Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

II.1 Formale Lösung der zeitunabh. Schrödinger-Gleichung 51
Gleichung für die Streuamplitude f� k (ϑ, ϕ). Es gilt dann
|�r − �r ′ | = � r 2 − 2�r�r ′ �
1
+ r
′2� 2 = r
≈ r
�
1 − �e�r
�r ′
r
r′2
+
r2 � 1
2
1 − 2 �e�r �r ′
r
�
= r − �e�r · �r ′ , (II.1.19)
wobei �e�r den Einheitsvektor in �r-Richtung bezeichnet. Es ist also
�
ϕ� k (�r) ∼ e i� k�r − 2m
4π� 2
für große r. Daraus folgt sofort die exakte Darstellung
f�k (ϑ, ϕ) = − 2m
4π�2 �
d 3 r ′ e ik�e �r·�r ′
d 3 r ′ e −ik�e �r·�r ′
V (�r ′ ) ϕ�k (�r ′ ) (II.1.20)
V (�r ′ ) ϕ� k (�r ′ ) . (II.1.21)
Nachdem nun die stationären Streulösungen ϕ�k (�r) gegeben sind, müssen die Koeffizienten
A( �k) für die Entwicklung nach diesen Zuständen durch die Koeffizienten a( �k) ausgedrückt
werden. Zum Zeitpunkt t0 lange vor dem Streuereignis hat man
� 3 d k
ψ(�r, t0) =
=
(2π) 3 a(� k) e i� k�r
� d 3 k
(2π) 3 a(� k)
�
ϕ� k (�r) + 2m
4π� 2
�
d 3 r ′ eik|�r−�r ′ |
|�r − �r ′ | V (�r ′ ) ϕ�k (�r ′ �
) . (II.1.22)
Da a( � k) scharf um ein k0 herum zentriert sein soll, sind unter dem Integral nur kleine
Werte von | � k − � k0| relevant. Für ein mit � k0 einlaufendes Wellenpaket hat man also
k =
���k0 + �k − � � � 1
2 2
k0
≈ k0
�
1 + 1
k2 �k0( 0
�k − � �
k0) = �n0 · �k , (II.1.23)
wobei �n0 = � k0
k0 den Einheitsvektor in � k0-Richtung beschreibt. Damit stößt man bei der
Berechnung von ψ(�r, t0) auf das Integral
� d 3 k
≈
(2π) 3 a(� k) e i� k|�r−�r ′ | ϕ� k (�r ′ )
� d 3 k
(2π) 3 a(� k) e i� k�n0|�r−�r ′ | ϕ� k (�r ′ )
= ψ(�n0|�r − �r ′ |, t0) ϕ� k0 (�r ′ ) (II.1.24)
Zum Zeitpunkt t0 ist jedoch wie in Abbildung II.3 das einlaufende Wellenpaket ψ(�r, t0)
noch weit vom ” Wirkungsbereich“ des Potentials entfernt. Für kurzreichweitige Potentiale
ist daher in sehr guter Näherung
ψ(�n0|�r − �r ′ |, t0)V (�r ′ ) ≈ 0 (II.1.25)