2. Wirkungsquerschnitte und Streulängen - Liss, Klaus-Dieter

für meine liebe Frau, Laure

INHALTSÜBERSICHTiInhaltsŸbersicht1. Einleitung ............................................................................................................... 12. Wirkungsquerschnitte und Streulängen ............................................................. 33. Grundlagen zum Kristallgitter............................................................................. 74. Intensitätsverteilungen bei der Beugung an Gradientenkristallen................. 114.1. Kinematische Beugung an Gradientenkristallen .................................... 124.2. Dynamische Beugung................................................................................. 194.2.1. Grundlagen der dynamischen Beugung von Neutronen..................... 194.2.2. Eine Transfermatrizenmethode in der dynamischenBeugungstheorie ................................................................................. 294.2.3. Anwendungsbeispiele der Transfermatrizen ...................................... 384.2.3.1. Der planparallele Idealkristall ................................................... 384.2.3.2. Das kristalline Multilagensystem.............................................. 404.2.3.3. Stufen- und Gradientenkristalle ................................................ 444.2.3.4. Ergebnisse für Gradientenkristalle............................................ 474.3. Vergleich der Theorien für Gradientenkristalle ..................................... 514.3.1. Transfermatrizenergebnisse und kinematische Beugung ................... 514.3.2. Transfermatrizen und Takagi-Taupin................................................. 535. Die Kristallzucht.................................................................................................. 575.1. Das Materialsystem.................................................................................... 575.2. Die Kristallzuchtanlage ............................................................................. 595.2.1. Das Gassystem ................................................................................... 605.2.1.1 Das Gaszuführsystem................................................................ 605.2.1.2. Das Gasabführsystem................................................................ 625.2.2. Der Reaktionsofen .............................................................................. 635.2.2.1. Versuche mit einem Halogenlampenofen ................................. 635.2.2.2. Der neue Ofen ........................................................................... 655.2.2.2.1. Das Heizelement .............................................................. 665.2.2.2.2. Das Gasführungssystem................................................... 685.3. Der Arbeitsvorgang bei der Kristallzucht ............................................... 695.4. Zuchtergebnisse.......................................................................................... 705.4.1. Zusammenfassende Ergebnisse des Zuchtvorgangs........................... 726. Die Probenanalyse ............................................................................................... 736.1. Die optische Mikroskopie .......................................................................... 736.1.1. Die Dreieck- und Viereckstrukturen .................................................. 786.2. Krümmung der Kristalle........................................................................... 806.3. Die Konzentrationsprofile und Einzelschichtdicken .............................. 826.3.1. Elektronenmikroskopie und Mikrosondenanalyse ............................. 837. Experimentelle Beugungseigenschaften der Si1-xGex Kristalle ..................... 877.1. Die verwendeten Diffraktometer .............................................................. 877.1.1. Das Neutronenrückstreuspektrometer ................................................ 877.1.2. Das Flugzeitrückstreuspektrometer .................................................... 897.1.3. Das Röntgendreikristalldiffraktometer............................................... 917.1.4. Zusammenstellung der Diffraktometerdaten...................................... 93

iiINHALTSÜBERSICHT7.2. Diffraktionsergebnisse................................................................................957.2.1. Die Meßergebnisse an Stufenkristallen...............................................987.2.2. Experimentelle Reflektionskurven der Gradientenkristalle ..............1088. Zusammenfassung..............................................................................................1129. Ausblick...............................................................................................................11410. Literaturverzeichnis...........................................................................................11511. Danksagung ........................................................................................................11912. Lebenslauf...........................................................................................................121

2 EINLEITUNGMaier-Leibnitz das Legierungssystem Si 1-x Ge x vorgeschlagen. Dabei spielt der durch dieHalbleiterindustrie begünstigte technische Aspekt weltweiter Erfahrungen auf dem Gebiet derAusgangsstoffe eine wesentliche Rolle. Allerdings stellte es sich sehr bald heraus, daß dieseKristalle nicht aus der Schmelze gezogen werden können.Mittlerweile hat die Methode der chemischen Gasphasenabscheidung ihren Platz in der Kristallzuchtbehauptet. Hier können Legierungskonzentrationen in einfacher Weise durch dieGaszusammensetzung geregelt werden. Gegenüber anderen Epitaxiemethoden zeichnet sichdie Gasphasenabscheidung durch erhebliche Wachstumsgeschwindigkeiten aus. Sie sind ingünstigen Fällen ausreichend, um millimeterdicke Kristalle innerhalb weniger Tage zu ziehen.So wurden in einer Machbarkeitsstudie der Monochromatorgruppe am Institut Laue-Langevinzusammen mit einer erfahrenen Epitaxiegruppe der Universität in Grenoble die Grundlagendieser Kristallzucht für das System Si 1-x Ge x ausgearbeitet.Die Aufgabe der vorliegenden Arbeit war die Ausweitung des Zuchtverfahrens auf großflächigeProben. Dazu mußten Teile der Kristallzuchtanlage neu konzipiert und aufgebaut werden.Nachdem die komplette Anlage eingefahren war, wurde zunächst auf die Bestimmungder optimalen Zuchtparameter mit Blick auf Homogenität, Kristallinität und Wachstumsratehingearbeitet, um schließlich für die Beugungsexperimente anwendungsnahe Proben zuziehen. Neben der strukturellen Charakterisierung, insbesonders aus dem Bereich derMaterialwissenschaften, spielen Beugungsexperimente an Gradientenkristallen mit RöntgenundNeutronenstrahlen eine wesentliche Rolle. Zur theoretischen Beschreibung der gemessenenReflektionskurven wurden verschiedene Ansätze im Rahmen der kinematischen undder dynamischen Theorie mit kohärenter oder inkohärenter Überlagerung gemacht. Diebeiden am weitesten vorangetriebenen, nämlich die kinematische Theorie sowie eine exakteTransfermatrizenmethode im Rahmen der dynamischen Beugungstheorie, werden in dieserSchrift hergeleitet und, über die Anwendung auf Gradientenkristalle hinaus, in vielen Ergebnissendiskutiert.

WIRKUNGSQUERSCHNITTE UND STREULÄNGEN 32. Wirkungsquerschnitte und StreulŠngenIn der Streuphysik hängt die Intensität einer gestreuten Welle im Verhältnis zur einfallendenWelle vom Wirkungsquerschnitt der streuenden Teilchen ab. Betrachtet man die Amplitudeeiner kohärent abgebeugten Welle, so ist ihr Verhältnis zur einfallenden durch die sogenannteStreuamplitude ƒ(Ω) im Raumwinkel Ω gegeben. Diese steht durch die Beziehungσ c = ƒ(Ω) dΩ (1)mit dem kohärenten Wirkungsquerschnitt σ c in Verbindung [6]. Für thermische und kältereNeutronen ist die Streuamplitude aufgrund der geringen Ausdehnung des Kerns gegenüberder Wellenlänge nicht vom Streuwinkel abhängig und als kohärente Streulängeƒ(Ω) = b c (2)bekannt. Sie ist von den streuenden Kernen und deren Spinzuständen abhängig und kann nichtnur von Element zu Element, sondern auch von Isotop zu Isotop erheblich schwanken. Diekohärente Streuung beschreibt die Interferenz eines Körpers bekannter Spinzustände undIsotopenverteilung. Neben ihr wird das Nichtwissen aufgrund statistischer Fluktuationen,z. B. einer Anhäufung nichtpolarisierter Kerne oder einer statistischen Isotopenverteilung iminkohärenten Wirkungsquerschnitt σ i verpackt. Diese Streuung ist isotrop und trägt daher fürdie Braggoptik zu einem unerwünschten Untergrund bei. Neben Streuung kann auch Absorptionder Welle stattfinden, die durch den Absorptionsquerschnitt σ a beschrieben wird. Er istumgekehrt proportional zur Geschwindigkeit des Neutrons und wird üblicherweise für einebestimmte Neutronengeschwindigkeit v 0 tabelliert, kann also mittelsσ a = v 0v σ a v 0 = k 0k σ a k 0 = λ λ 0σ a λ 0 (3)der betrachteten Neutronenwelle angepaßt werden.In Tabelle (1) sind die Streulängen und Wirkungsquerschnitte für die Isotopen von Siliziumund Germanium zusammengestellt. Wie man sieht, unterscheiden sich die kohärenten Streulängenbei den Germaniumisotopen mehr als bei Silizium, was demnach bei natürlicher Isotopenverteilungeinen größeren inkohärenten Beitrag mit sich führt.Betrachtet man die Streuung von Röntgenstrahlen, so kann man die Streuamplitude durch dasProdukt aus der Streulänge eines freien Elektrons, also dem klassischem Elektronenradius r e ,und dem Atomformfaktor f(Q) ausdrücken:

