 

= − ∂ 

∂( �ck ln 

) kBT 

= 

= 

1 

�ck 

− k 1 − e B T 

∂ 

∂( �ck 

kBT ) ln � �ck 

− k 1 − e B T 

1 

e �ck 

k B T − 1 

� 


Nun werden die Photonen im Hohlraum ständig von den Wänden absorbiert, während 

gleichzeitig ” neue“ Photonen emittiert werden. Damit sich im Gleichgewicht genau die 

mittlere Photonenzahl ¯ N� k,λ in jeder Mode einstellen kann, müssen Absorptions- und Emissionsrate 

in einer ganz bestimmten Beziehung zueinander stehen. 

Der Einfachheit halber soll angenommen werden, dass die Wandatome nur zwei Energieniveaus 

Ei und Ef > Ei besitzen. Die Wahrscheinlichkeit Pf dafür, das Atom im angeregten 

Zustand anzutreffen, ist dann proportional zu e − E f 

k B T . Damit ergibt sich 

Pf 

Pi 

= e − E f −E i 

k B T . (III.3.26) 

Wenn die Wandatome mit den Photonen der Frequenz ωif = Ef −Ei 

im Gleichgewicht sind, 

� 

stimmen ihre Temperaturen überein. Die Absorptionsrate für Photonen der Frequenz 

ωif ist proportional zur Anzahl N dieser Photonen und zur Wahrscheinlichkeit dafür, 

absorptionsbereite Atome (d.h. Atome im Grundzustand) zu finden: 

� � 

dN 

= −BNPi . (III.3.27) 

dt 

abs 

Umgekehrt wird es eine zu N proportionale, induzierte Emission geben, die durch den 

gleichen B-Koeffizienten“ beschrieben wird 

” 

� � 

dN 

= +BNPf . (III.3.28) 

dt 

ind.em.

III.4 Kanonische Quantisierung in der Coulomb-Eichung 88 

Wenn das die beiden einzigen Prozesse wären, die Einfluss auf die Photonenzahl haben, 

wären im Gleichgewicht keine Photonen vorhanden, da ja Pf < Pi. Es muss also einen 

weiteren, spontanen“ Emissionsprozess geben, dessen Rate 

� ” � 

dN 

= APf 

dt 


sp.em. 

von N unabhängig ist. Die Aufgabe besteht nun darin, den zugehörigen ” A-Koeffizienten“ 

durch den ” B-Koeffizienten“ auszudrücken. Da im Gleichgewicht dN 

dt = 0 und N = ¯ N, 

findet man durch Addition aller drei Raten sofort 

also 

B ¯ N(Pf − Pi) + APf = 0 , (III.3.30) 

A = B ¯ N 

Da andererseits 

¯N 

1 

= 

folgt 

� Pi 

Pf 

�ωif k e B T − 1 

� 

− 1 = B ¯ � 

N e 

�ωif kB T − 1 

� 


, (III.3.32) 

A = B , (III.3.33) 

bzw. für beide Emissionsprozesse zusammen 

� � 

dN 

= B(N + 1)Pf . (III.3.34) 

dt 

em. 

Die ” (N + 1)-Abhängigkeit“ von der Photonenzahl stimmt genau mit der Vorhersage der 

Quantenfeldtheorie überein. 

III.4 Kanonische Quantisierung in der Coulomb-Eichung 

Bevor nun die Raten für die spontane Emission konkret berechnet werden, soll zunächst 

der Prozess der Feldquantisierung auf formaler Ebene zusammengefast werden. 

” Kanonische Quantisierung“ bedeutet die Identifizierung von Paaren konjugierter dynamischer 

Variablen und ihre Ersetzung durch Operatoren, deren Kommutator den Wert i� 

annimmt. Diese Prozedur kann für das elektromagnetische Feld auch unabhängig von der 

Eichung durchgeführt werden. Allerdings wird die Quantisierung besonders einfach, wenn 

man von Anfang an die Coulomb-Eichung voraussetzt: Unabhängige klassische Feldvariablen 

sind dann das transversale Vektorpotential � A( �k, t) = � A⊥( �k, t) und seine Geschwin- 

” 

digkeit“ ˙ A( � �k, t) = −E⊥( � �k, t). Man hat nun bei vorausgesetzter Box-Normierung 

�A(�r, t) = � 

� 

� k,λ 

= � 

� k 

� A� k,λ 

√V �ελe i(� k·�r−ωt) + A ∗ � k,λ 

√V �ελe −i(� k·�r−ωt) 

1 

√ V 

� � 

λ 

A� k,λ e −iωt + A ∗ 

− � k,λ eiωt 

� 

�ελe i� k·�r , (III.4.1)


wobei die Polarisationsvektoren der Einfachheit halber reell gewählt wurden. Damit ist 

�A( �k, t) = � � 

� 

�ελ . (III.4.2) 

Ebenso 

˙�A(�r, t) = � 

� 

bzw. 

λ 

� k,λ 

= � 

˙�A( � k, t) = � 

λ 

� k 

A� k,λ e −iωt + A ∗ 

− � k,λ eiωt 

−iω A�k,λ √V �ελe i(� A 


+ iω ∗ �k,λ √V �ελe −i(�k·�r−ωt) 1 

√ V 

� 

λ 

� 

−iωA�k,λe −iωt + iωA ∗ 

−�k,λ eiωt 

� 

�ελe i�k·�r � 


� 

−iωA�k,λe −iωt + iωA ∗ 


� 

�ελ . (III.4.4) 

Unabhängige klassische Variablen sind nun die zu den jeweiligen Polarisationen gehörigen 

Amplituden 

�A( �k, t) · ελ = A�k,λe −iωt 

+ A ∗ 


˙�A( �k, t) · ελ = −iωA�k,λe −iωt + iωA ∗ 

−�k,λ eiωt . (III.4.5) 

Das Vektorpotential � A(�r, t) trägt die Einheit Kraft·Zeit, 

daher ist 

Ladung 

[ � A( �k, t)] = √ Kraft · Zeit 

Volumen · 

Ladung 

[ ˙ √ 

A( � � 

Kraft 

k, t)] = Volumen · . (III.4.6) 

Ladung 

Das Produkt aus der Feldvariablen � A( � k, t)·�ελ und seiner Geschwindigkeit ˙ � A( � k, t)·�ελ trägt 

daher die Dimension 

� �A( � k, t) · �ελ · 

˙�A( � � Energie 

k, t) · �ελ = 2 · Länge · Zeit 

Ladung 2 . (III.4.7) 

Definiert man also als zu � A( � k, t) · �ελ kanonisch konjugierte Impulsvariable die Größe 

�Π( � k, t) · �ελ = ε0 

˙�A( � k, t) · �ελ , (III.4.8) 

so trägt wegen [ε0] = Ladung2 

das Produkt dieser beiden Variablen die Dimension einer 

Energie·Länge 

Wirkung. Quantisierung“ bedeutet nun die Ersetzung dieser klassischen konjugierten 

” 

Variablen durch Operatoren 

� �A( � k) · �ελ = � A� k,λ + � A † 

− � k,λ 



und 

��Π( � � 

k) · �ελ = ε0 − iω A� � 

k,λ + iω � A † 

−� � 


k,λ 

für die die Vertauschungsrelation 

� 

� ��A( � k) · �ελ, � � Π † 

( � k ′ ) · �ε ′ λ 

= i� δ�k �k ′ δλλ ′ (III.4.11) 

gefordert wird. (Im Schrödingerbild sind die Operatoren zeitunabhängig. Die Zeitabhängigkeit 

wird von den Zustandsvektoren getragen.) Diese Forderung ergibt 

� 

�A� 

kλ + � A † 

� 

−�kλ , iω′ A �† �k ′ λ ′ − iω′ A− � �k ′ λ ′ 

= iω ′� A� � 

kλ , � A † � ′ 

� − iω 

k ′ λ ′ 

� A �† −�kλ , � A−�k ′ λ ′ 

= 2iω ′� � A� kλ , � A † 

� k ′ λ ′ 

= i � 

ε0 

� 

� 

δ�k �k ′ δλλ ′ , (III.4.12) 

wobei 

� 

�A� 

kλ , � � � 

A�k ′ λ ′ = �A † 

� , 

kλ � A † � 

� = 0 (III.4.13) 

k ′ λ ′ 

benutzt wurde 4 . Damit hat man für die Operatoren � A� kλ die Vertauschungsrelationen 

� 

�A� 

kλ , � A † � � 

� = 

k ′ λ ′ 

2ε0ω δ�k �k ′ δλλ ′ . (III.4.14) 

