Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.5 Addition von Drehimpulsen 29
Die Triplett-Zustände sind daher symmetrisch unter Teilchenaustausch, der Singlett-
Zustand ist antisymmetrisch.
Das wesentliche Resultat – die Kopplung von zwei Spin 1/2 liefert entweder einen Gesamtspin
1 oder einen Gesamtspin 0 – schreibt man symbolisch in der Form
Da ja
1 1
⊗
2 2
= 1 ⊕ 0 . (I.5.16)
�S1 · � S2 = 1
2 (� S 2 − � S 2 1 − � S 2 2) = 1
2 � S 2 − 3
4 �2 , (I.5.17)
sind die Zustände |s, m〉 auch Eigenzustände von � S1 · � S2.
Für einen Triplett-Zustand gilt
�S1 · � S2 |1, m〉 = 1
4 �2 |1, m〉 , (I.5.18)
für das Singlett dagegen
Also ist
�S1 · � S2 |0, 0〉 = − 3
4 �2 |0, 0〉 . (I.5.19)
P1 = 3
4 �2 + � S1 · � S2
ein Projektor auf den Triplett-Anteil,
P0 = 1
4 �2 − � S1 · � S2 = 1 − P1
ein Projektor auf den Singlett-Anteil des Zustandsraums.
Wirkt schließlich zwischen zwei Spin 1/2-Teilchen ein Spin-Potential der Form
(I.5.20)
(I.5.21)
V = v0 � S1 · � S2 , (I.5.22)
und ist es in einem Triplett-Zustand attraktiv (v0 < 0), so ist die Wechselwirkung im
Singlett-Zustand dreifach stärker, jedoch repulsiv.