4 WIRKUNGSQUERSCHNITTE UND STREULÄNGENƒ(Ω) = r e f(Q) (4)3510Gitterkonstante [Å]10.10.01Aufgrund der, im Vergleich zur Wellenlängeausgedehnten Elektronenverteilung 25des Atoms hängt die Streuamplitude nun20vom betrachteten Impulsübertrag Q zwischeneinfallender und gestreuter Welle ab15Siund geht aus der Fouriertransformation dieser10räumlichen Verteilung hervor. Der ato-5mare Formfaktor f(Q) ist somit eine dimensionsloseZahl, die bei Vorwärtsstreuung0gleich der Ordnungszahl Z des Elements ist:0.1 1 10 100 1000Streuvektor [Å -1 ]Abbildung (1):f(0) = Z (5)Atomare Formfaktoren für Silizium und Germaniumals Funktion des Streuvektors und derGitterkonstanten bei Braggreflektion an einemIn Abbildung (1) sind die atomaren FormfaktorenKristall. Nach [7].für Silizium und Germanium wiedergegeben [7]. Die Absorption von Röntgenstrah-lung geschieht hauptsächlich durch Photoabsorption und fällt, außer an Absorptionskanten,gemäß eines Potenzgesetzes mit zunehmender Photonenenergie ab. Comptonstreuung undPaarbildungsprozesse spielen in unseren Energiebereichen keine Rolle. Eine Übersicht dereinzelnen Beiträge ist in Abbildung (2) dargestellt [8, 9].Formfaktor30GeDie Wechselwirkung der Welle mit Materie bewirkt im allgemeinen mit zunehmender Tiefe teine Abschwächung der eingestrahlten Intensität. Abgesehen von kohärenter Streuung, bei derz. B. auch oszillierende Interferenzeffekte auftreten können, folgt diese Abschwächung einemExponentialgesetzI(t) = I 0 e -µt (6)mit dem linearen Abschwächungskoeffizientenµ = N A σ ρA, (7)der Avogadrokonstanten N A , der relativen Atommasse A und der Dichte ρ. µ kann gemäß σin seine verschiedenen Anteile für Absorption oder Extinktion zerlegt werden. Die Abschwächungslänget 0 wird als die Tiefe definiert, in der die Strahlung auf e -1 abgefallen ist, also

WIRKUNGSQUERSCHNITTE UND STREULÄNGEN 5Wellenlänge [Å]10 1 10 0 10 -1 10 -210 -3Wellenlänge [Å]10 1 10 0 10 -1 10 -210 -3Wirkungsquerschnitt [10 -24 cm 2 ]10 610 410 210 010 -2Si 10 610 -410 -210 010 210 4Eindringtiefe [cm]Wirkungsquerschnitt [10 -24 cm 2 ]10 410 210 010 -2Ge10 -410 -210 010 210 4Eindringtiefe [cm]10 0 10 1 10 2 10 3 10 4Wellenzahl [Å -1 ]10 0 10 1 10 2 10 3 10 4Wellenzahl [Å -1 ]Abbildung (2):Wirkungsquerschnitte und Eindringtiefen ohne kohärente Beiträge in Abhängigkeit vonWellenzahl und Wellenlänge für Silizium (links) und Germanium (rechts). Die totalenWirkungsquerschnitte für Röntgenstrahlen (obere, durchgezogene Linien) setzen sich aus denAnteilen für Photoabsorption, Comptonstreuung und Paarbildung (von links oben nach rechtsunten), die für Neutronenstrahlen (untere, linke, durchgezogene Linien) aus Absorption undinkohärenter Streuung zusammen. Nach [8, 9].t 0 = 1 µ =AN A σ ρ . (8)In Abbildung (2) sind diese Tiefen für Neutronen und Photonen bei der Wechselwirkung mitSilizium und Germanium auf der rechten Skala aufgetragen.Bei der Ausbildung eines Braggreflexes tritt ebenfalls Extinktion durch kohärente Streuungauf. Die dafür notwendigen Tiefen müssen mit obigen Abschwächungstiefen verglichenwerden, um Kriterien für die optimale Strahlung zur Untersuchung eines Körpers zu finden.Ein Si 1-x Ge x Legierungskristall, bei dem die Elemente statistisch auf die Gitterplätze verteiltsind, kann, die Wirkungsquerschnitte betrachtend, wie ein Isotopengemisch angesehenwerden. Somit ergibt sich für die resultierende Streulänge der mit der Konzentration C αgewichtete Mittelwert aus den Einzelisotopen αb c =∑αC α bαc . (9)Der inkohärente Wirkungsquerschnitt aufgrund des Isotopengemischs ergibt sich aus derquadratischen Summe aller paarweisen Differenzen der kohärenten Einzelstreulängen, wobeider Index α über alle Silizium- als auch Germaniumisotope zu laufen hat:

6 WIRKUNGSQUERSCHNITTE UND STREULÄNGEN∑∑β < ασ i = 4π C α C β bα β c - b 2c . (10)αAbbildung (3) zeigt den, aufgrund der Isotopenmischungauftretenden inkohärentenWirkungsquerschnitt für Si 1-x Ge x als Funktion1.00.80.60.200.15der Germaniumkonzentration x bei na-0.40.10türlicher Isotopenzusammensetzung. Da dieinkohärente Streuung mit der kohärenten0.20.05verglichen werden muß, gibt die gestrichelte0.00.000 20 40 60 80 100Linie zur rechten Skala das Verhältnis zwischenGermaniumkonzentration [%]inkohärentem und kohärentem Wir-Abbildung (3):Berechneter, inkohärenter Wirkungsquerschnittσi (durchgezogene Linie) in Abhängigkungsquerschnittwieder. Wie man sieht, istkeit der Germaniumkonzentration einerdie inkohärente Streuung maximal beiSi 1-x Ge x Legierung und dessen Verhältnis zumx = 0,58 und beträgt 0,15 barn. Die kohärentekohärenten Anteil σ c (gestrichelte Linie).Streuung steigt von 2,16 barn bei Sili-zium auf 8,44 barn bei Germanium. Dadurch ist das Maximum im Verhältnis von inkohärentemund kohärentem Querschnitt zu kleineren Germaniumkonzentrationen, also nach x = 0,37und einem Wert von 0,15 verschoben.σ i [10 -24 cm 2 ]σ i/ σ cElement Z A I(π) C bc bi σc σi σs σa[%] [fm] [fm] [barn] [barn] [barn] [barn]Si 14 4,149 2,163 0,015 2,178 0,171Si 14 28 0 92,23 4,106 0 2,119 0 2,119 0,177Si 14 29 1/2 4,67 4,7 -1,1 2,78 0,15 2,93 0,101Si 14 30 0 3,10 4,58 0 2,64 0 2,64 0,107Ge 32 8,1929 8,435 0,17 8,60 2,3Ge 32 70 0 20,5 9,5 0 11,3 0 11,3 3,43Ge 32 72 0 27,4 8,8 0 9,7 0 9,7 0,98Ge 32 73 9/2 7,8 3,2 2 1,3 0,5 1,8 15Ge 32 74 0 36,5 7,9 0 7,8 0 7,8 0,51Ge 32 76 0 7,8 9 0 10 0 10 0,15Tabelle (1):Neutronenwirkungsquerschnitte für Silizium und Germanium. Nach [6].Z: Ordnungszahl, A: Nukleonenzahl, I(π): Spin (Parität) des nuklearen Grundzustandes, C:natürliches Isotopenverhältnis, b c : kohärente, b i : inkohärente Streulänge, σ c : kohärenter, σ i :inkohärenter, σ s : totaler Wirkungsquerschnitt, σ a : Absorptionsquerschnitt für v 0 = 2200 m/s.