Definiert man schließlich 

� 

� 

�A� kλ = 

2ε0ω �a� kλ und 

�A † 

� 

� 

� = 

kλ 2ε0ω �a† � , 

kλ 


so erfüllen die (dimensionslosen) Operatoren �a� kλ und �a † 

� kλ genau die Algebra der Erzeugungs- 

und Vernichtungsoperatoren eines Systems harmonischer Operatoren (vgl Quan- 

tenmechanik I, II.2): 

� � 

�a� kλ , �a� k ′ λ ′ = 0 

� † 

�a � , �a 

kλ † � 

� = 0 

k ′ λ ′ 

� �a� kλ , �a † 

� k ′ λ ′ 

� 

= δ�k �k ′ δλλ ′ . (III.4.16) 

� 

4 ��A( 

Ebenso gilt �k) · �ελ , � A( � � ′ k ) · �ελ ′ 

� ��Π( = 0 und �k) · ελ , � Π( � � ′ k ) · ελ ′ 

�


Mit diesen Operatoren erhalten die Quantenfelder in der Coulomb-Eichung nun die Form 

��A(�r) = � 

� 

� 

� 

�a� kλ�ελ e 

2ε0ωV 

�k,λ i�k�r † 

+ �a � �ελ e 

kλ −i� ��E⊥(�r) = 

� 

k�r 


� 

� 

�ω 

� 

i �a� kλ�ελ e 

2ε0V 

�kλ i�k�r † 

− �a � �ελ e 

kλ −i� ��B(�r) = 

� 

k�r 


� 

� 

� 

� 

i �a� � 

kλ k × �ελ e 

2ε0ωV 

i�k�r † 

− �a � 

� k × �ελ e 

kλ 

−i� � 

k�r 


� kλ 

In der Coulomb-Eichung wird also nur der transversale Anteil des Feldes quantisiert“. 

” 

Der longitudinale Anteil wird nach wie vor durch den klassischen Ausdruck 

�E||(�r, t) = − 1 

� 

d 

4πε0 

3 r ′ ϱ(�r, t) � 1 

∇r 

|�r − �r ′ (III.4.20) 

| 

gegeben. (Es ist nun noch zu zeigen, dass die obige Quantisierungsvorschrift für alle Observablen 

zu eichinvarianten Resultaten führt, obwohl für die Quantisierung eine spezielle 

Eichung verwendet wurde. Das allerdings ist Gegenstand einer Vorlesung ” Quantenfeldtheorie“.) 

Da für jeden Wellenvektor � k die beiden zugehörigen Polarisationsvektoren gemeinsam 

mit � k/k eine Orthogonalbasis bilden, gilt (Produkte von Vektoren sind hier als äußere 

Produkte und nicht als Skalarprodukte aufzufassen) 

� 

λ 

�ελ �ελ + � k � k 

k 2 = 13×3 , (III.4.21) 

also für die Komponenten α, β 

� 

λ 

ελα ελβ = δαβ − kαkβ 

k 2 . (III.4.22) 

Damit erhält man für die ortsabhängigen Felder den Kommutator 

� �Aα(�r) , � E⊥β(�r ′ ) � 

= � 

� kλ 

� k ′ λ ′ 

= � 

� kλ 

= − i� 

ε0 

i� 

2ε0V 

− i� 

2ε0V 

1 

V 

� 

� k 

� ω ′ 

ω 

� 

− � �a� kλ , �a † � i( 

� e 

k ′ λ ′ 

�k�r− � � k�r) † 

+ �a � , �a� kλ k ′ λ ′e −i(�k�r− �k�r) �� 

εαλ εβλ 

� 

e i�k(�r−�r ′ ) −i 

+ e �k(�r−�r ′ � 

) 

εαλ εβλ 

e i�k(�r−�r ′ � 

) 

δαβ − kαkβ 

k2 � 

≡ − i� 

δ⊥,αβ(�r − �r ′ ) . (III.4.23) 

ε0


Dabei sichert die sogenannte transversale δ-Funktion, d.h. die Fouriertransformierte des 

Projektors δαβ − kαkβ 

k 2 , die Einhaltung der Eichbedingung � ∇ · � � A(�r) = 0: 

∂α 

= − i� 

� �Aα(�r) , � E⊥β(�r ′ ) � = 0 

ε0 

1 

V 

� 

� k 

e i�k(�r−�r ′ � 

) 

i kαδαβ − kαkαkβ 

k2 � 


Die Gesamtenergie des Feldes setzt sich zusammen aus der Coulomb-Energie des longitudinalen 

Feldes 

ECoul = ε0 

� 

d 

2 

3 r � E 2 = 

||(�r, t) 

ε0 

� 

d 

2 

3 k | � E||( �k, t)| 2 

= 1 

� 

d 

2ε0 

3 k ϱ∗ ( �k, t) ϱ( �k, t) 

k2 (III.4.25) 

(wegen � E⊥( � �k k, t) = −i ε0k2 ϱ( �k, t)) und der Energie des eigentlichen, d.h. des quantisierten 

transversalen Strahlungsfeldes: 

ERad = ε0 

� 

d 

2 

3 � 

2 

��E 

r ⊥(�r) + c 2 � 

2 

��B (�r) 

= � 

� 

�ω �a † 

� �a� kλ kλ + 1 

� 

2 

� kλ 

≡ � HRad . (III.4.26) 

Dieser Ausdruck ist der Hamiltonoperator für das freie“ Strahlungsfeld. Mit Hilfe dieses 

” 

Operators können z.B. die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Photonen leicht 

in das Wechselwirkungsbild umgerechnet werden: Es ist 

�a� kλ (t) = e i � HRadt/� 

�a� kλ e −i � � 

HRadt/� 

= exp iω�a † 

� � 

� �a� kλ kλt �a� kλ exp −iω�a † 

� 

� �a� kλ kλt . (III.4.27) 

Nun gilt 

� 

�a� kλ , �a † � � 

� 

a� 

kλ kλ = �a� kλ , �a † � 

� �a� kλ kλ = �a� kλ , d.h. (III.4.28) 

�a� kλ �a † 

� kλ �a� kλ = �a † 

� kλ �a� kλ �a� kλ + �a� kλ = 

Ebenso zeigt man 

�a� kλ f(�a † 

� kλ ) = f(�a † 

� kλ �a� kλ + 1)�a� kλ 

� 

�a † 

� 

� �a� kλ kλ + 1 �a� kλ . (III.4.29) 

für eine analytische Funktion f. Das bedeutet angewendet auf (III.4.27) 

�a� kλ (t) = 

� 

exp iω�a † 

� � � 

� �a� kλ kλt exp −iω �a † 

� � 

� �a� kλ kλ + 1 t 

= �a� kλ e −iωt 

�a� kλ 



III.5 Berechnung spontaner Emissionsraten 93 

und analog 

�a� kλ (t) = �a� kλ e +iωt . (III.4.32) 

Im Wechselwirkungsbild ” propagieren“ die Vernichtungsoperatoren mit einem Phasenfaktor 

e −iωt , die Erzeugungsoperatoren mit e +iωt . Daher lautet z.B. der Operator des 

Vektorpotentials im Wechselwirkungsbild 

� �A(�r, t) = � 

� kλ 

� � 

2ε0ωV 

analog für � � E⊥(�r, t) und � � B(�r, t). 

� 

�a� kλ �ελ e i(�k�r−ωt) † 

+ �a � �ελ e 

kλ i(� � 

k�r−ωt) 


Die ” Quantisierung“ des elektromagnetischen Feldes hat eine weitere wichtige Konsequenz. 

Es bezeichne |0, 0, 0, . . .〉 ≡ |0〉 den Grundzustand des Feldes, d.h. den Fockzustand, 

für den alle Besetzungszahlen gleich Null sind. Dieser Zustand wird als Vakuum 

identifiziert. Offensichtlich verschwindet z.B. der Vakuumerwartungswert des elektrischen 

Feldoperators 

〈0| � � E⊥(�r)|0〉 = �0 , (III.4.34) 

aber trotzdem gibt es Fluktuationen. Man hat 

〈0| � E⊥α(�r) � E⊥β(�r ′ )|0〉 

= � 

− � 

2ε0V 

� kλ 

� k ′ λ ′ 

= � 

� kλ 

= �c 

2ε0 

√ ωω ′ � − 〈0|�a� kλ �a † 

� kλ |0〉 

� �� 

δ �k � k ′ δ λλ ′ 

�ω 

2ε0V ei� k(�r−�r ′ ) ελαελβ 

1 

V 

� 

� k 

k e i� k(�r−�r ′ ) 

� 

δαβ − kαkβ 

k 2 

� e i( � k�r− � k ′ �r ′ ) ελαελ ′ β 

� 


Der Vakuumserwartungswert des Produkts von zwei (transversalen) elektrischen Feldoperatoren 

an zwei verschiedenen Punkten verschwindet also nicht. Diese Vakuumfluktuationen 

des Feldes sind das Analogon der Nullpunktsbewegung des harmonischen Oszillators. 

