Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.3 Spinpräzession und Spinresonanz 17
Die zeitliche Ableitung von � S(t) lässt sich also schreiben als
d � S(t)
dt
= ge
2m � S(t) × � B(t) = �m(t) × � B(t) . (I.3.3)
Auf der rechten Seite taucht also gerade das Drehmoment auf, das ein magnetisches
Moment �m in einem Feld � B erfährt. Diese Operatorgleichung besagt also, dass die Änderung
des Spin-Drehimpulses durch das äußere Drehmoment bestimmt wird. Ist � B zeitunabhängig
und entlang der z-Achse orientiert, also � B = B0�ez, hat man
dSx(t)
dt
mit der Lösung
= geB0
2m Sy(t) ,
dSy(t)
dt
Sx(t) = Sx(0) cos ω0t + Sy(0) sin ω0t
Sy(t) = −Sx(0) sin ω0t + Sy(0) cos ω0t
= −geB0
2m Sx(t) ,
dSz(t)
dt
= 0 (I.3.4)
Sz(t) = Sz(0) . (I.3.5)
Der Spin präzediert also um die Feldrichtung, wobei die Spinpräzessionsfrequenz durch
ω0 = geB0
2m
gegeben wird. Für ein Elektron ist ω0 < 0 und
|ω0|
2πB
(I.3.6)
= g|e|
4πm = 2, 80 · 1010 s −1 /T = 2, 80 MHz/Gauß (1 Gauß = 10 −4 T) . (I.3.7)
Weist also der Spin zum Zeitpunkt t = 0 in x-Richtung, d.h. hat man anfangs einen
Eigenzustand Sx mit Eigenwert �
2 ,
ergibt sich
〈Sx(0)〉 = 〈�ex ↑ |Sx(0)|�ex ↑〉 = �
2
〈Sy(0)〉 = 0 〈Sz(0)〉 = 0 , (I.3.8)
〈Sx(t)〉 = �
2 cos ω0t , 〈Sy(t)〉 = − �
2 sin ω0t , 〈Sz(t)〉 = 0 . (I.3.9)
Der Erwartungswert des Spin-Operators rotiert also in mathematisch negativer Drehrichtung
(für e > 0) in der x-y-Ebene.
Im Schrödinger-Bild folgt die Zeitentwicklung des Spin-Operators der Gleichung
i
−
|Ψ(t)〉 = e � Ht |Ψ(0)〉
= e i geB0 2m
Sz
� t |Ψ(0)〉
= e iω0t σz 2 |Ψ(0)〉
=
� � � � ��
ω0t
ω0t
cos + iσz sin |Ψ(0)〉 . (I.3.10)
2
2