GRUNDLAGEN ZUM KRISTALLGITTER 73. Grundlagen zum KristallgitterSilizium und Germanium kristallisieren beide in der Diamantstruktur, einem kubischenPunktgitter der BasisA = a 1 a 2 a 3 =a 0100010001(11)und der achtatomigen Einheitszelle mit den Ortsvektorenρ α ∈000,1 41 4 ⊕1 4000,01 2 ,1 21 20 ,1 21 21 20, (12)wobei der ⊕-Operator die paarweise Addition der Elemente beider Mengen bezeichnet. DieStruktur besteht also aus zwei kubisch flächenzentrierten Untergittern (rechte Menge), die umein Viertel der elementaren Raumdiagonalen gegeneinander versetzt sind (linke Menge).Jedes Atom ist dabei tetraederförmig von vier nächsten Nachbarn umgeben.Die Basis des reziproken Gitters geht mitG i =2πa j ×a ka i ⋅ a j ×a k; i, j,k = 1,2,3 zykisch (13)aus A hervor und ergibt sich zuG =G 1 G 2 G 3 =G 0100010001 ; G 0 = 2 π a 0, (14)ist also parallel zu A. Die Punkte G des reziproken Gitters gehen mit dem aus ganzzahligenKomponenten bestehenden Millerindexvektor h aus der reziproken Basis hervor:G = G h , mit h =hkl. (15)Aufgrund der Struktur (12) der Einheitszelle ist nicht jeder reziproke Gitterpunkt besetzt, undes ergibt sich allgemein für den Strukturfaktor:

8 GRUNDLAGEN ZUM KRISTALLGITTERF(G) =F(h)=F hkl == exp i 0 + exp i π 2Σ exp i G ρ α α =h+k+l exp i 0 + exp i π k+l + exp i π h+l + exp i π h+k == 1+i h+k+l 1 + (–1) k+l + (–1) h+l + (–1) h+k (16)Die Werte von F hkl und deren Betrag |F hkl | in Abhängigkeit der Millerindizes sind in Tabelle(2) als Fallunterscheidung wiedergegeben.Bedingung der Millerindizes F hkl |F hkl |(h + k + l) / 4 = ganze Zahl 8 8h, k, l alle ungerade 4 (1 ± i) 4 2ansonsten 0 0Tabelle (2):Strukturfaktoren des DiamantgittersDer Strukturfaktor spielt vor allem bei der Berechnung der Intensität eines Braggreflexes einewesentliche Rolle.Die Gitterebenen des Kristallgitters werden durch ihre Normalen, also die reziproken GittervektorenG beschrieben, deren Betrag durchG = 2πd(17)mit dem Netzebenenabstand d in Verbindung steht. Wegen der Diagonalität von G und A imkubischen Gitter hängen G und d gemäß Pythagoras von den Millerindizes ab:G = h 2 + k 2 + l 2 G 0 bzw. d =a 0h 2 + k 2 + l 2 (18)Für die experimentelle Ausrichtung der Kristalle sind die Winkel zwischen verschiedenenGitterebenen von Interesse. Sie entsprechen den Winkeln zwischen den reziproken Gittervektorenund sind durch∠) G 1 ,G 2 = acos G 1 ⋅ G 2G 1 G 2= acos h 1 ⋅ h 2h 1 h 2(19)gegeben. Tabelle (3) stellt einige wichtige Winkel zusammen.

GRUNDLAGEN ZUM KRISTALLGITTER 9Millerindizes 1 0 0 1 1 0 1 1 10 0 1 90° 90° 54,74°0 1 1 45° 60° 35,26°1 1 1 54,74° 90° 70,53°Tabelle (3):Winkel zwischen verschiedenen Gitterebenen des Diamantgitters

INTENSITÄTSVERTEILUNGEN BEI DER BEUGUNG AN GRADIENTENKRISTALLEN 114. IntensitŠtsverteilungen bei der Beugung anGradientenkristallenNeben den zum Mosaikkristall komplementären optischen Eigenschaften liegt die grundsätzlicheIdee von Gradientenkristallen bei ihrer Verwendung als Monochromator in der wesentlichenEigenschaft des Intensitätsgewinns gegenüber dem Idealkristall [4, 10]. Dieser hängtnicht nur von der Aufweitung ∆d des Netzebenenabstands sondern auch, wie bei Idealkristallen,vom streuenden Kristallvolumen ab. Dabei muß man den Gradienten g mit der Pendellösungsperiode∆ vergleichen, innerhalb derer die Reflektivität eines Idealkristalls voll ausgebildetwird. Der ideale Gradient für maximale Reflektivität ist dann so bestimmt, daß sich dieGitterkonstante über ∆ dermaßen gezielt ändert, um die Reflektionskurve eines Idealkristallsgerade um seine natürliche Linienbreite, die Darwinbreite δd zu verschieben. Dieser Sachverhaltwird in Abbildung (4) für den Braggfall angedeutet.Hierbei werden aus den verschiedenen 1.2Kristallbereichen resultierende Darwinkurven 1.0aneinandergereiht. Die Reflektionskurve des gesamtenKristalls ist durch die Einhüllende gege-0.60.8ben. Ist der Gradient größer, das heißt, wird 0.4beim Fortschreiten um eine Pendellösungsperiodedie Reflektionskurve weiter als die Darwin-0.00.2breite verschoben, so fällt die Maximalintensität -12 -8 -4 0 4Braggposition yab, und man kommt in den GültigkeitsbereichAbbildung (4):der kinematischen Streutheorie, in der die über Interpretation der Reflektionskurve einesden gesamten Braggreflex integrierte Reflektivitätdem Volumen proportional absinkt. Ist im als Funktion der halben Darwinbreite y.idealen Gradientenkristalls durch Aneinanderreihenvon Darwinkurven, dargestelltGegensatz dazu der Gradient zu klein, tritt primäreExtinktion auf, das heißt, es gibt Kristallbereiche, in denen die Intensität des Primärstrahlsbereits durch davorliegende Kristallbereiche reflektiert und somit so weit abgeschwächtwurde, daß nur mehr ein kleiner Teil zur Reflektion übrigbleibt. Anders als beimIdealkristall trägt beim Gradientenkristall auch bei Extinktion das gesamte Kristallvolumenzur Reflektion bei, da die Braggbedingung als Funktion des Kristallortes für verschiedene,benachbarte Wellenlängen erfüllt wird. Somit muß eine Welle, die z. B. nahe der Kristallrückseitereflektiert wird, das gesamte vordere Kristallmaterial durchdringen, was dort zu Absorptionsverlustenführen kann. Abgesehen davon würde bei einem zu kleinen Gradienten wertvollesKristallvolumen durch Extinktion verschenkt. Der ideale Gradient g i bei dem die Reflektivitätvoll ausgebildet ist und der Kristall gerade nur so dick wie nötig ist, wird also durchReflektivitätg i = δd∆(20)

