Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.5 Addition von Drehimpulsen 27
I.5 Addition von Drehimpulsen
In der klassischen Mechanik entspricht die Drehimpulsaddition der üblichen Vektoraddition.
In der Quantenmechanik liegt der Drehimpulsaddition eine andere Art der Mathematik
zugrunde, die in den Bereich der Gruppentheorie gehört. Das einfache Beispiel der
Addition zweier ” Spin 1/2“ zeigt bereits alles wesentliche und soll daher ausführlich vorab
behandelt werden.
Betrachtet werden also zwei Teilchen mit Spin 1/2 – z.B. ein Proton und ein Neutron,
die zu einem Deuterium gebunden sind. Der Spinoperator für das erste Teilchen sei � S1,
der für das zweite � S2. Dann gilt [ � S1, � S2] = 0, da sich die Operatoren auf verschiedene
Teilchen beziehen. Der Zustandsraum für das Zwei-Spin-System ist der Produktraum der
einzelnen Zustände und damit vierdimensional. Wählt man wie üblich die z-Achse als
Quantisierungsachse, hat man in einprägsamer Schreibweise die Basiszustände |↑ ↑〉, |↑ ↓〉,
| ↓ ↑〉 und | ↓ ↓〉, wobei der erste Pfeil den Eigenwert von S1z und der zweite den von S2z
bezeichnte.
Der Gesamtspin des Systems wird nun durch den Operator � S = � S1 + � S2 beschrieben. Die
Komponenten dieses Operators gehorchen den Vertauschungsrelationen
[Sj, Sk] = [S1,j + S2,j, S1,k + S2,k] = [S1,j, S1,k] + [S2,j, S2,k]
= i� εjkl S1,l + i� εjkl S2,l =
� �
i� εjkl S1,l + S2,l
= i� εjkl Sl (I.5.1)
und bilden damit erneut einen Drehimpulsoperator. Es lassen sich daher gemeinsame
Eigenzustände |s, m〉 der Operatoren � S 2 und Sz finden (vgl. Quantenmechanik I, I.3):
�S 2 |s, m〉 = � 2 s(s + 1) |s, m〉 und (I.5.2)
�Sz|s, m〉 = � m |s, m〉 . (I.5.3)
Das Problem der Addition“ zweier Spins besteht also darin, diese Zustände |s, m〉 als
”
Linearkombination der obigen Produktbasis zu finden. Nun gilt
� �
� �
Sz | ↑↑〉 = (S1,z + S2,z) | ↑↑〉 = + | ↑↑〉 = � | ↑↑〉 , (I.5.4)
2 2
analog erhält man
Sz | ↑↓〉 = 0 , Sz | ↓↑〉 = 0 , Sz | ↓↓〉 = −� | ↓↓〉 . (I.5.5)
Damit besitzt Sz die Eigenwerte +�, −� und 0� (zweifach). Man vermutet daher, dass
die beiden Spins entweder zu einem Gesamtspin 1 koppeln können und dann ein Triplett
von Zuständen bilden (s = 1, m = +1, 0, −1), oder zu einem Gesamtspin 0, der einem
Singlett entspricht (s = 0, m = 0). Das wird durch folgende Rechnung bestätigt: Für die
Leiteroperatoren
S1± = S1x ± iS1y
S2± = S2x ± iS2y (I.5.6)