Man kann daher die spontane Emission auch als ” durch die Vakuumfluktuation induzierte 

Emission“ auffassen. 

III.5 Berechnung spontaner Emissionsraten 

Es wird nun die in Gleichung III.3.22 angegebene Rate für die spontane Emission eines 

Photons in die Mode � k, λ wieder aufgenommen 

(sp. em.) 

Γ 

f→i, � 1 

= 

k,λ V 

πe 2 

ε0ω δ(Ef − Ei − �ω) |〈i|�j� k · �ε ∗ λ |f〉| 2 . (III.5.1)


Summation über alle Endzustände mit � k-Vektoren in einem Raumwinkelelement dΩ liefert 

für die in dieses Raumwinkelelement abgestrahlte Leistung bei fester Polarisation λ 

dP = � 

� k in dΩ 

(sp. em.) 

�ω Γ 

f→i, �k,λ � 2 ω dω πe2 

= dΩ 

3 �ω 

(2πc) ε0ω δ(Ef − Ei − �ω) |〈i|�j� k · �ε ∗ λ |f〉| 2 , (III.5.2) 

die Leistung pro Raumwinkelelement ist also 

dP 

dΩ = ω2 if e2 

8π2c3 |〈i|�j� k · �ε 

ε0 

∗ λ |f〉| 2 . (III.5.3) 

Es ist interessant, diesen Ausdruck mit dem klassischen Resultat für die von einem transversalen 

Strom mit der Frequenz ω abgestrahlte Leistung zu vergleichen: Es sei 

�j(�r, t) = �j(�r) e −iωt + �j ∗ (�r) e iωt 


eine klassische transversale Stromdichte. Die in Gleichung III.1.39 angegebene inhomogene 

Wellengleichung 

� 

∆ − 1 

c2 ∂2 ∂t2 � 

�A(�r, t) = − 1 

ε0c2 �j(�r, t) (III.5.5) 

wird wie üblich mit Hilfe der retardierten Greenschen Funktion gelöst 

� 

∆ − 1 

c2 ∂2 ∂t2 � 

für 

G±(�r, t; �r ′ , t ′ ) = − 1 

4π 

Also hat man 

�A(�r, t) = 

1 

4πε0c2 � 

Im Fernfeld erhält man daraus mit 

|�r − �r ′ � 

′ 2�r · �r 

| = r 1 − 

r2 die Näherung 

�A(�r, t) = 

= 

G±(�r, t; �r ′ , t ′ ) = δ(�r − �r ′ ) δ(t − t ′ ) (III.5.6) 

1 

4πε0c 2 

1 

4πε0c 2 

� 

δ t ′ � 

− t ∓ |�r−�r ′ | 

c 

|�r − �r ′ | 

d 3 r ′ �j(�r ′ , t − |�r−�r ′ | 

c ) 

|�r − �r ′ | 

� 

1 

r 

r′2 

+ 

r2 � 1 

2 

d 3 r ′�j(�r ′ ) e −iω 

� 

�� 



≈ r − �r ′ 

· �r 

r 

t− r 

c 

+ �r 

r 

� 

�r 

′ 

· c + c.c. 


r 

−iω(t− 

e c) 

�j� k,cl + c.c. , (III.5.10) 

r


wobei 

� 

�j� k,cl = 

d 3 r ′�j(�r ′ ) e −i�k·�r ′ 


Der Wellenvektor des Fernfeldes ist �k = ω 

c 

lauten 

�E(�r, t) = − ∂ 

∂t � A(�r, t) = 

�B(�r, t) = � ∇ × � A(�r, t) = 

1 

4πε0c 2 

1 

4πε0c 2 

Das ergibt für das Zeitmittel des Poynting-Vektors 

�S(�r, t) = ε0c 2 � E(�r, t) × � B(�r, t) = 

�r . Die physikalisch beobachtbaren Fernfelder 

r 

r 

−iω(t− 

e c) 

iω�j� k,cl r 

+ c.c. (III.5.12) 

r 

−iω(t− 

e c) 

i 

r 

ω �r 

c r × �j� k,cl + c.c. . (III.5.13) 

1 

(4π) 2 ε0c 2 

ω 2 

c |�j� k,cl | 

Die gesamte pro Raumwinkelelement abgestrahlte Leistung ist daher 

dPcl 

dΩ 

2 1 �r 

· 2 . (III.5.14) 

r2 r 

= ω2 

8π 2 ε0c 3 |�j� k,cl | 2 ; (III.5.15) 

wenn nur die Polarisation �eλ berücksichtigt wird, ist |�j� k,cl | 2 durch |�j� k,cl · �e ∗ λ |2 zu ersetzen. 

Vergleicht man das mit dem entsprechenden Ausdruck für spontane Emission, wird deutlich, 

dass dort das Matrixelement e 〈i|�j� k · �e ∗ λ |f〉 die gleiche Rolle spielt wie �j� k,cl · �e ∗ λ in der 

klassichen Theorie. 

Der ” emittierende“ Zustand |f〉 der Materie sei nun ein Impulseigenzustand mit Impuls 

��qf. Gesucht wird die Übergangsrate für einen Impulszustand |i〉 mit Impuls ��qi. Aufgrund 

der Impulserhaltung sollte das emittierende Photon den Impuls �(�qf − �qi) tragen. Ist die 

emittierende Materie lediglich ein einzelnes Teilchen mit Ladung e, so erhält man mit 

Gleichung III.2.2 

� 

�j� k = 

d 3 r e −i� k·�r �j(�r) = 1 

2 

Das liefert das Matrixelement 

� 

〈�qi|�j� k |�qf〉 = d 3 r e−i�qi·�r 

� 

� 

√ 

V 

= 

� 

2im (i�qi + i�qf) 1 

V 

� 

�p 

m e−i� k·�r −i 

+ e �k·�r �p 

� 

m 

2im � ∇e −i� k·�r + e −i � k·�r � 

� 

d 3 r e i(�qf −�qi− � k)·�r 


2im � � i�qf ·�r e 

∇ √ 

V 

= � 

2m (�qi − �qf) δ�k, , (III.5.17) 

�qf −�qi 

wobei das erste � ∇-Symbol ” nach links“ und das zweite ” nach rechts“ angewandt wurde. 

Allerdings kann ein freies Teilchen nicht gleichzeitig die Impulsbilanz 

� � k = ��qf − ��qi 



und die Energiebilanz 

�ck = �2 

2m 

� 2 

�q f − �q 2� 

i 


erfüllen, d.h. ein freies (unbeschleunigtes) Teilchen kann nicht strahlen. Trotzdem muss 

der Wellenvektor des abgestrahlten Photons immer der Beziehung � k = �qf − �qi gehorchen: 

Bekanntlich gilt für einen Verschiebevektor �a die Beziehung (siehe Quantenmechanik I, 

Aufgabe 17) 

e i 

� �pj·�a 

i 

− 

�rj e � �pj·�a 

= �rj + �a . (III.5.20) 

Ist also � P = � 

j �pj der Operator des Gesamtimpulses eines Vielteilchensystems, hat man 

auch 

e i 

� � i 

P ·�a − 

�rj e � � P ·�a 

= �rj + �a (III.5.21) 

bzw. allgemeiner 

e i 

� � i 

P ·�a − 

f(�r1, . . . , �rN; �p1, . . . , �pN) e � � P ·�a 

= f(�r1 + �a, . . . , �rN + �a; �p1, . . . , �pN) . (III.5.22) 

Insbesondere bedeutet das für den Operator der Stromdichte 


e i 

� � i 

P ·�a�j(�r) 

− 

e � � P ·�a 1 

= 

2 

N� 

j=1 

� 

�pj 

m δ(�r − �rj − �a) + δ(�r − �rj − �a) �pj 

� 

m 

= �j(�r − a) (III.5.23) 

i 

�j(�r) 

− 

= e � � P ·�r �j(�r = �0) e i 

� � P ·�r 


(Hier ist natürlich �r kein Operator, sondern der Punkt, an dem der Strom betrachtet 

wird.) Also gilt auch 

� 

〈i|�j� k |f〉 = 

d 3 r e −i� k·�r 〈i|e − i 

� � P ·�r �j(�0) e i 

� � P ·�r |f〉 . (III.5.25) 

Sind nun |i〉 und |f〉 Eigenzustände des Gesamtimpulses mit Eigenwerten ��qi und ��qf, so 

erhält man daraus 

� 

〈i|�j� k |f〉 = 


d 3 r e −i� k·�r 〈i|e −i�qi·�r �j(�0) e i�qf ·�r |f〉 = 〈i|�j(�0)|f〉 V δ� k, �qf −�qi 

Wird also ein System in einem Impulseigenzustand präpariert und nach einer spontanen 

Emission in einem anderen Impulseigenzustand beobachtet, liegt die Richtung des 

Photons fest: Hat der Anfangszustand den Impuls ��qf, so ist der Endzustand eine Superposition 

aller Zustände mit einem ” Materie“-Impuls ��qi und einem Photonenimpuls


�(�qf − �qi). Messung von einem der beiden Impulse determiniert also den anderen. 

