Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.5 Addition von Drehimpulsen 31
die den (2j1 + 1) · (2j2 + 1)-dimensionalen Zustandsraum für den Gesamtdrehimpuls aufspannen.
Das Problem der Drehimpulsaddition“ besteht nun darin, die möglichen Wer-
”
te von j, m zu finden und die Zustände |j m j1 j2〉 als Linearkombination der Elemente
|j1 m1 j2 m2〉 der Produktbasis anzugeben. Dafür hat man zunächst die Vollständigkeitsrelation
|j m j1 j2〉 = �
|j ′ 1 m1 j ′ 2 m2〉〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2 | j m j1 j2〉 . (I.5.30)
j ′ 1 m1
j ′ 2 m2
Die in der Vollständigkeitsrelation auftretenden Entwicklungskoeffizienten, d.h. die Skalarprodukte
〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2|j m j1 j2〉, werden als Clebsch-Gordan-Koeffizienten bezeichnet.
Wegen
und
〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2| J 2 1 |j m j1 j2〉 = � 2 j ′ 1(j ′ 1 + 1)〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2 | j m j1 j2〉
= � 2 j1(j1 + 1)〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2 | j m j1 j2〉 (I.5.31)
〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2| Jz |j m j1 j2〉 = �(m1 + m2)〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2 | j m j1 j2〉
= �m 〈j ′ 1 m1 j ′ 2 m2 | j m j1 j2〉 (I.5.32)
sind diese Koeffizienten nur dann von Null verschieden, wenn j ′ 1 = j1, j ′ 2 = j2 und zusätz-
lich m = m1 + m2. Die obige Entwicklung reduziert sich daher auf
|j m j1 j2〉 =
�
|j1 m1 j2 m2〉〈j1 m1 j2 m2 | j m j1 j2〉 . (I.5.33)
m1, m2
(m1+m2=m)
Man beachte: Der maximal mögliche Wert von m ist j1 + j2. Er tritt genau einmal auf
(m1 = j1, m2 = j2). Der nächstkleinere Wert, m = j1 + j2 − 1, kommt zweimal vor
(m1 = j1, m2 = j2 − 1 oder m1 = j1 − 1, m2 = j2). Es gibt daher stets soviele Zustände
mit gegebenem m wie Zerlegungen der Form m = m1 + m2. Hat man z.B. j1 = 2 und
j2 = 1, findet man das folgende Schema.
Allgemeiner gilt
m m1, m2
3 2,1
2 2,0 1,1
1 2,-1 1,0 0,1
0 1,-1 0,0 -1,1
-1 0,-1 -1, 0 -2,1
-2 -1,-1 -2,0
-3 -2,-1
Wert von m Anzahl der Möglichkeiten
m ≥ |j1 − j2| j1 + j2 + 1 − m
−|j1 − j2| < m < |j1 − j2| j1 + j2 + 1 − |j1 − j2|
m ≤ −|j1 − j2| j1 + j2 + 1 − |m|