Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.4 Das Stern-Gerlach-Experiment 25
Hier geht der ” verschwindende Überlapp“ ein. Wäre dagegen das Feld homogen, hätte
man nur die übliche Spinpräzession
〈 � S〉 hom
t+T = �
2 cos ω0T �ex − �
2 sin ω0T �ey , (I.4.10)
d.h. die Spinpolarisationsrichtung wird lediglich gedreht, während die Spinpolarisation
als solche erhalten bleibt. Die Tatsache, dass ein inhomogenes Feld die Spinpolarisation
auslöscht, kann durch die unterschiedlichen Präzessionsfrequenzen erklärt werden. Teilchen,
die den Apparat in Abb.I.6 weiter oben durchlaufen, ” sehen“ ein kleineres Feld, als
Teilchen weiter unten. Ihre Spins präzedieren also langsamer. Die Gleichung (I.4.9) ergibt
sich als Mittel über die lokalen Präzessionsfrequenzen. Ein inhomogenes Feld dephasiert
den Spin.
Damit, wie verlangt, der Mittelwert verschwinden kann, muss die Unsicherheit ∆ω0 der
lokalen Präzessionsfrequenz die Bedingung ∆ω0 · T � 2π erfüllen. Wegen
∆ω0 = ge ge dBz
∆B ≈ ∆z , (I.4.11)
2m 2m dz
muss also gelten:
� �
�
�
ge dBz �
�
2π
�2m
dz � T � . (I.4.12)
∆z
Dabei ist ∆z die Höhe zwischen den Polschuhen (s. Abb.I.6).
Diese Bedingung an die Stern-Gerlach-Apparatur hat eine einleuchtende Interpretation.
Der Ablenkwinkel ϕ des Wellenpakets wird durch den Quotienten der Impulskomponenten
pz und py bestimmt (ϕ ≈ pz
py ). Dabei wird der Ausgangs-Querimpuls pz durch die
Inhomogenität bestimmt:
� �
�
pz = �
ge dBz �
�
�2m
dz �
� �
�
ϕ ≈ �
ge dBz �
�
�
�2m
dz � 2
�
T , also (I.4.13)
2
T
py
. (I.4.14)
Auf der anderen Seite tritt beim Durchgang eines Wellenpakets durch einen Spalt der
breite ∆z ein Beugungseffekt auf. Die dadurch verursachte Winkelaufweitung δϕ beträgt
nach der Beugungstheorie
δϕ ≈ λ
∆z
2π�
= , (I.4.15)
py∆z
wobei λ = 2π�/py die de Broglie-Wellenlänge der einfliegenden Teilchen bezeichnet. Die
Bedingung dafür, dass die beiden separierten Wellenpakete nicht überlappen, lautet offensichtlich
δϕ � 2ϕ, was nun
2π�
py ∆z
�
�
� 2 �
ge
�2m
dBz
dz
�
�
�
�
�
2
T
py
(I.4.16)