Es soll jetzt die von einem angeregten Atom ausgesandte Strahlung betrachtet werden. Die 

Wellenlängen des emittierten Lichtes sind meist deutlich größer als die Ausdehnung der 

elektrischen Ladungswolke. Also ist es sinnvoll, bei der Berechnung des Matrixelementes 

� 

〈i|�j� k |f〉 = d 3 r e −i�k·�r 〈i|�j(�r)|f〉 (III.5.27) 

die Exponentialfunktion um den Ort �r0 des Kerns zu entwickeln. Der Einfachheit halber 

sei �r0 = �0. Dann hat man 

� 

〈i|�j� k |f〉 = d 3 r (1 − i�k · �r + . . .) 〈i|�j(�r)|f〉 

� 

= 〈i|�j0|f〉 − i 〈i| d 3 r ( �k · �r)�j(�r)|f〉 + . . . . (III.5.28) 

Nun gilt nach Definition des Stromdichteoperators 

�j0 = � P 

m 

= 1 

i� [ � R, H0] , (III.5.29) 

wobei � P der Operator des Gesamtimpulses ist und 

�R = 

N� 

�ri . (III.5.30) 

i=1 

H0 ist der Hamilton-Operator des Atoms (ohne Strahlungsfeld). Die Beschränkung auf den 

führenden Term 〈i|�j0|f〉 des Strommatrixelementes wird als Dipolnäherung bezeichnet. 

Man hat 

wobei 

〈i|�j0|f〉 = 1 

i� 〈i| � RH0 − H0 � R|f〉 = 1 

i� (Ef − Ei) 〈i| � R|f〉 = −iωif � dif , (III.5.31) 

�dif = 〈i| � R|f〉 (III.5.32) 

als Dipolmatrixelement bezeichnet wird. Die Übergänge, die durch dieses Matrixelement 

beschrieben werden, heißen elektrische Dipolübergänge. In der Dipolnäherung erhält man 

also für die spontan emittierte Leistung nach Gleichung III.5.3 bei gegebener Polarisation 

dP 

dΩ = ω4 if e2 

8π2c3 | 

ε0 

� dif · �ε ∗ λ | 2 , (III.5.33) 

wobei wieder �ελ einen Polarisationsvektor bezeichnet. Die beiden Zustände |f〉 und |i〉 

sollen nun die Eigenzustände |ℓ m〉 und |ℓ ′ k ′ 〉 des Quadrats und der z-Komponente des 

Gesamtdrehimpulses 

�L = 

N� 

�ri × �pi 

i=1 



sein. Dann ist [Lz, Rz] = 0, also auch 

〈ℓ ′ m ′ |[Lz, Rz]|ℓ m〉 = �(m ′ − m)〈ℓ ′ m ′ |Rz|ℓ m〉 = 0 . (III.5.35) 

Damit hat man für einen Dipolübergang |ℓ m〉 → |ℓ ′ m ′ 〉 die Auswahlregel 

〈ℓ ′ m ′ |Rz|ℓ m〉 = 0 für m �= m ′ . (III.5.36) 

Weiterhin ist [Lz, Rx] = i�Ry und [Lz, Ry] = −i�Rx, daher ergibt sich ebenso 

〈ℓ ′ m ′ |[Lz, Rx]|ℓ m〉 = �(m ′ − m)〈ℓ ′ m ′ |Rx|ℓ m〉 = i�〈ℓ ′ m ′ |Ry|ℓ m〉 und 

〈ℓ ′ m ′ |[Lz, Ry]|ℓ m〉 = �(m ′ − m)〈ℓ ′ m ′ |Ry|ℓ m〉 = −i�〈ℓ ′ m ′ |Rx|ℓ m〉 . (III.5.37) 

Daraus folgt 

(m ′ − m)〈ℓ ′ m ′ |Rx|ℓ m〉 = i〈ℓ ′ m ′ |Ry|ℓ m〉 = 1 

m ′ −m 〈ℓ′ m ′ |Ry|ℓ m〉 oder 

(m ′ − m) 2 〈ℓ ′ m ′ |Rx|ℓ m〉 = 〈ℓ ′ m ′ |Rx|ℓ m〉 . (III.5.38) 

Damit hat man die weiteren Auswahlregeln 

〈ℓ ′ m ′ |Rx|ℓ m〉 = 0 für m ′ �= m ± 1 und 

〈ℓ ′ m ′ |Ry|ℓ m〉 = 0 für m ′ �= m ± 1 . (III.5.39) 

Elektrische Dipolübergänge sind daher nur möglich für m ′ = m oder m ′ = m ± 1: 

(i) Fall m = m ′ , zeigt das Dipolmoment � d in z-Richtung. Der Polarisationsvektor �ελ 

des in � k-Richtung emittierten Lichtes ist orthogonal zum Wellenvektor � k. Wegen 

dP 

dΩ ∼ |� d·�ελ| 2 liegt �ελ in der von � k und � d aufgespannten Ebene, zeigt also in Richtung 

des zu � k senkrechten Anteils � d⊥ von � d (siehe Abbildung III.1): 

�d⊥ = � d − � d · � k 

k 2 � k . (III.5.40) 

¥ 

¨ 

¡£¢ 

¥§¦ 

Abbildung III.1: Lage der Vektoren für den Fall m = m ′ 

Das Photon ist also in der durch � d und � k aufgespannten Ebene linear polarisiert. 

Die Emissionsrate ist proportional zu | � d⊥| 2 und damit zu sin 2 ϑ. 

¤


(ii) Falls m ′ = m − 1, liegt der Vektor � d des Dipolmatrixelementes in der xy-Ebene. 

Wegen 〈ℓ ′ m ′ |Ry|ℓ m〉 = i〈ℓ ′ m ′ |Rx|ℓ m〉 hat man 

⎛ ⎞ 

1 

�d ∼ ⎝i⎠ 


0 

Für die entlang der positiven z-Achse ausgesandte Strahlung mit m ′ = m − 1 gilt 

�d⊥ = � d. Wegen 

Re e i(� ⎛ ⎞ 

1 

k�r−ωt) ⎝i⎠ 

0 

= 

⎛ 

exp(i( 

Re ⎝ 

�k�r − ωt)) 

exp(i( �k�r − ωt + π 

2 )) 

⎞ 

⎠ 

0 

⎛ 

cos( 

= ⎝ 

�k�r − ωt) 

− sin( � ⎞ 

k�r − ωt) ⎠ 

0 


ist dieses Licht rechtszirkular polarisiert (d.h. es besitzt positive Helizität). Für alle 

anderen � k-Richtungen erhält man elliptische Polarisation. 

(iii) Für m ′ = m + 1 findet man auf die gleiche Weise 

⎛ ⎞ 

1 

�d ∼ ⎝−i⎠ 


0 

und daher linkszirkular polarisiertes Licht entlang der positiven z-Achse, sowie elliptisch 

polarisiertes Licht für die anderen Richtungen. 

Schließlich soll die Änderung der Drehimpulsquantenzahl ℓ bei einem Dipolübergang ermittelt 

werden. Dazu betrachte 

[ � L 2 , Rk] = � 

[L 2 j, Rk] 

j 

= � 

j 

� 

� 

Lj[Lj, Rk] + [Lj, Rk]Lj 

= i� εjkl(LjRl + RlLj) , (III.5.44) 

wobei die Einsteinsche Summenkonvention benutzt wurde. Daraus folgt dann 

[ � L 2 , [ � L 2 , Rk]] = � � � 

2 

i� εjkl L − m , LjRl + RlLj 

m 

= i� εjkl 

= −� 2 εjkl 

� � 

Lm[Lm, LjRl + RlLj] + [Lm, LjRl + RlLj]Lm 

� 

LmLjεmlnRn + LmεmjnLnRl + LmRlεmjnLn + LmεmlnRnLj 

+LjεmlnRnLm + εmjnLnRlLm + RlεmjnLnLm + εmlnRnLjLm 

� 

. 



