Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.6 Verschiedene Anwendungen der Drehimpulsaddition 35
Um nun den Zustand |l+ 1 1 m l〉 in der Produktbasis darzustellen (d.h. um die Clebsch-
2 2
Gordan-Koeffizienten dieses Zustands zu berechnen), wird auf diese Gleichung der Leite-
− m)-fach angewandt. Dabei benutzt man
roperator L− + S− = J− (l + 1
2
J−|j m〉 = � � j(j + 1) − m(m − 1) |j m−1〉
Das liefert nun
= � � (j + 1 − m)(j + m) |j m−1〉 . (I.6.3)
1
l+
(J−) 2 −m |l+ 1
2
1
l+
= � 2 −m
1
l+
= � 2 −m
�
�
Auf der anderen Seite ist
l+ 1
2
1
2 l〉
(l + 1
(2l + 1)!
− m)! 2 (2l + 1 − l − 1
1 |l+ 2 + m)! 2
(2l + 1)!
1 (l + − m)! 2
(l + 1
2
+ m)! |l+ 1
2
m 1
2
m 1
2 l〉
l〉 . (I.6.4)
J n − = (L− + S−) n = L n − + nL n−1
− S− , (I.6.5)
da ja S2 − = 0. Daher ist zunächst L− (l − 1 − m)-fach anzuwenden:
2
1
l−
(L−) 2 −m | 1
1
l−
= � 2 −m
1
l−
= � 2 −m
Nun ist schließlich
und
S− | 1
2
L−| 1
2
1
2
1
2
�
�
2
1
2
l l〉
(l − 1 − m)! 2
(2l)!
1 l m+ 〉 = �
2
1 (l − − m)! 2
(l + 1
2
= � | 1
2
(2l)!
(2l − l + 1
1 | 2 + m)! 2
+ m)! | 1
2
�
1 3 1 · − 2 2 2
− 1
2
1
2
1
2
l m+ 1
2 〉
1 l m+ 〉 . (I.6.6)
2
1 1 · (− ) | 2 2
− 1
2
�
1 l m+ 〉 = � (l + 2 1
1 1
− m)(l + + m) | 2 2 2
l m+ 1
2 〉
1 l m+ 〉 (I.6.7)
2
Die Zusammenfassung aller Beiträge liefert daher
|l+ 1 1 m l〉 2 2 =
�
1
(2l + 1)(l + 1
�
(l +
− m) 2 1 1 − m) | 2 2
�
+ (l + 1
1 1
− m)(l + + m) | 2 2 2
1 1 l m− 2 2 〉
�
1
2
1 l m− 〉 . (I.6.8)
2
− 1
2
l m+ 1
2 〉
(I.6.9)