12 INTENSITÄTSVERTEILUNGEN BEI DER BEUGUNG AN GRADIENTENKRISTALLENbestimmt.Zur analytischen Betrachtung von Gradientenkristallen sind jedoch quantitative Aussagennotwendig, die im kommenden im Rahmen der kinematischen Theorie angeschnitten und imAnschluß durch einen Transfermatrizenalgorithmus innerhalb der dynamischen Streutheoriebeschrieben werden sollen.4.1. Kinematische Beugung an GradientenkristallenIn der kinematischen Beugungstheorie wird von reflektierendenGitterebenen ausgegangen, die miteinanderinterferieren. Dabei wird gemäß dem Huygens’schenPrinzip jede Ebene als eine Quelle der gestreuten Wellemit Amplitude A 1 aufgefaßt, deren Phasenunterschiededurch die einfallende Welle gegeben sind. Da die Wellengleichungbei einer Reflektion an einer Ebene gemäßParallel- und Normalkomponenten separiert, kann dieReflektion eindimensional als Funktion der Koordinate xsenkrecht zu den Ebenen berechnet werden. Die reflektierteWelle Ξ ergibt sich durch phasengerechte Summationder Einzelwellen1 g 1 + g nAbbildung (5):Darstellung der Gitterebenen einesGradientenkristalls. Die angegebenenGrößen sind in Einheitender Gitterkonstanten d.Ξ = A 1NΣn = 0exp i 2 k x n(21)wobei n die N+1 Gitterebenen der Ortskoordinaten x n durchnumeriert. k ist die Wellenzahlund der Faktor 2 rührt von dem verdoppelten Weg der hin- und herlaufenden Welle her, wennman um x in der Tiefe fortschreitet.Während beim Idealkristall alle benachbarten Gitterebenen den gleichen Abstand d voneinanderhaben, unterscheidet sich dieser beim Gradientenkristall von Ebene zu Ebene relativ umg = ∂d∂x , (22)liegen also mit den Abständen d, d(1+g), d(1+2g) usw. zueinander (siehe Abbildung (5)).Somit ist

KINEMATISCHE BEUGUNG AN GRADIENTENKRISTALLEN 13x n =nΣν = 1d νnΣ= d 1 + ν – 1 gν = 1= d 1 – g 2 n + 1 2 d g n2 . (23)Mit |g| « 1 erhalten wirx n = n d + 1 2 d g n2 . (24)Dies in (21) eingesetzt und die Anzahl der Gitterebenen durch die Kristalldicke D und denNetzebenenabstand d ausgedrückt ergibt für die reflektierte WelleDdΣΞ = A 1 exp i 2 k d n exp i k d g n 2n = 0. (25)In der Nähe des Braggmaximums kann die Phase k d durch ihre Abweichung κ von dieserPosition ausgedrückt werdenk d = π + κ π , |κ| « 1 (26)und wir erhaltenDdΣΞ = A 1 exp i 2 π n exp i 2 π κ n exp i π g n 2 exp i π κ g n 2n = 0. (27)Der erste Faktor ergibt gerade 1, der letzte kann wegen |κ| « 1 und |g| « 1 in erster Ordnungvernachlässigt werden, so daßΞ = A 1DdΣn = 0exp i 2 π κ n + g 2 n2. (28)Beim Übergang von der Summe zum Integral erhält manΞ = A 1Ddexp i 2 π κ n + g 2 n2 dn⇒Ξ = A 10Dd0exp i π g n + κ g2exp –i π κ2gdn . (29)Hier kann ebenfalls der Faktor in κ 2 fortgelassen werden, also

14 KINEMATISCHE BEUGUNG AN GRADIENTENKRISTALLENΞ = A 1Ddexp i π g n + κ g2dn . (30)0Mit der Substitutionζ = 2 g n + κ g; dn = 12 gdζ (31)kann das Integral in2 g D d + κ gΞ = A 12 g2 g κ gexp i π 2 ζ2dζ(32)umgewandelt werden. Dieses Integral kann man durch die Fresnelschen IntegraleCz =Sz =z0cos π 2 t2 dtzsin π , (33)2 t2 dt0ausdrücken, wie sie in mathematischen Formelsammlungen diskutiert werden [11]. Wirführen hier das komplexe Fresnelsche IntegralF(z) := C(z) + i S(z) (34)ein und erhaltenΞ = A 12 gF 2 g D d + κ g – F 2 g κ g. (35)Um die anschließende Diskussion zu vereinfachen, soll als nächstes auf die Größen κ → y,D → A, g → c übergegangen werden, wie sie in der dynamischen Streutheorie üblich sind. Dabisher noch keine Angaben über die Streustärke gemacht wurden und in der dynamischenTheorie sämtliche Größen auf das Kristallpotential normiert sind, kann letzteres für diehiesige Herleitung gleich 1 gesetzt werden. Außerdem gelten hier wegen der Eindimensionalitätdie Bedingungen der Rückstreuung, alsod = π k , (36)

KINEMATISCHE BEUGUNG AN GRADIENTENKRISTALLEN 15D = 2 k A , (37)κ = y 2 . (38)Mit der Definitionc := ∂y∂A(39)des Gradienten in den neuen Einheiten folgt mit ∆d/d = ∆k/k = κ die Beziehungg = π 4 c . (40)Wie in Kapitel 4.2.1. gezeigt wird, ergibt sich für die Streuamplitude A 1 einer GitterebeneA 1 = π 2 . (41)Diese Beziehungen in (35) eingesetzt ergeben schließlich die endgültige Form unserer reflektiertenWelleΞ =π F 2 c A + y – F 2 y . (42)2 c π c π cFür die Reflektivität R muß bekanntlich das Betragsquadrat von Ξ gebildet werden:R = |Ξ| 2 (43)In Abbildung (6) sind die Reflektionskurven für verschiedene c- und A-Werte dargestellt. Alserstes sticht dem Leser das, zwar mit Oszillationen besetzte, Plateau ins Auge, wie es demBild aneinandergereihter Reflektionskurven von Idealkristallen entsprechen muß. DieAnstiege finden an den Stellen statt, bei denen das Argument eines der Fresnelschen Integraleverschwindet, also beiy = -c A und y = 0 . (44)Die Breite c A entspricht , wie erwartet, der Gesamtvariation der Gitterkonstanten ∆d/d. DenPlateaumittelwert R P des Plateaus, d. h. lokal über die Oszillationen gemittelt, erhalten wir,wenn wir das Fresnelsche Integral für sehr große Argumente betrachten:

16 KINEMATISCHE BEUGUNG AN GRADIENTENKRISTALLEN0.50.4c = 10A = 5R0.30.20.10.00.50.4-200 -150 -100 -50 0c = 10A = 10R0.30.20.10.00.50.4-200 -150 -100 -50 0c = 20A = 10R0.30.20.10.0-200 -150 -100 -50 0yAbbildung (6):Kinematisch berechnete Reflektivität verschiedener Gradientenkristalle mit Gradienten cund Kristalldicken A als Funktion der Abweichung y von der Braggposition an derKristalloberfläche. Vom ersten zum zweiten Bild verdoppelt sich A bei festgehaltenem c, waskeinen Einfluß auf den Plateaumittelwert sowie auf die Oszillationen am Rand, sondern nurauf die Breite der Reflektionskurve hat. Vom zweiten zum dritten Bild wird A festgehaltenund c verdoppelt, was zu einer halbierten Plateaureflektivität führt. Die Oszillationsperiodein der Plateaumitte bleibt jedoch unverändert

KINEMATISCHE BEUGUNG AN GRADIENTENKRISTALLEN 17Fx = 1 + i2– iπ x exp i π 2 x2 + O 1 x 2 ; x » 1 ; (45)Fx = 1 + i2 + O 1 x ; x → ∞ . (46)Da F(x) um seinen Mittelwert (46) oszilliert, erhält man R P für A → ∞ bei y = 1 2c A unter derBerücksichtigung, daß F(-x) = -F(x) eine ungerade Funktion istR P =π2 c 1 + i2 + 1 + i22=πc . (47)Dies entspricht der Tatsache, daß sich die Reflektionskurve proportional zu c verbreitert, dieintegrierte Gesamtreflektivität bei unveränderter Dicke jedoch gleich bleiben muß und folglichR P umgekehrt proportional mit dem Gradienten abnimmt. Außerdem hängt der mittlerePlateauwert nicht von der Kristalldicke A ab. Dies wird so verstanden, daß bei festgehaltenerAbweichung von der Braggposition y nur eine gewisse Anzahl Gitterebenen zur konstruktivenInterferenz beitragen, weil in anderen Kristallbereichen die Braggbedingung nicht mehrerfüllt ist. Diese Zahl, bzw. das dadurch definierte Kristallvolumen ist umgekehrt proportionalzum Gradienten, und ebenso die Reflektivität R P an dieser Stelle.Proportional zur Kristalldicke verbreitert sich jedoch die Reflektionskurve, was der wohlbekanntenTatsache entspricht, daß im Rahmen der kinematischen Beugungstheorie die Gesamtreflektivitätmit dem Kristallvolumen wächst.Die Oszillationen, auch Taupin-Oszillationen genannt, sind am Plateaurand relativ langwelligin y, während ihre Oszillationsfrequenz ω zur Plateaumitte hin linear mit y zunimmt. Um ω Min der Plateaumitte zu berechnen kann man für große Dicken Gleichung (45) benutzen undschreiben:F 2 y = 1 + i – cπ c 2 2 π 1 y exp i y c y (48)Die Frequenz des oszillierenden Anteils ist durch y / c gegeben, die sich bei der Betragsquadratbildungder gestreuten Intensität noch verdoppelt,ω = 2 y c(49)und in der Plateaumitte für y M = A c / 2 ausgewertetω M = A (50)