Nun ist 

εjklεmln = εjklεnml = δjnδkm − δjmδkn , 

εjklεmjn = εjklεjnm = δknδlm − δkmδln . (III.5.46) 

Der Kommutator [ � L2 , [ � L2 , Rk]] führt daher zunächst auf 

−� 2� �� 

δjnδkm − δjmδkn LmLjRn + LmRnLj + LjRnLm + RnLjLm 

−� 2� �� 

δknδlm − δkmδln LmLnRl + LmRlLn + LnRlLm + RlLnLm 

= −� 2� LkLjRj − � L 2 Rk + LkRjLj − LjRkLj + LjRjLk − LjRkLj + RjLjLk − Rk � L 2 

+LmLkRm − LkLmRm + LmRmLk − LkRmLm 

� 

+LkRmLm − LmRmLk + RmLkLm − RmLmLk . (III.5.47) 

Hier heben sich nun einige Terme gegeneinander weg. Mit � L · � R = LmRm = 0 bleibt noch 

−� 2� −2� L 2 Rk+i� εjklLjRl−2Rk � L 2 � 

−i� εjklRlLj+i� εkmlLmRl+i� εkmlRmLl . (III.5.48) 

Wegen der Antisymmetrie des ε-Tensors heben sich die Terme, die zu εjkl proportional 

sind, weg. Man hat also 

[ � L 2 , [ � L 2 , Rk]] = 2� 2 ( � L 2 Rn + Rk � L 2 ) bzw 

[ � L 2 , [ � L 2 , � R]] = 2� 2 ( � L 2 � R + � R � L 2 ) . (III.5.49) 

Bildet man die Matrixelemente dieser Operatorgleichung mit Drehimpulseigenfunktionen, 

ergibt sich 

� ℓ ′ (ℓ ′ + 1) − ℓ(ℓ + 1) � 2 〈ℓ ′ m ′ | � R|ℓ m〉 = 2 � ℓ ′ (ℓ ′ + 1) + ℓ(ℓ + 1) � 〈ℓ ′ m ′ | � R|ℓ m〉 (III.5.50) 

und daraus nach kurzer Zwischenrechnung 

(ℓ + ℓ ′ )(ℓ + ℓ ′ + 2)((ℓ − ℓ ′ ) 2 − 1)〈ℓ ′ m ′ | � R|ℓ m〉 = 0 . (III.5.51) 

Da ℓ und ℓ ′ nicht negativ sind, können nichtverschwindende Dipolmatrixelemente daher 

nur auftreten, falls ℓ = ℓ ′ = 0 oder ℓ ′ = ℓ ± 1 . Im ersten Fall ist allerdings 〈0 0| � R|0 0〉 = �0, 

da der Dipoloperator nur Zustände verschiedener Parität verbindet. Die Dipolauswahlregel 

für die Drehimpulsquantenzahl lautet daher 

ℓ ′ = ℓ ± 1 . (III.5.52) 

Da der Gesamtdrehimpuls erhalten ist, muss der bei einer spontanen Emission vom 

Atom ” verlorene“ Drehimpuls vom Photon aufgenommen werden. Die Dipolauswahlregeln 

∆ℓ = ±1, ∆m = 0, ±1 zeigen daher, dass das Photon den Spin 1 besitzt. Die Überlegungen 

zur Polarisation des emittierten Lichtes (rechtszirkular polarisiertes Licht entlang 

er positiven z-Achse für ∆m = −1) zeigen weiter, dass ein rechtszirkular polarisiertes 

Photon den Drehimpuls +� in Bewegungsrichtung trägt, ein linkszirkular polarisiertes


den Drehimpuls −�. 

Die Berechnung der Übergangsrate für einen Dipolübergang folgt nun genau den vorherigen 

Überlegungen. Die Rate, die mit der Emission eines Photons der Polarisation λ in 

das Raumwinkelelement dΩ verbunden ist, lautet 

dR = � 

� k in dΩ 

(sp. em.) 

Γ 

f→i, �kλ � 2 ω dω 

= dΩ 

(2πc) 3 

ωife 2 

= dΩ 

8π2�c3ε0 πe 2 

ε0ω δ(Ef − Ei − �ω) |〈i|�j� k · �ελ ∗ |f〉| 2 

In der Dipolentwicklung (〈i|�j� k |f〉 ≈ −iωif � dif) also 

ωife 2 

dR = dΩ 

8π2�c3ε0 ωife 2 

|〈i|�j� k · �ελ ∗ |f〉| 2 . (III.5.53) 

| � dif · �ελ ∗ | 2 

= dΩ 

8π2�c3 | 

ε0 

� dif| 2 cos 2 ϑλ , (III.5.54) 

wobei ϑλ den von � dif und �ελ ∗ eingeschlossenen Winkel bezeichnet (siehe Abbildung III.2). 

Bezeichnen θ und φ die üblichen Polarwinkel von � dif in dem von � k, �ε1 und �ε2 gebildeten 

(orientierten) Dreibein, so ist 

cos ϑ1 = sin θ cos φ und cos ϑ2 = sin θ sin φ . (III.5.55) 

¡¥¤ 

¨ ¤ 

§ 

Abbildung III.2: Lage des Vektors � dif im von � k, �ε1 und �ε2 gebildeten Dreibein 

Summation über beide Polarisationsrichtungen und Integration über alle Richtungen des 

emittierten Photons ergibt daher den Faktor 

� 

dΩ (cos 2 ϑ1 + cos 2 � π 

ϑ2) = 2π dθ sin 3 � π 

θ = 2π dθ (1 − cos 2 θ) sin θ 

0 

© 

¦ 

¨ ¢ 

�� 

0 

= 2π � − cos θ + 1 

3 cos3 θ �π 8π 

= . (III.5.56) 

0 3 

¡£¢


Daraus erhält man schließlich die Rate für den Übergang f → i: 

Rif = ω3 ife2 3π�c3 | 

ε0 

� dif| 2 . (III.5.57) 

Die Summe der Raten für alle möglichen atomaren Endzustände |i〉 ergibt die inverse 

Lebensdauer τ −1 des angeregten Zustandes |f〉 

τ −1 = � 

Rif . (III.5.58) 

i 

Betrachtet man z.B. ein Wasserstoffatom in einem angeregten Zustand mit der Hauptquantenzahl 

n = 2, so ist der Übergang 2s → 1s ” dipolverboten“ (d.h. der Zustand 

kann nicht durch den Dipoloperator, sondern erst durch höhere Terme in der Entwicklung 

des Strommatrixelementes vermittelt werden). Ein 2p-Zustand kann dagegen durch 

einen Dipolübergang ” zerfallen“. Aus Symmetriegründen reicht es, z.B. den Zerfall des 

2p-Zustandes mit m = 0 zu behandeln. Die benötigten Wasserstoffwellenfunktionen sind 

ψ100(�r) = 2 r 

e− a Y00(ϑ, ϕ) 

a3/2 ψ210(�r) = 1 

√ 3 

1 

(2a) 3/2 

mit den Kugelflächenfunktionen 

Da 

Y00(ϑ, ϕ) = 1 

√ 4π 

x = r sin ϑ cos ϕ 

y = r sin ϑ sin ϕ 

r r 

e− 2a Y10(ϑ, ϕ) (III.5.59) 

a 

und Y10(ϑ, ϕ) = 

� 

3 

cos ϑ . (III.5.60) 

4π 

z = r cos ϑ , (III.5.61) 

erkennt man sofort, dass die x- und y-Komponenten des Dipolvektors verschwinden, wie 

es für einen Übergang mit ∆m = 0 sein muss. Für die z-Komponente findet man das 

Winkelintegral 

� 

√ � π 

3 

dΩ Y00(ϑ, ϕ) cos ϑ Y10(ϑ, ϕ) = 2π dϑ sin ϑ cos 2 ϑ 

= 

√ 3 

2 

= 1 

√ 3 

4π 

0 

� 

− 1 

3 cos3 � 

ϑ 

�π � 

�� 

0 



und das Radialintegral 

� ∞ 

dr r 

0 

2 R10(r) r R21(r) = a � ∞ 

dr r 

√ 

6 0 

2 

a3 = 

� 

r 

�2 3r 

− 

e 2a 

a 

a � ∞ 

√ dx x 

6 0 

4 3 

− 

e 2 x 

= a � �5 2 

√ 4! 

6 3 

= 

28 √ a . 

