Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.6 Verschiedene Anwendungen der Drehimpulsaddition 39
Allerdings sieht das tatsächliche Niveauschema anders aus, da die Spin-Bahn-Energie die
gleiche Größenordnung besitzt, wie die weiteren relativistischen Korrekturen. Die Dirac-
Gleichung liefert für die Energie eines Zustandes mit den Quantenzahlen n und j den
Ausdruck
Enj = En
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1 + α2
�
1
n j + 1
2
− 3
��
4n
(I.6.25)
2 α2
mit En = −mc 2n2 (vgl. Quantenmechanik I, III.5). Insbesondere sind dann nach der
Dirac-Theorie Zustände mit gleichem j entartet. Für die Wasserstoffzustände mit n = 2
erhält man ein Feinstrukturschema wie in Abbildung I.11.
Auch die Quantenelektrodynamik hinterläßt im Wasserstoff-Spektrum ihre Spuren. Die
Vakuumpolarisation, die einer Schwächung des Coulomb-Feldes entspricht, ist in Kernnähe
am größten. Daher ist der 2s1/2-Zustand tatsächlich weniger stark gebunden, als der
2p1/2-Zustand – die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Kernnähe ist schließlich größer. Die
resultierende Aufspaltung des Zustandspaares 2s1/2 − 2p1/2 beträgt 4, 4 · 10 −6 eV (siehe
letzte Aufspaltung in Abbildung I.11). Die Präzisionsmessung dieses Lamb-Shift ist neben
der Messung von g−2 die wichtigste experimentelle Stütze der Quantenelektrodynamik.
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Abbildung I.11: Absenkung der Niveaus im Wasserstoff durch relativistische Korrekturen
und Lamb-Shift für das Zustandspaar 2s1/2-2p1/2
I.6.3 Streuung eines Pions an einem Proton
Eine weitere Anwendung der Addition eines Spin 1 und eines Bahndrehimpulses ergibt
2
sich bei der Streuung eines spinlosen Teilchens an einem Teilchen mit Spin 1,
also z.B. bei
2
der Streuung eines π (Spin 0) an einem Proton (Spin 1).
Der Bahndrehimpuls wird dann
2
durch die Relativbewegung der beiden Stoßpartner bestimmt. Die ein- und auslaufenden
Streuzustände (d.h. die Zustände des π-p-Systems lange vor“ bzw. lange nach“ dem
” ”
Stoß) beschreibt man am einfachsten in der Produktbasis als |s ms l ml〉. Der Hamilton-
Operator HI im Wechselwirkungsbild, der die starke Wechselwirkung und damit den eigentlichen
Streuprozeß beschreibt, ist rotationsinvariant und kommutiert daher mit dem