Modellierung und Simulation von Hochtemperatur ... - JuSER

KAPITEL 3. STRÖMUNGSMODELLIERUNGT = −(p+ 2 )3 μ ∇·v I + 2 μ D (3.5)wobei μ die dynamische Viskosität, I den Einheitstensor, p den statischen Druck und D denTensor der Deformationsrate darstellt. Weitere Einzelheiten zu diesen Parametern sowiedie Herleitungsschritte können aus [108, 109] sowie [110, 114] entnommen werden.Eine spezielle Lösung der Navier-Stokes-Gleichung stellt die Darcy-Gleichung dar. Sie eignetsich für die Strömungsbeschreibung in porösen Medien und stellt den Zusammenhangzwischen der Strömungsgeschwindigkeit und dem Druckgradienten bei kleinen Reynolds-Zahlen (Re < 1) her. Die Reynolds-Zahl ist hier definiert als Re = ρ vd p /μ, wobei d pauf den Porendurchmesser bezogen ist. Die theoretische Basis [115, 116] beruht auf denAnnahmen der Navier-Stokes-Gleichung. Zusätzliche Annahmen hinsichtlich des Modellssind: das Fluid ist inkompressibel, die Strömung ist stationär, die Geschwindigkeit des Fluidesan der Matrixwand ist gleich null (no-slip Kondition) und die Matrixstruktur bleibt unverändert.In Differentialform lässt sich die Darcy-Gleichung wie folgt ausdrücken:∇p =− μ K v (3.6)Der lineare Charakter von Gleichung (3.6) bleibt in Strömungen durch poröse Medien nurfür kleine Reynolds-Zahlen (Re < 1) erhalten [117, 118]. Mit der Erhöhung der Geschwindigkeit(1 < Re < 10) werden die Trägheitseffekte im Fluid allmählich bedeutender. Diesewerden mit einem zusätzlichen Trägheitsterm modelliert ( ρv2 ) [118].K *Die Gleichung (3.6) eignet sich jedoch auch für die Beschreibung von Strömungsvorgängenin makroskopisch homogenen porösen Medien [118] für ein laminares Strömungsregime.Hierbei stellt K eine makroskopische Permeabilität des porösen Mediums dar, die von dengeometrischen Eigenschaften des jeweiligen porösen Mediums abhängt, v die makroskopischeDarcy-Geschwindigkeit und μ schließlich die dynamische Viskosität des Fluides.Der lineare Zusammenhang zwischen der Strömungsgeschwindigkeit und dem Druckverlustist aus klassischen Kanalströmungen für laminare Bedingungen schon lange bekanntund wurde von Avila et al. [119] für Re < 2040 bestätigt. In diesem Fall lässt sich die Navier-Stokes-Gleichung analytisch lösen [113] und kann vereinfacht in der Form der Darcy-Gleichungdargestellt werden. Hierbei steht die Permeabilität K für die Reibungsverluste, welchean den Wänden entstehen. Diese vereinfachte Druckverlustberechnung vernachlässigt jedochdas Geschwindigkeitsprofil; stattdessen wird die Geschwindigkeitsverteilung im Kanalquerschnittals uniform angenommen. Die prinzipielle Idee dabei ist, dass die Reibungs-24