6 · 34 (III.5.63) 

Damit hat die z-Komponente des Dipolvektors den Wert 

dz = 28 256 

√ · a = √ · a ≈ 0, 75 a , (III.5.64) 

2 · 35 2 · 243 

ist also von der Größenordnung des Bohrschen Radius a. Daraus erhält man in der Dipolnäherung 

für die inverse Lebensdauer eines 2p-Zustandes den Wert 

τ −1 = ω3 e 2 a 2 

3π�c 3 ε0 

2 15 

3 10 ≈ 0, 555 ω3 (ea) 2 

3π�c 3 ε0 

Damit folgt für die Lebensdauer 

τ ≈ 1, 595 · 10 −9 s , wobei ω = E2 − E1 

� 


≈ 1, 55 · 10 16 s −1 


benutzt wurde. ” Übergänge höherer Ordnung“, die in der Dipolnäherung vernachlässigt 

wurden, liefern Korrekturen der Ordnung O( a 

λ ) ≈ 10−2 zur Übergangsamplitude. Da die 

endliche Lebensdauer eines angeregten Atoms eine Konsequenz der Wechselwirkung mit 

dem Vakuum des quantisierten Strahlungsfeldes ist, liefern Präzisionsmessungen der Lebensdauer 

eine wichtige Möglichkeit zur Prüfung der Theorie. 

Wenn ein Übergang (wie der Übergang 2s → 1s im Wasserstoffatom) dipolverboten“ ist, 

” 

kann er immer noch durch die höheren Terme der Entwicklung des Strommatrixelementes 

ermöglicht werden: Gemäß Gleichung III.5.28 und III.5.31 ist 

〈i|�j� k · �ε ∗ λ |f〉 = −iωif 〈i| � � 

R|f〉 − i 〈i| d 3 � � � 

r �k · �r �j(�r) · �ε ∗ � 

λ |f〉 . (III.5.67) 

Um das zweite Matrixelement zu interpretieren, schreibe zunächst 

� 

� 

( � k · �r)(�j · �ε ∗ λ ) = 1 

2 

+ 1 

� 

2 

( � k · �r)(�j · �ε ∗ λ ) − (�ε ∗ λ · �r)(�j · � k) 

( � k · �r)(�j · �ε ∗ λ ) + (�ε ∗ λ · �r)(�j · � k) 

= 5 1 

2 (�k × �ε ∗ λ )(�r × �j) + 1 

2 

� 

� 

ε ∗ λαkβ(jαrβ + rαjβ) . (III.5.68) 

α,β


Mit der Definition des Stromdichteoperators 

�j(�r) = 1 

2 

N� 

j=1 

� 

�pj 

m δ(�r − �rj) + δ(�r − �rj) �pj 

� 

m 

führt der erste Term dieser Zerlegung auf 

� 

d 3 r �r × �j(�r) = 1 

2m 

N� 

j=1 

und damit auf das Matrixelement 

(−�pj × �rj + �rj × �pj) = 1 

m 

N� 

j=1 


�rj × �pj = 1 

m � L (III.5.70) 

1 

2m (� k × �ε ∗ λ )〈i| � L|f〉 . (III.5.71) 

Da �mBahn = e 

2m � L den Operator des magnetischen Momentes bezeichnet, werden Übergänge, 

die durch dieses Matrixelement beschrieben werden, als magnetische Dipolübergänge 

bezeichnet. Während elektrische Dipolmatrixelemente normalerweise von der Ordnung ωa 

4πε0�2 sind (a = me2 Ordnung �k 

m 

�k 

mωa 

ist der Bohrsche Radius), sind magnetische Dipolmatrixelemente von der 

. Das Verhältnis 

= �k 

mω 

me2 1 

= 

4πε0�2 4πε0 

e 2 

�c 

= α (III.5.72) 

zeigt an, dass magnetische Dipolübergangsamplituden üblicherweise um zwei Größenordnungen 

gegenüber den elektrischen unterdrückt sind. 

Der zweite Term in der Zerlegung in Gleichung III.5.68 führt auf 

� 

d 3 r (jαrβ + rαjβ) = 1 

2m 

Nun ist weiterhin 

N� 

j=1 

(pjα rjβ + rjβ pjα + rjα pjβ + pjβ rjα) . (III.5.73) 

[rjα rjβ, H0] = 1 � 

rjα[rjβ, �p 

2m 

2 ] + [rjα, �p 2 � i� 

]rjβ = 

m (rjα pjβ + pjα rjβ) , (III.5.74) 

also findet man schließlich 

� 

〈i| d 3 r (jαrβ + rαjβ)|f〉 = 1 

i� (Ef 

N� 

− Ei) 〈i| rjα rjβ|f〉 (III.5.75) 

und damit 

1 

2 

� 

α,β 

ε ∗ � 

λα kβ 〈i| 

j=1 

d 3 r (jαrβ + rαjβ)|f〉 = −i ωif 

2 〈i| 

N� 

j=1 

( � k · �rj)(�ε ∗ λ · �rj)|f〉 . (III.5.76) 

5 Benutze hier (�a × � b)(�c × � d) = εijk ajbk εilm cldm = (δjlδkm − δjmδkl)ajbkcldm = albmcldm − amblcldm.

III.6 Aus der Lasertheorie: Ratengleichungen 105 

Da der Operator e � N 

j=1 rjα rjβ die elektrischen Quadrupolmomente liefert, heißen die 

Übergänge, die diesem Matrixelement entsprechen, elektrische Quadrupolübergänge. Ihre 

Amplituden sind offensichtlich um den Faktor ka = O(10 −2 ) gegenüber denen der elektrischen 

Dipolübergänge unterdrückt. 

Falls das gesamte Matrixelement 〈i|�j� k |f〉 (in allen Ordnungen der Entwicklung von �j� k ) 

verschwindet, heißt der Übergang f → i ” streng verboten“. Er kann dann jedoch immer 

noch in höheren Ordnungen der Störungstheorie auftauchen. Solche Prozesse höherer 

Ordnung sind mit der Emission oder Absorption von mehreren Photonen verbunden und 

werden daher als Multiphotonenprozesse bezeichnet. Sie können insbesondere in starken 

Laserfeldern eine große Rolle spielen. 

III.6 Aus der Lasertheorie: Ratengleichungen 

Ein Laser ist eine Vorrichtung, in dem die stimulierte Emission zur Lichtverstärkung 

ausgenutzt wird. Ein einfaches Modell für das ” aktive“ (lichtverstärkende) Medium erhält 

man, wenn man ” Drei-Niveau-Atome“ mit den in Abbildung III.3 dargestellten Übergängen 

betrachtet: 

�� 

¡£¢¥¤§¦©¨�� 

Abbildung III.3: Übergänge beim ” Drei-Niveau-Atom“ 

Der ” lasende Übergang“ ist hier der Übergang |1〉 ↔ |2〉. Das Niveau |2〉 wird vom Niveau 

|3〉 aus durch ” optisches Pumpen“ besetzt. Die Wahrscheinlichkeit je Atom und Zeit für 

einen solchen Übergang |3〉 → |2〉 sei r. Die Zustände |2〉 und |1〉 zerfallen spontan mit 

den Raten 2γ2 bzw. 2γ1 in den Grundzustand |3〉. (Der Faktor 2 entspricht den beiden 

Polarisationsrichtungen der emittierten Photonen.) 

Die Atome befinden sich in einem optischen Resonator mit dem Volumen V . Für einen 

” single mode“-Laser ist nur die Wechselwirkung der Atome mit den Photonen in einer 

einzigen Resonatormode der Frequenz ω0 = (E2 − E1)/� ausschlaggebend. Bezeichnet 

n die Anzahl der Photonen in dieser Mode, so hat man für ein einzelnes Atom gemäß 

Gleichung III.2.14 zunächst die Aborptionsrate 

Γ (abs) = 2π 

� δ(E2 − E1 − �ω) �e2 

2ε0ωV |〈2|�j − � k · �ε |1〉| 2 · n 

= πe2 ω0 

�ε0V δ(ω − ω0) | � d| 2 cos 2 ϑ · n , (III.6.1) 

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� � � 

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� ��


wobei die Dipolnäherung |〈2|�j − � k ·�ε |1〉| 2 = ω 2 0| � d·�ε | 2 benutzt wurde und ϑ den Winkel zwischen 

� d und dem Polarisationsvektor �ε bezeichnet. Da die Dipolmomente der laseraktiven 

Atome zufällig orientiert sind, muss über alle Orientierungen gemittelt werden 

cos2 ϑ = 1 

� 2π 

dϕ 

4π 0 

� π 

0 

dϑ sin ϑ cos 2 ϑ = 1 1 

· 

2 3 cos3 � 

� 

ϑ 

� π 

0 

= 1 

3 


Die endliche Lebensdauer der angeregten Niveaus aufgrund der Zerfälle nach |3〉 führt 

zu einer ” Linienverbreiterung“. Diese wird dadurch berücksichtigt, dass man die scharfe 

δ-Funktion durch eine verschmierte Funktion mit der Breite γ = γ1 + γ2 ersetzt 

δ(ω − ω0) → 

γ/π 

(ω − ω0) 2 + γ 2 mit γ = γ1 + γ2 . (III.6.3) 