18 KINEMATISCHE BEUGUNG AN GRADIENTENKRISTALLENergibt, also vom Gradienten c unabhängig ist! Demnach entsprechen die Oszillationen in derPlateaumitte der Transformation der Kristalldicke in den reziproken Raum.Die Position x n des n-ten Maximums von |F(x)| 2 ist durchx n = 4 n – 5 2(51)gegeben, was unter Vernachlässigung von Schwebungen zwischen den beiden FresnelschenIntegralen für die Positionen y n der ersten Maxima zuy n = – 2 n – 5 4 π c (52)führt. Im Gegensatz zur Plateaumitte hängen die Oszillationen am Plateaurand ausschließlichvom Gradienten, nicht aber von der Kristalldicke ab. Aus ihnen kann der Gradient direktabgelesen werden.

DYNAMISCHE BEUGUNG 194.2. Dynamische BeugungIm Gegensatz zur kinematischen Beugungstheorie basiert die dynamische auf der Lösung derWellengleichung, je nach Strahlung gemäß Schrödinger oder Maxwell im Kristallpotentialund liefert außerhalb der kinematischen Näherung nicht nur quantitativ bessere, sondern auchneue Erkenntnisse. Das für die vorliegende Arbeit wohl wichtigste, grundlegende Ergebnis istdie Beschreibung der primären Extinktion: Wenn ein, in einem Kristall fortschreitenderPrimärstrahl braggreflektiert wird, verliert dieser zugunsten des Sekundärstrahls an Intensität.Dieser Abschwächung entspricht eine Extinktionstiefe ∆, unterhalb derer quasi kein Primärstrahlmehr vorhanden ist. Dadurch wird das reflektierende Kristallvolumen beschränkt.Dieser Sachverhalt ist für die Berechnung der reflektierten Intensitäten wichtig, die ja schonwegen der Teilchenzahlerhaltung nicht wie in der kinematischen Theorie dem Streuvolumenproportional ins Unermeßliche ansteigen dürfen. Durch die reziproke Extinktionslänge 2 π / ∆ist die natürliche Linienbreite des Braggreflexes am Idealkristall gegeben. Letztendlich wird,wie schon an früherer Stelle erwähnt, durch Extinktionslänge und natürliche Linienbreite einoptimaler Gradient definiert.Im folgenden Kapitel sollen die für diese Arbeit wichtigsten Grundlagen und Ergebnisse derdynamischen Beugungstheorie zusammengestellt werden, um als Basis für den im Anschlußentwickelten Transfermatrizenalgorithmus zu dienen.4.2.1. Grundlagen der dynamischen Beugung von NeutronenDieses Kapitel sowie die hier gebrauchten Bezeichnungen stützen sich stark auf die Arbeitvon H. Rauch und D. Petrascheck [12, 13], die sich wiederum an die Nomenklatur des Buchesüber Röntgenstreuung von Zachariasen [14] lehnt.Die dynamische Streutheorie behandelt die Lösung der stationären Schrödingergleichung- h¯22 m ∂2 + V r - E ψ = 0 (53)(bzw. Maxwellgleichungen für Röntgenstrahlen) im Kristallpotential, dem Fermi-PseudopotentialV r = 2 π h¯2m b c ∑ δ r - r jj. (54)Wegen der Gitterperiodizität können Wellenfunktion ψ und Potential V in Fourierreihenentwickelt werden. Die Wellenvektoren nichtverschwindender Entwicklungskomponenten

20 GRUNDLAGEN DER DYNAMISCHEN BEUGUNG VON NEUTRONENunterscheiden sich nur durch reziproke Gittervektoren G, wobei zunächst alle Vektoren desreziproken Gitters mitgeführt werden. Aus einem Blochwellenansatzψ r = e i K r u r (55)ergibt sich das algebraische Grundgleichungssystem der Beugungstheorieh¯22 m K + G 2 - E u G = - ∑ V G - G’ u G’G’(56)mit den FourierkomponentenVG = 2πh2 b c F hklmV zbzw. V G E = 4 π b c F hklk 2 V z(57)des Pseudopotentials und dem Volumen V z der Elementarzelle. Dieses Gleichungssystembeinhaltet unendlich viele, gleichwertige Wellen und ist nicht explizit lösbar. Deshalb werdenNäherungen gemacht: Die Einstrahlnäherung behandelt nur eine angeregte Welle, dievorwärtsgebeugte. Sie gilt dann, wenn man weit von jeder Braggbedingung entfernt ist. Ausihr folgt das Snell’sche Brechungsgesetz. Die Wellenzahlen K 0 im Medium und k imVakuum unterscheiden sich im Verhältnis um ε, d. h.K 0 = k 1 + ε = k 1 – V0E . (58)Die Zweistrahlnäherung berücksichtigt zwei nichtverschwindende Kristallwellen, einevorwärtsgebeugte (≈ einfallende) zum reziproken Gittervektor 0, sowie eine braggebeugtezum reziproken Gittervektor G gehörende. Von den Grundgleichungen bleiben nur noch zweiübrig, nämlichh¯22m K 2–E u0 =–V0 u0 –V–G uGh¯22m K+G 2–E uG =–VG u0 –V0 uG; fürG=0; fürG≠0 .(59)Die Wellenzahlen im Kristall sind dann

GRUNDLAGEN DER DYNAMISCHEN BEUGUNG VON NEUTRONEN 21K=k 1+εK+G =k 1+ε G(60)mit den Anregungsfehlern ε und ε G . Setzt man diese Beziehungen in die Grundgleichungenein und drückt durch Geometriebetrachtungen von Kristalloberfläche n, einfallender Welle Kund Lage G der Gitterebenen ε G durch ε aus, so erhält man eine quadratische Gleichung in εmit den Lösungen ε 1 und ε 2 . Die Schrödingergleichung erhält zu jedem ε n , n = 1,2 eineLösung, d. h. einen Eigenzustand:mitψ n = exp i (k + κ n n) r u n 0 + u n G exp i G r ; n = 1, 2 . (61)κ n =k ε ncos(γ 0 ); n = 1, 2 . (62)Hier ist γ der Winkel zwischen der Oberflächennormalen n und dem Wellenvektor k, und dieu n sind die zu den ε n gehörenden Blochwellenamplituden.Aus den elementaren Grundgleichungen (59) können die AmplitudenverhältnisseX n := u n Gu n 0 = – 2 ε n + V 0EV -GE; n = 1, 2 (63)zwischen den abgebeugten und vorwärtsgebeugten Anteilen abgeleitet werden. Die Wellen inVorwärtsrichtung zu G = 0 sowie für den reflektierten Strahl sind dann durchΨ 0 = exp i k r u 1 0 exp i κ 1 n r + u 2 0 exp i κ 2 n rΨ G = exp i k +G rX 1 u 1 0 exp i κ 1 n r +X 2 u 2 0 exp i κ 2 n r(64)gegeben. Die Superposition der zu κ 1 und κ 2 gehörenden Eigenzustände führt zu denbekannten Pendellösungseigenschaften.Die typische Anwendung der Zweistrahlnäherung sind Kristalle mit zwei planparallelenOberflächen, von denen eine auch ins Unendliche rücken kann. Die Amplitudenfunktionenu n (0), u n (G) knüpfen phasengerecht durch die Randbedingungen der Oberflächen an dieAmplituden im Vakuum u 0 (0), u 0 (G), deren Betragsquadrate unter Berücksichtigung von

