Modellierung und Simulation von Hochtemperatur ... - JuSER

KAPITEL 3. STRÖMUNGSMODELLIERUNG∫Vq φ dV ≈ q T · ΔV (3.18)Ist dabei der Quellterm q T konstant, ist die Approximation des Integrals exakt und bedarfkeiner weiteren Interpolation vom Kontrollvolumen-Mittelpunkt. Ein bedeutender Vorteil derKontrollvolumen-Methode ist weiterhin, dass integrale Formulierungen der Erhaltungsgesetzedirekt angewendet werden können und die diskretisierten Terme weiterhin ihre physikalischeBedeutung beibehalten. Jeder der Kontrollvolumen-Mittelpunkte ergibt eine algebraischeGleichung, wobei sie zusammen das algebraische Gleichungssystem bilden.Um die Lösung des Gleichungssystems eindeutig zu bestimmen, werden entsprechendeInformationen an den Rändern der Domäne benötigt. Häufig ist der Wert der Variable T amRand definiert (die Dirichlet-Randbedingung) oder deren Gradient ∂T/∂x (die Neumann-Randbedingung) vorgegeben. Dies hat zur Folge, dass die Gleichung in dem Randpunktnicht gelöst werden muss, da der Wert bereits bekannt ist.Das erhaltene Gleichungssystem mit implementierten Randbedingungen wird in der entsprechendenMatrizenform notiert und mit einer der folgenden Lösungsmethoden berechnet.Es stehen hierbei zwei Arten an Methoden zu Verfügung: die direkten Methoden unddie indirekten oder iterativen Methoden. Eine direkte Methode stellt beispielsweise dasGauß’sche Eliminations-Verfahren dar. Dabei wird das Gleichungssystem zunächst auf eineStufenform gebracht und anschließend schrittweise die Unbekannten ermittelt. Der Nachteildabei besteht darin, dass diese Methode vergleichsweise hohe Rechenkosten erfordert.Um diesen Nachteil zu umgehen, bieten sich die iterativen Methoden wie beispielsweisedie Gauß-Seidel-Methode an. Hierbei beginnt der Rechenprozess mit einer ersten Schätzungder Lösung, wobei durch das Anwenden des Wiederholungs-Algorithmus die Lösungschrittweise kontinuierlich verbessert wird. Nach einer Anzahl an Iterationen ergibt sicheine nicht exakte Lösung mit einem Rest (Residuum) höher null. Das Ziel beim Iterations-Prozess besteht in der Verringerung der Residuen gegen null. Detaillierte Beschreibungenvon weiteren Lösungsmethoden sind in [135] zu finden.Das beschriebene Diskretisierungs-Prinzip gilt für alle Erhaltungsgleichungen, dennochweist die Navier-Stokes-Gleichung einige Besonderheiten auf. So entsteht beispielsweiseder zusätzliche Druckterm, Gleichung (3.5), der über kein Äquivalent in der skalaren Transportgleichungverfügt. Daraus folgen unterschiedliche Ansätze zur Lösung der Geschwindigkeits-Druck-Kopplung,welche in Ansys / Fluent je nach Aufgabenstellung ausgewähltwerden können. Eine detaillierte Beschreibung dieser Problematik ist in [109] zu finden.34