Man hat also für den Übergang |1〉 ↔ |2〉 bei gegebener Polarisation insgesamt 

Γ (abs) = 

e2ω0 | � d| 2 

· n . (III.6.4) 

3ε0�V (γ1 + γ2) 

Die beim Zerfall |2〉 → |1〉 spontan emittierten Photonen werden in alle Raumrichtungen 

ausgesandt, besetzen also nicht unbedingt die Lasermode. Dem entspricht die Verlustrate 

(vgl. Gleichung III.5.57) 

γ21 = e2ω3 0 | � d| 2 


6πε0�c3 Daher findet man schließlich 

Γ (abs) = 2πc3 

V ω 2 0 

γ21 

γ1 + γ2 

Ebenso erhält man für die Emission in die Lasermode 

· n ≡ G · n . (III.6.6) 

Γ (em) = G(n + 1) . (III.6.7) 

Damit Laseraktivität einsetzen kann, muss der spontane Zerfall |2〉 → |1〉 langsamer 

erfolgen als der Übergang |1〉 → |3〉, also 

γ12 < γ1 . (III.6.8) 

Die Laserschwelle wird erreicht, wenn die Produktionsrate für Photonen in der Lasermode 

genau die Resonatorverlustrate (Auskopplungsrate) C ausgleicht. Solange die Zahl n der 

Photonen in der Lasermode noch klein ist, zerfällt das Niveau |2〉 hauptsächlich spontan 

nach |3〉 mit der Rate 2γ2. Die mittlere Zahl der Atome im Zustand |2〉, bezeichnet als 

N2, ist im Gleichgewicht von Pumpen und Zerfall unterhalb der Schwelle gegeben durch 

N2 · 2γ2 = Nr , (III.6.9)


wobei N die Gesamtzahl der Atome angibt. Die Produktionsrate für Laserphotonen, bedingt 

durch den spontanen Zerfall |2〉 → |1〉, ist daher 

N2 G = 

Nr G 

2γ2 

≡ α . (III.6.10) 

An der Laserschwelle ist dieser Parameter α gleich der Verlustrate, d.h. 

α = C . (III.6.11) 

Zur Abschätzung sollen einige typische Größenordnungen herangezogen werden: 

Zerfallskonstanten 2γ ≈ 3 · 10 7 s −1 

Teilchenzahlen N ≈ 2 · 10 20 

Volumina V ≈ 2 · 10 −5 m 3 

Frequenzen ω0 ≈ 4 · 10 15 s −1 . 

Damit erhält man 

G ≈ 2πc3 

V ω 2 0 

≈ 0, 5 s −1 . (III.6.12) 

Typische Resonatorverlustraten sind C ≈ 10 6 s −1 , d.h. ein Resonator der Länge 20 cm wird 

ca. 1500 mal durchlaufen, bevor ein Photon nach außen gelangt. An der Laserschwelle hat 

man daher die Pumprate 

also 

Nr = 2γ2 

C 

G ≈ 6 · 1013 s −1 , (III.6.13) 

r ≈ 3 · 10 −7 s −1 . (III.6.14) 

Es ist nun entscheidend wichtig, dass die atomare Dynamik ” schnell“ ist im Vergleich zu 

der der Photonen, da ja γ ≫ C. Daher können sich die atomaren Besetzungszahlen an 

das instantane Lichtfeld anpassen, so dass eine ” adiabatische Trennung der Zeitskalen“ 

möglich wird. 

Schritt 1: Atomare Besetzungszahlen bei gegebener Photonenverteilung 

Sei R1 n die Wahrscheinlichkeit dafür, ein beliebiges Atom im Zustand |1〉 und n Photonen 

in der Lasermode zu finden. Sei weiter Pn die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von n 

Laserphotonen. Dann ist R1 � 

n Pn die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, ein Atom in |1〉 

zu finden, wenn n Photonen vorhanden sind. Weiterhin gelten 

� 

n 

R 1 n = N1 

N 



und 

� 

n 

R 2 n = N2 

N 


Betrachtet man alle Übergänge, an denen die Niveaus |2〉 und |1〉 beteiligt sind, erhält 

man folgende Ratengleichungen: 

dR 2 n 

dt 

= rPn+R 1 n+1G(n + 1) − R 2 nG(n + 1)−2γ2R 2 n 

dR1 n+1 

dt = −R1 n+1G(n + 1) + R 2 nG(n + 1)−2γ1R 1 n+1 . (III.6.17) 

Auf Zeitskalen, die groß gegenüber den atomaren Lebensdauern, aber klein im Vergleich 

zur ” Lebensdauer“ der Photonen im Resonator sind, erreichen die atomaren Besetzungszahlen 

ein Gleichgewicht mit der quasistatischen Photonenverteilung: 

0 = rPn+R 1 n+1G(n + 1) − R 2 nG(n + 1)−2γ2R 2 n 

0 = −R 1 n+1G(n + 1) + R 2 nG(n + 1)−2γ1R 1 n+1 . (III.6.18) 

Addition beider Gleichungen liefert 

rPn = 2γ2R 2 n + 2γ1R 1 n . (III.6.19) 

Summation über alle n ergibt wegen Gleichung III.6.16 

N2 N1 

r = 2γ2 + 2γ1 

N N 


Diese Gleichung ist klar: Im ” steady state“ werden genau so viele Atome aus |3〉 abgepumpt 

wie sie auch zurückfallen. Es können nun die Gleichgewichtswerte der Wahrschein- 

lichkeiten R 1 n+1 und R 2 n bestimmt werden. Man hat 

R 2 n 

R 1 n+1 

R 2 n 

� 

2γ1 + G(n + 1) � = R 2 nG(n + 1) 

� 

2γ2 + G(n + 1) � = R 2 n+1G(n + 1) + rPn . (III.6.21) 

Multiplikation beider Gleichungen ergibt 

� 

2γ1 +G(n+1) �� 2γ2 +G(n+1) � = R 2� �2 � 

n G(n+1) +rPn 2γ1 +G(n+1) � (III.6.22) 


R 2� n 4γ1γ2 + 2(γ1 + γ2)G(n + 1) � � 

= rPn 2γ1 + G(n + 1) � . (III.6.23) 

Daraus folgen sofort die gesuchten Ausdrücke 

R 2 n = rPn 

� 

2γ1 + G(n + 1) � 

4γ1γ2 + 2(γ1 + γ2)G(n + 1) 

R 1 rPnG(n + 1) 

n+1= 

. 

4γ1γ2 + 2(γ1 + γ2)G(n + 1) 



Entscheidend ist die relative Größe der beiden Terme im Nenner. Der ” Umschlag“ geschieht 

bei einer Photonenzahl von 

β = 

2γ1γ2 


(γ1 + γ2)G 

unter typischen Bedingungen (2γ1 ≈ 2γ2 ≈ 3 · 10 7 s −1 , G ≈ 0, 5 s −1 ) erhält man für diese 

Photonenzahl 

β ≈ 3 · 10 7 . (III.6.26) 

Es sind also zwei Fälle zu unterscheiden: 

(i) n ≪ β : R 2 n ≈ rPn 

2γ2 

R 1 n+1 ≈ rPnG(n + 1) 

4γ1γ2 

(ii) n ≫ β : R 2 n ≈ R 1 n+1 ≈ 

Schritt 2: Bestimmung der Photonenverteilung 

≈ R2 nG(n + 1) 

2γ1 

rPn 

2(γ1 + γ2) 

Die Änderung von Pn wird durch drei Prozesse bedingt: 



(a) Änderung der Photonenzahl von n nach n + 1: 

� 

dPn � 

� 

dt 

= N � R 1 n+1 − R 2� n G(n + 1) (III.6.29) 

� n,n+1 

(b) Änderung der Photonenzahl von n nach n − 1: 

� 

dPn � 

� 

dt 

= N � R 2 n−1 − R 1� n Gn (III.6.30) 

� n,n−1 

(c) Änderung der Photonenzahl aufgrund von Resonatorverlusten: 

� 

dPn � 

� 

dt 

= −CnPn + C(n + 1)Pn+1 . (III.6.31) 

� loss 

Die Gesamtrate dPn 

dt ist die Summe dieser drei Beiträge. 

Man hat nun 

R 1 n+1 − R 2 n = − 

= − 

rPn2γ1 

4γ1γ2 + 2 (γ1 + γ2) G(n + 1) 

2rPnγ1 

2β (γ1 + γ2) G + 2(γ1 + γ2) G(n + 1) 

γ1 

(γ1+γ2) G 

= − 2rPn 

β + n + 1 

= 

r 

2γ2 

− 

βPn 

. 