22 GRUNDLAGEN DER DYNAMISCHEN BEUGUNG VON NEUTRONENProjektionsfaktoren die Intensitätsverteilungen R und T des reflektierten und des transmittiertenStrahls geben.Üblicherweise führt man hier die dimensionslosen ParameterA := k 21cos γ 0 cos γ GV GE D (65)für die Kristalldicke undy := b – 1 V 0E+ α b(66)2 b V G Efür die Abweichung von der Braggposition ein. Hierinistb := cos γ 0cos γ G(67)das Verhältnis der Richtungskosinusse der Strahlen zuden Oberflächen. Je nach Vorzeichen von b unterscheidetman zwischen Lauefall für b > 0, in dem der reflektierteStrahl durch die Kristallrückseite austritt undBraggfall für b < 0, in dem der reflektierte Strahl wiederdurch die Eintrittsoberfläche das Kristallmedium verläßt.Sie sind in Abbildung (7) schematisch dargestellt.Speziell gibt es die symmetrischen Fälle, bei denen diestreuenden Gitterebenen senkrecht (b = 1) oder parallelzur Oberfläche (b = -1) liegen.Der ParameterAbbildung (7):Darstellung der Fallunterscheidungα := G k + 2 k k ⋅ G k(68)für Laue-, oben, und Braggeometrie,unten. Je nach Lage der Gitterebenenzu den Oberflächen kannder reflektierte Strahl mit k G an derbeschreibt die Abweichung von der geometrischenKristallrückseite oder -Vorderseiteaus dem Medium austreten.Braggposition. Seine Konstruktion im reziproken Raumist in Abbildung (8) wiedergegeben: α entspricht gerade der Projektion der Variation desWellenvektors ∆k/k auf den normierten reziproken Gittervektor G/k. Ganz gleich, ob sich k inLänge oder Richtung ändert, beschreibt die Projektion immer eine zu G longitudinale Abweichung.Drücken wirk 0k Gk 0γ 0k 0k Gγ Gγ Gγ 0k0nn

GRUNDLAGEN DER DYNAMISCHEN BEUGUNG VON NEUTRONEN 23kGk0α k 2 2 ∆k⊥2 ∆k ||ΘAbbildung (8):Konstruktion der Abweichung α von der geometrischen Braggposition.k kann in longitudinaler oder transversaler Richtungvariiert werden, wichtig ist nur die Projektion von ∆k auf denreziproken Gittervektor G.k = k B + ∆k (69)durch den, die geometrische Braggbedingung erfüllenden Vektor k B und deren Abweichung∆k aus, so läßt sich Gleichung (68) inα = 2 ∆k Gk 2 (70)umformen. Die Variation ∆k kann im wesentlich auf zwei verschiedene Arten, nämlich einertransversalen Änderung, bei der die Länge von k festgehalten und die Einfallsrichtung um denWinkel ∆Θ geändert wird, oder einer longitudinalen Änderung, bei der nicht die Richtung,sondern die Wellenzahl durchgestimmt wird, geschehen. Im ersten Fall wird∆k = ∆k ⊥ ; ∆k/k = ∆Θ (71)in die Gleichung (70) eingesetzt und, zusammen mit dem Braggesetz, Θ durch G und kausgedrückt. Dies führt über die Rechenschritteα = 2 G k ⋅ ∆k ⊥k= 2 G ∆k ⊥k 2cos Θ = 4 sin Θ cos Θ ∆Θzu dem Ergebnisα = 2 sin 2 Θ ∆Θ . ( ⊥ ) (72)

24 GRUNDLAGEN DER DYNAMISCHEN BEUGUNG VON NEUTRONENAuf die gleiche Weise erhält man bei Variation in longitudinaler Richtungund∆k = ∆k || = k ∆kk(73)α = – G 2k 2 ∆k ||k = – 4 ∆k ||k sin2 Θ . ( || ) (74)Für die Beschreibung von Gradientenkristallen ist es auch wichtig, die Variation des reziprokenGittervektors mit α in Verbindung zu bringen, wodurch sich zu Gleichung (70) einweiterer Term addiert:α = G 2k 2 ∆GG + 2 ∆k Gk 2 . (75)Durch die Größen y und A werden die Reflektions- und Transmissionskurven R(y, A) undT(y, A) universell, das heißt unabhängig von den Materialeigenschaften und der Art derVariation. Es wird sich herausstellen, daß A in Einheiten von ∆/ π der Pendellösungsperiodeoder Extinktionslänge ∆, und y in Einheiten der halben Darwinplateaubreite, also der halbennatürlichen Linienbreite, mißt.In Gleichung (66) setzt sich y aus zwei Summanden im Zähler zusammen. Der erste berücksichtigtdie Snell’sche Brechung, also eine Verschiebung der geometrischen Braggposition,der zweite eben die Variation um die Braggeometrie.Mit den so definierten Größen undV –G = V ∗ G (76)für den Fall ohne Absorption lassen sichε n = 1 2b V G E–y ± y 2 ± 1 – 1 2↑ ↑n = 1, 2 +: b > 0–: b < 0V 0E; n = 1, 2 (77)X n = b V GV G–y ± y 2 ± 1 ; n = 1, 2 (78)

GRUNDLAGEN DER DYNAMISCHEN BEUGUNG VON NEUTRONEN 25X 1 X 2 = –bV GV G2= –b V GV –G(79)X 2 – X 1 = –2 b V GV Gy 2 ± 1 (80)ausdrücken.F 0γ 0γ GZur Berechnung der Reflektionskurven werden dieVerhältnisse der reflektierten zur einfallenden Wellegebildet und quadriert. Die so erhaltenen IntensitätenF GI G= ψ 2GIe ψ e(81)Abbildung (9):Bei asymmetrischer Reflektion ändertsich der Strahlquerschnitt um 1 / |b|,dem in der Intensitätsberechnung Aufmerksamkeitgeschenkt werden muß.beziehen sich jedoch auf gleichbleibende Strahlquerschnitte.Weil dieser sich bei asymmetrischerReflektion |b| ≠ 1 ändert, skalieren die für die Intensitätsmessungen wichtigen GrößenR = P GPe= 1 bI GIeund T = P 0P e= I 0Ie(82)mit dem Verhältnis ihrer Querschnitte gemäß Abbildung (9).Die Reflektions- und Transmissionskurven für Laue- und Braggeometrie ergeben sich zuundR L y, A = sin2 A 1 + y 2; T L y, A = 1 – R L y, A (83)1 + y 2R B y, A = 1y 2 + y 2 – 1 cot 2 A y 2 – 1 ; T B y, A = 1 – R B y, A . (84)Sie sind in Abbildung (10) graphisch dargestellt, während Abbildung (11) einige Querschnittefür feste A zeigt.Bei sehr dünnen Kristallen findet man in beiden Fällen sehr flache, aber breite Kurven in y,die durch ein zentrales Hauptmaximum und seitliche Nebenmaxima ausgezeichnet sind. Inbeiden Fällen erhält man die gemeinsame Reflektionskurve

26 GRUNDLAGEN DER DYNAMISCHEN BEUGUNG VON NEUTRONENAbbildung (10):Reflektionskurven in Abhängigkeit der Kristalldicke A und der Abweichung von dergeometrischen Braggposition y für Lauegeometrie, oben und Braggeometrie, unten.

