Quantenmechanik II - Theorie der kondensierten Materie - Carl von ...

I.7 Der Isospin 43
Da dem Nukleon die Isospin-Quantenzahl i = 1
2
�I 2
(N) |p〉 = 1
2
� 1
2 + 1� |p〉
2 |p〉
zugeordnet ist, hat man weiter
I(N), 3 |p〉 = 1
�I 2
(N) |n〉 = 1
�
1
2 2 + 1� |n〉
I(N), 3 |n〉 = 1 |n〉 2 (I.7.2)
Für die üblichen Leiteroperatoren � I(N), ± = � I(N), 1 ± i � I(N), 2 gilt folglich
I(N), + |p〉 = 0
I(N), + |n〉 = |p〉
I(N), − |p〉 = |n〉
I(N), − |n〉 = 0 . (I.7.3)
Schließlich kann man den Ladungsoperator Q(N) = I(N), 3 + 1
2 einführen
Q(N) |p〉 = |p〉
Q(N) |n〉 = 0 . (I.7.4)
Bis hierher sind diese Definitionen jedoch rein formaler Natur. Noch ist es unklar, ob die
Größe ” Isospin“ auch physikalische Bedeutung besitzt. Um diese Frage zu beantworten,
werden jetzt neben dem Isospin-Dublett ” Nukleon“ die drei Pionen betrachtet, die in
konsequenter Fortsetzung des Isospin-Gedankens ein Isospin-Triplett bilden müssen. Man
beschreibt also die drei Teilchen π + , π 0 , π − durch drei Zustände |π + 〉, |π 0 〉 und |π − 〉, die
gemeinsame Eigenzustände der Isospin-Operatoren � I 2
(π) und � I(N), 3 sein sollen:
�I 2
+ +
0
0
(π) |π − 〉 = 1(1 + 1) |π − 〉
�I(π), 3 |π + 〉 = + |π + 〉
�I(π), 3 |π 0 〉 = 0
�I(π), 3 |π − 〉 = − |π + 〉 . (I.7.5)
Mit Hilfe der Leiteroperatoren � I(π), ± = � I(π), 1±i � I(π), 2 lassen sich diese Zustände ineinander
überführen. Z.B. ist
�I(π), ±|π 0 〉 = � 1(1 + 1) − 0(0 ± 1) |π ± 〉 = √ 2|π ± 〉 . (I.7.6)
In einem Pion-Nukleon-Streuexperiment wirkt die starke Wechselwirkung, beschrieben
durch einen Hamilton-Operator HI zwischen den beiden Teilchen. Die Experimente zeigen
die Ladungsunabhängigkeit der starken Wechselwirkung: Wenn die starke Wechselwirkung
zwischen Teilchen wirkt, die sich in einem Zustand mit definiertem Gesamt-Isospin
befinden, dann ist sie unabhängig von der Ladung des Zustandes und erhält den Gesamt-
Isospin
[HI, � I] = 0 . (I.7.7)