β + n + 1 



Mit dem schon in Gleichung III.6.10 eingeführten Pumpparameter“ α = 

” 

also für die Photonenverteilung die Ratengleichung 

dPn 

dt 

Nr G 

2γ2 

ergibt sich 

αβ(n + 1) 

= − 

β + n + 1 Pn 

αβ n 

+ 

β + n Pn−1 − Cn Pn + C(n + 1) Pn+1 . (III.6.33) 

Diese Gleichung muss numerisch gelöst werden. 

Im Gleichgewicht wird die Situation einfacher, da dann sogar die Rate für jeden einzelnen 

der Übergänge n ←→ n − 1 verschwinden muss ( detailed balance“) 

” 

� 

Gn − Cn Pn = 0 , (III.6.34) 

also 

N � R 2 n−1 − R 1 n 

αβ 

β + n Pn−1 − C Pn = 0 . (III.6.35) 

Mittels dieser Rekursionsformel lässt sich nun Pn auf P0 zurückführen 


Pn = αβ/C 

β + n Pn−1 

� �n αβ/C 

Pn = 

= 

(β + n) . . . (β + 2)(β + 1) P0 


� αβ/C � n β! 

(β + n)! P0 . (III.6.37) 

Die noch verbleibende Konstante P0 iat aus der Normierung zu bestimmen 

∞� 

� �n αβ/C β! 

P0 

= 1 . (III.6.38) 

(β + n)! 

n=0 

Hier taucht genau die konfluente hypergeometrische Reihe auf. Man hat (vgl. Quantenmechanik 

I, Aufgabe 24) 

also gilt 

M(a, b; x) = 

∞� 

n=0 

M � 1, 1 + β; αβ � 1 

= C 

P0 

(a + n − 1)! (b − 1)! x 

(a − 1)! (b + n − 1)! 

n 


n! 


Die Wahrscheinlichkeit Pn hängt somit bei gegebenem β nur vom Quotienten α 

C ab.


Eine besonders wichtige Größe ist nun die mittlere Zahl der Photonen in der Lasermode 

∞� 

n = nPn 

n=0 

∞� n 

= 

n=0 

� αβ/C �n β! P0 

(β + n)! 

∞� 

� �n αβ/C β! P0 

= (β + n − β) 

(β + n)! 

n=1 

= αβ 

∞� 

� �n−1 αβ/C β! P0 

− β(1 − P0) 

C (β + n − 1)! 

n=1 

= αβ 

C − β(1 − P0) . (III.6.41) 

Damit kann jetzt das Verhalten der Photonenverteilung in verschiedenen Bereichen untersucht 

werden: 

(i) Verhalten unterhalb der Schwelle, α/C < 1: 

Man hat die Näherung 

M � 1, 1 + β; αβ � 

= C 

1 

1 − α/C 

� 

α/C 

1 − 

β(1 − α/C) 2 + O � β −2�� 

Das ergibt bei Vernachlässigung von Termen der Ordnung O (β −2 ) 

P0 = 1 − α 

C + 

α/C 

β(1 − α/C) 



Daraus folgt die mittlere Photonenzahl 

n = αβ 

� 

− β + β 1 − 

C α 

C + 

� 

α/C 

β(1 − α/C) 

= 

α/C 

. 

1 − α/C 


Da unterhalb der Schwelle β ≫ n, gilt (β + n)! ≈ β!βn . Mit dieser Näherung findet 

man 

Pn ≈ (αβ/C)n β! 

β!βn � 

α 

�2 P0 = P0 . 

C 


Da � ∞ 

n=0 

Pn = 

� � 

α n 1 = C 

= 

= 

1−α/C , ist P0 = 1 − α 

C 

. Also ist 

� 

α 

�n � 

1 − 

C 

α 

� 

C 

� 

α 

�n � 

1 − 

C 

α 

�−n+1+n C 

nn . (III.6.46) 

(1 + n) 1+n


Das ist eine geometrische Verteilung (monoton fallend, Maximum bei n = 0), wie 

sie für chaotisches (Lampen-) Licht charakterisiert ist. 

(ii) Verhalten an der Schwelle, α/C = 1: 

Hier gilt 

� 

πβ 

M(1, 1 + β; β) ≈ , 

2 


also 

� 

2 

P0 ≈ 

πβ 


und 

n ≈ 

� 2β 

π 


Die Photonenverteilung an der Schwelle ergibt sich daraus ohne weitere Näherung 

Pn ≈ βn β! 

(β + n)! 

� 2 

πβ 


(iii) Verhalten oberhalb der Schwelle, α/C > 1: 

Jetzt hat man 

M � 1, 1 + β; αβ � � 

αβ/C −β 

= β!e (αβ/C) 1 + O C 

� � 

C 

αβ 

� 


Da diese Zahl sehr groß ist, ist P0 ≈ 0 vernachlässigbar. Es folgt die mittlere Zahl 

der Laserphotonen 

� � 

α 

n ≈ β − 1 


C 

und die Photonenverteilung wird 

Pn ≈ (αβ/C)n β! 

(β + n)! 

= (αβ/C)β+n 

(β + n)! 

= (β + n)β+n 

(β + n)! 

(αβ/C) β 

β! exp(αβ/C) 

exp(−αβ/C) 

exp(−β − n) . (III.6.53) 

Für α/C = 2 ist n = β; für α/C ≫ 2 hat man daher n ≫ β. In diesem Fall reduziert 

sich die Photonenverteilung auf eine Poissonverteilung 

exp(−n) , (III.6.54) 

n! 

die eine Signatur für kohärentes (Laser-) Licht ist. (vgl. Quantenmechanik I, Aufgabe 

25, zu den kohärenten Zuständen) 

Pn ≈ nn

Index 

π-Puls, 20 

s-Wellen-Streuung, 66, 69 

Absorption, 82 

Bohrsches Magneton, 12 

Bornsche Näherung, 62 

Bornsche Reihe, 61 

Breit-Wigner-Formel, 68 

Clebsch-Gordan-Koeffizienten, 31 

Coulomb-Eichung, 75 

Dipolübergang 

elektrischer, 97 

Dipolmatrixelement, 97 

Dipolnäherung, 97 

Drehimpulsaddition, 27, 31 

Eichtransformation, 74 

elektrischer Quadrupolübergang, 105 

Emission 

induzierte, 82 

spontane, 86 

Energie eines Strahlungsfeldes, 75 

Faltungstheorem, 73 

Feinstruktur, 16 

Fock-Raum, 83 

Fock-Zustand, 83 

Gesamtdrehimpuls, 11 

goldene Regel, 81 

Greensche Funktion, 48, 94 

Gyromagnetischer Faktor, 13 

Hankel-Funktion 

sphärische, 57 

Hartkugelpotential, 66 

Helmholtz-Gleichung 

inhomogene, 47 

Hyperladung, 46 

Isospin, 42 

113 

j-j-Kopplung, 42 

L-S-Kopplung, 42 

Lamb-Shift, 39 

Laserschwelle, 106 

Levinson-Theorem, 70 

Lippmann-Schwinger-Gleichung, 50 

magnetischer Dipolübergang, 104 

Maxwell-Gleichungen, 72 

Multiphotonenprozesse, 105 

Partialwellenamplituden, 56 

Partialwellenansatz, 55 

Pauli-Gleichung, 16 

Pauli-Spinmatrizen, 6 

Pauli-Spinoren, 11 

Photonenzahl 

mittlere, 111 

Poissonverteilung, 112 

Poynting-Vektor, 76 

Quark, 46 

Racah-Koeffizienten, 42 

Ramsauer-Effekt, 70 

Ratengleichungen, 108 

Resonanzstreuung, 68 

Russel-Saunders-Kopplung, 42 

Rutherford-Wirkungsquerschnitt, 63 

s-Wellen-Streulänge, 70 

Schwinger-Term, 13 

Singlett, 27 

sphärischer Potentialtopf, 67 

Spin-Bahn-Kopplung, 15 

Spindarstellung, 10 

Spinraum, 5 

Streuamplitude, 48 

Streuphasen, 55 

Stromdichte 

diamagnetische, 79 

paramagnetische, 79

INDEX 114 

Stromdichteoperator, 79 

Theorem 

optisches, 57 

Thomas-Präzession, 15 

Transversale Eichung, 75 

Triplett, 27 

Vakuumfluktuation, 93 

Vorwärts-Streuamplitude, 57 

Wignersche 3j-Symbol, 34 

Wignersches 6j-Symbol, 42 

Wirkugsquerschnitt 

inelastischer, 60 

Wirkungsquerschnitt 

differentieller, 53 

elastischer, 58 

totaler, 57 

Zeeman-Effekt 

anormaler, 14 

normaler, 14

Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

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