GRUNDLAGEN DER DYNAMISCHEN BEUGUNG VON NEUTRONEN 27R y, A = sin A yy2; A « 1 . (85)Das Hauptmaximum der Reflektionskurve verbreitert sich mit 1 / A. Betrachten wir denExtremfall eines Kristalls der Dicke nur einer Gitterebene, so bleibt dessen Reflektivität auchnoch in weit von der Braggposition entfernten Bereichen quasi konstant gleich A 2 . Dieswurde, bis auf einen Phasenfaktor, in Kapitel 4.1. über die kinematische Beugung gebraucht,worin mittels D = d in Gleichung (65), die ReflektionsamplitudeA 1 := k 21cos γ 0 cos γ GV GE d (86)einer einzelnen Gitterebene angesetzt wurde.Mit anwachsender Kristalldicke rücken die Nebenmaxima immer enger zusammen, bis sieschließlich so nahe beieinander liegen, daß sie nicht mehr auflösbar sind. In diesem Fall kannüber die schnell oszillierenden Anteile gemittelt werden, was zu den Reflektionskurven fürunendlich dicke Kristalle, einer LorentzkurveR L y, ∞ = 12 1 + y 2 (87)im Lauefall und der DarwinkurveR B y, ∞ =1 für y < 11 – 1 – 1 y 2 für y ≥ 1(88)im Braggfall führt. Der frappierende Unterschied zwischen beiden Fällen sind die Maximalunddamit auch die Gesamtreflektivitäten. Während im Braggfall 100 % erreicht werden,steigt die Kurve im Lauefall auf nur 50 % an. Man erhält für die integrierten Reflektivitätenbei A = ∞∞R L ∞ =R L y, ∞ dy = π 2(89)undR B ∞ =-∞∞-∞R B y, ∞ dy = π . (90)

28 GRUNDLAGEN DER DYNAMISCHEN BEUGUNG VON NEUTRONENDieser Intensitätsverlust im Lauefall hängtdamit zusammen, daß die abgebeugte Welleψ G zunächst mit zunehmender Kristalldicke1.21.0A = 0,5A = π/2A = πA = ∞anwächst, in tieferen Schichten maximalwird, dabei mit der vorwärtsgebeugten Welleψ 0 konkurriert und in diese wieder Intensitätzurückstreut. Dem entspricht ein hin- undherpendeln der Intensität zwischen PrimärundSekundärstrahl. Betrachtet man dasZentrumR L 0, A = sin 2 A (91)der Lauekurve als Funktion der KristalldickeA, so erhält man eine Periodizität vonR L (y, A)0.80.60.40.20.01.21.00.8-6 -4 -2 0 2 4 6yA = 0,5A = π/2A = πA = ∞A ∆ = π . (92)R B (y, A)0.6Mittels (65) in metrische Einheiten umgerechnetbedeutet dies für die Pendellösungsperiode∆ = 2 πkIm Braggfall giltcos γ 0 cos γ G1V GE. (93)0.40.20.0-6 -4 -2 0 2 4 6yAbbildung (11):Laue- (oben) und Braggreflektionskurven(unten) für verschiedene Kristalldicken A.Während im Braggfall die Gesamtreflektivitätstetig mit A ansteigt, oszilliert diese im Fallder Lauestellung.undR B 0, A = tanh 2 A (94)∞R B A = R B y, A dy = π tanh A . (95)-∞Setzt man für A die Pendellösungsperiode π in diese Formeln ein, so ist R B (π) gerade auf100 % angestiegen, wodurch begründet wird, daß in der Dicke eine Pendellösungsperiode anKristallmaterial gebraucht wird, um volle Reflektivität zu erhalten. Unterhalb von A = 1 fälltdie Braggreflektivität quasi linear mit der Kristalldicke ab, was den Gültigkeitsbereich einerkinematischen Streutheorie characterisiert.

EINE TRANSFERMATRIZENMETHODE IN DER DYNAMISCHEN BEUGUNGSTHEORIE 294.2.2. Eine Transfermatrizenmethode in der dynamischen BeugungstheorieZur Beschreibung der Reflektionseigenschaften geschichteter, optischer Medien werden seitAufkommen leistungsfähiger Rechenanlagen mehr und mehr Transfermatrixalgorithmenherangezogen [15]. Sehr bequem erweist sich diese Methode für die Berechnung von Schichtsystemen,dessen Lagen sich durch unterschiedliche Brechungsindizes voneinander unterscheiden.Für Neutronen wurde dies zum Beispiel bei den Reflektionskurven von Superspiegelnangewandt [16].Die Idee dieser Methode ist es, wie in Abbildung (12) dargestellt, dieals Spaltenvektoren geschriebenen, unabhängigen Lösungen ψ 0N+1und ψN+1 G hinter einem homogenen Medium durch ein Produkt auseiner 2 × 2 Matrix C und den Lösungen ψ0 0 und ψG0 vor diesemMedium auszudrücken:ψ 00ψ G0ψ GN+1ψ 0N+1ψ 0N+1ψ GN+1= C ψ 0 0ψ G0mit C = C 00 C 0GC G0 C GG(96)Abbildung (12):Ebene, monochromatischeWellen vorund hinter einemplanparallelen, homogenenMedium.Dies ist ganz allgemein möglich, da es sich bei den Wellengleichungennach Schrödinger oder Maxwell um Differentialgleichungenzweiter Ordnung handelt, und diese überall, also vor, in und hinter dem betrachteten Mediumzwei unabhängige Lösungen besitzen. Die auf einem Modell basierende Physik wird in dieTransfermatrix hineingesteckt, die im allgemeinen eine Mischung der Eigenzustände durchdie Stetigkeitsbedingungen an den Grenzflächen und die Propagation der Welle als Funktiondes Ortes beschreibt. Aus globalen Randbedingungen, z. B. daß hinter dem Medium keinereflektierte Welle vorliegt, werden die speziellen Lösungen bestimmt, aus denen man diebeobachtbaren Größen, wie Reflektion und Transmission erhält.In diesem Kapitel soll zum ersten Mal ein Transfermatrizenalgorithmus im Rahmen derdynamischen Streutheorie erstellt werden.Abbildung (13) skizziert ein geschichtetes Medium von N Lagen. Zählen wir das Vakuum vorund hinter diesem dazu, so werden die Schichten mit dem laufenden Index j der Reihe nachvon 0 bis (N+1) durchnumeriert:j ∈ {0, Ν+1} . (97)Größen, die sich auf die Lage j beziehen, werden rechts oben mit diesem Index verziert.Somit ist z. B. jeder Schicht eine Dicke D j zugewiesen.

.30 EINE TRANSFERMATRIZENMETHODE IN DER DYNAMISCHEN BEUGUNGSTHEORIEψ 00ψ G01 2 j j+1 Nrr jjr 00D jj j+1ψ G ψ Gj j+1ψ 0 ψ 0C 0 C 1 C 2 C j-1 C j C j+1 C N–1 C NAbbildung (13):Geschichtetes Kristallmediumψ GN+1ψ 0N+1Der Ursprung 0 des Koordinatensystems kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf derjEintrittsoberfläche des Mediums gewählt werden. Ortsvektoren r werden in ihre Anteile r 0entlang des gemeinsamen Normalenvektors n zur Grenzfläche der Schicht j und dem Anteil r jinnerhalb derselben Schicht zerlegt:r = r 0j+ r j mit r 0 1 = 0 und r 0jj-1∑= n D ν . (98)ν = 1jDie beiden linear unabhängigen Wellenfunktionen in jeder Schicht werden mit ψ 0in vorwärtsgebeugterund ψ Gjin abgebeugter Richtung bezeichnet. Gemäß (96) beschreibt eineMatrix C j die Beziehung zwischen den Wellenfunktionenψ 0j+1ψ Gj+1= C j ψ j0jψ G. (99)Dabei werden Amplitude und Phase jeweils im Medium j und an der Grenzfläche zwischen jund (j-1) gemessen, oder in Formeln ausgedrückt:ψ 0jψ Gj= ψ 0 j (r 0 j )ψ G j (r 0 j ). (100)Für die Gesamtmatrix werden alle Einzelmatrizen aneinandermultipliziert, so daß wir

