Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I Spin und Drehimpulsaddition
I.1 Spin 1/2
Viele Elementarteilchen, wie das Elektron, Proton und das Neutron, besitzen einen in-
”
neren“ Drehimpuls: Bei einer Messung der Komponente dieses Drehimpulses in Richtung
irgendeiner vorgegebenen ( Quantisierungs“-) Achse findet man nur entweder den Wert
”
+ �
� oder − 2 2 . Einen solchen Drehimpuls, der einer halbzahligen“ Drehimpulsquanten-
”
zahl ℓ = 1
2
entspricht, besitzt kein klassisches Analogon. Er kann (im Gegensatz zum
Bahndrehimpuls) nicht mit einer Drehung im Anschauungsraum in Verbindung gebracht
werden. Man bezeichnet ihn kurz als ” Spin 1/2“.
Der Spin wird (wie jeder Drehimpuls) durch einen Vektoroperator � S beschrieben, dessen
3 Komponenten den Vertauschungsrelationen des Drehimpulses gehorchen:
[Sk, Sl] = i� εklm Sm . (I.1.1)
Die Aussage, dass die Komponente des Spins in einer gegebenen Richtung �n nur die beiden
Werte ± �
2 annehmen kann, bedeutet, dass der Operator � S·�n (d.h. die Projektion von � S auf
�n) nur die beiden Eigenwerte ± � besitzt. Bezeichnet man die zugehörigen Eigenzustände
2
mit |�n ↑〉 bzw. |�n ↓〉, hat man
�S · �n |�n ↑〉 = �
2 |�n ↑〉 bzw. S �
�
· �n |�n ↓〉 = − |�n ↓〉 . (I.1.2)
2
Bei gegebener Richtung �n bilden die beiden Zustände |�n ↑〉 und |�n ↓〉 eine Basis im
” Spinraum“, ein beliebiger Spinzustand |ψ〉 muss also als Linearkombination dieser beiden
Basiszustände darstellbar sein: Die Komponente 〈�n ↑ |ψ〉 ist die Amplitude dafür,
den Spin in Richtung von �n“ zu finden, 〈�n ↓ |ψ〉 die Amplitude dafür, den Spin in
” ”
Gegenrichtung von �n“ anzutreffen.
Man verwendet meist die Basis, die aus den Eigenzuständen von Sz gebildet wird. In
dieser Basis wird ein Spinzustand |ψ〉 durch den zweikomponentigen Vektor
� �
〈�ez ↑ |ψ〉
〈�ez ↓ |ψ〉
(I.1.3)
dargestellt: Dem ” spin up“ - Zustand |ψ〉 = |�ez ↑〉 entspricht der Vektor ( 1 0 ), dem ” spin
down“ - Zustand |�ez ↓〉 der Vektor ( 0 1 ). Der Operator Sz erhält in dieser Basis die Dar-
stellung
�
〈�ez ↑ | Sz |�ez ↑〉
�
〈�ez ↑ | Sz |�ez ↓〉
〈�ez ↓ | Sz |�ez ↑〉 〈�ez ↓ | Sz |�ez ↓〉
= �
� �
1 0
2 0 −1
. (I.1.4)
Darstellungen von Sx und Sy, die mit den Vertauschungsregeln verträglich sind, lauten
dann
Sx = �
�
0
2 δ
δ
∗ �
0
bzw. Sy = �
�
0
2 iδ
−iδ
∗ �
,
0
sofern |δ| = 1. (I.1.5)
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