EINE TRANSFERMATRIZENMETHODE IN DER DYNAMISCHEN BEUGUNGSTHEORIE 31ψ 0N+1ψ GN+1N∏= C νν = 0ψ 00ψ G0(101)j-1u 1jSchicht j j+1Λ 1ju 1ju 1j+1jj j j+1erhalten. Der Pfeil über dem Produktzeichen bedeutetu 2 Λ 2 u 2u 2eine sukzessive Multiplikation von links.Propagation StetigkeitAbbildung (14):Blochwellenamplituden uj Wie schon erwähnt, sollen die Medien in den einzelnenn beimÜbergang von der Schicht j zurLagen homogen sein. Für uns bedeutet dies, daß jedeSchicht j+1. Die uj n an der linkenSchicht einen Idealkristall darstellt. Verschiedene Lagen Grenzfläche propagieren durchdas Medium und ergeben die Λ j nujkönnen sich durch verschiedene Kristallpotentiale, dasnvor der rechten Grenzfläche. Dortheißt, bei fester, einfallender Welle, durch unterschiedlicheAbweichungen y j von der jeweils geometrischenwird die Stetigkeitsbedingunggefordert, um die uj+1 n hinter dieserGrenzfläche zu erhalten.Braggposition unterscheiden. Davon ausgehend, gibt esin jeder Lage einen individuellen, durch Gleichung (64) beschriebenen Satz von LösungenΨ 0jΨ Gjr = exp i k r u 1jr =exp i k + G rX 1 u 1j0 exp i κ 1j0 exp i κ 1jn r j +u 2jn r j + X 2 u 2j0 exp i κ 2j0 exp i κ 2jn r jn r j ,(102)der an der Grenzflächen r j = D j und n r j+1 = 0 (103)zwischen j und (j+1) die StetigkeitsbedingungΨ HjD j = Ψ Hj+1 0 , H = 0, G (104)erfüllen muß. Es kann allgemein gezeigt werden, daß hier die Stetigkeitsforderung der Ableitungvernachlässigbar ist. Diese führte zu den optischen Reflektionseigenschaften an derGrenzfläche, die wegen des kleinen Kristallpotentials und der gemäß (58) verbundenen geringenAbweichung des Brechungsindexes von 1 um viele Größenordnungen nicht ins Gewichtfällt.Somit folgt mit der AbkürzungΛ nj:= exp i κ njD j (105)für ψ 0 :und ψ G :X 1ju 1ju 1jΛ 1jΛ 1j+ u 2j+X 2ju 2jΛ 2jΛ 2j= u 1 j+1 + u 2j+1= X 1j+1 u1 j+1 +X 2j+1 u2 j+1 .(106)

32 EINE TRANSFERMATRIZENMETHODE IN DER DYNAMISCHEN BEUGUNGSTHEORIEDieser Zusammenhang der Blochwellenamplituden uj n soll nochmal in Abbildung (14)verdeutlicht werden. Obiges Gleichungssystem läßt sich nach u j+1 1und u j+1 2auflösen, so daßman eine Transfermatrizengleichung|u 1j+1|u 2j+1=1X j+1 j+12 –X 1X 2 j+1 –X 1j| X 2 j+1 –X 2j– X 1 j+1 –X 1j|– X 1 j+1 –X 2jΛ 1j| 00 |Λ 2j|u 1j|u 2j(107)für die u njerhält. Die MatrixT j = X j L j (108)wurde als Produkt zweier EinzelmatrizenX j =1X j+1 j+12 –X 1X 2 j+1 –X 1j| X 2 j+1 –X 2j– X 1 j+1 –X 1j|– X 1 j+1 –X 2j(109)undL j =Λ 1j| 00 | Λ 2j(110)geschrieben. Die Diagonalmatrix L j beschreibt die Propagation der Phasen in der Lage j,wenn man von ihrer Eintrittsfläche um die Dicke D j zur Austrittsfläche fortschreitet. X jhingegen setzt sich aus den Differenzen der Amplitudenverhältnisse (63) zwischen denMedien (j+1) und j, normiert auf (j+1) zusammen. Sind beide Schichten gleich, so erhaltenwir für X j die Einheitsmatrix, das heißt, die uj n spüren keine Grenzfläche, sondern ändern sichnur durch L in ihrer Phase. Schaltet man nun einen kleinen Potentialunterschied zwischenbeiden Lagen ein, so bleiben die Diagonalmatrixelemente von X j in nullter Näherung unverändert,während Außerdiagonalelemente hinzukommen. Letztere beschreiben eine Mischungj jder zu u 1und u 2gehörenden Zustände.Als nächstes sollen die Matrizen X j und L j vereinfacht und durch die wohlbekannten Größeny j und A j ausgedrückt werden. Für die Behandlung von X j zerlegen wir den Ausdruck (78) inmitX nj= b Vj GV j G X n j (111)

EINE TRANSFERMATRIZENMETHODE IN DER DYNAMISCHEN BEUGUNGSTHEORIE 33X nj= –y j ± y j2 ± 1 . (112)Da der Vorfaktor b V j G V j G für alle n und j derselbe ist, kürzt sich dieser und wirjkönnen die X n in X j jdurch die X n ersetzen. Der in der Phasenmatrix vorkommende Termφ n := κ njD j (113)kann mittels (62), (77) und der Definition (65) von A inφ nj= –y j ± y j2 ± 1 – 1 bV j GV j GA j (114)umgeschrieben und in die beiden Anteilemitundφ njφ njφ njj j= φ n + φ n (115)j:= X n A j (116)= – 1 V j Gb V j G Aj (117)jzerlegt werden. Dabei hängt φ n nicht von n = 1, 2 ab und liefert im Exponentialausdruck (105)nur einen gemeinsamen Phasenfaktor, der aus der Matrix L j herausgezogen, und mit Hinblickauf eine spätere Betragsquadratbildung fortgelassen werden kann. Wir ersetzen alsomitL j → L j = exp –i φ j L j =Λ njΛ 1j00 Λ 2j (118)j= exp X n A j . (119)Somit erhalten wir für die TransfermatrixmitT j → T j = X j L j (120)j+1 j j+1 jX j X12 –X1 | X 2 –X2=j+1 j+1(121)X 2 –X1 j+1 j j+1 j– X 1 –X1 |– X 1 –X2

34 EINE TRANSFERMATRIZENMETHODE IN DER DYNAMISCHEN BEUGUNGSTHEORIEundL j =Λ 1j0j . (122)0 Λ 2Bisher haben wir die Transfermatrizen für die Beschreibung der Blochwellenamplituden ujnim Kristallmedium erstellt. Beim Übergang zum Vakuum kombinieren diese Zustände gemäßGleichung (102) zu den beobachtbaren Wellen. Diese Beziehung in Matrixdarstellunggeschrieben bedeutet|ψ 0ν|ψ Gν= exp i k r M ν |u 1ν|u 2ν; ν = 0, (N+1) (123)mit der VakuumtransfermatrixM ν =|Λ 1ν|Λ 2νexp i G r X 1 ν Λ 1ν | exp i G r X 2 ν Λ 2ν. (124)Da ohne Beschränkung der Allgemeinheit die ein- und austretenden Wellen an den Kristalloberflächengemessen werden können, kann manD ν ≡ 0 ⇒ Λ nν ≡ 1 ; ν = 0, (N+1) (125)setzen. In diesen Grenzschichten verschwindender Dicke muß außerdemu n0 ≡ u n1 und u nN+1 ≡ u nN (126)gelten, was mitX n0 ≡ Xn1bzw.X nN+1 ≡ XnN(127)erfüllt wird. Für M ν ergibt diesM ν =|1 1νX 1ν | X 2; ν = 0, (N+1) . (128)

EINE TRANSFERMATRIZENMETHODE IN DER DYNAMISCHEN BEUGUNGSTHEORIE 35Mit obigen Relationen kann nun die Beziehung zwischen den ψ ν H , ν = 0, (N+1); H = 0, Gdurch ein Produkt aus einer Eintrittsmatrix (M) -1 vom Vakuum ins Medium, einer sich ausdem Produkt der Einzelmatrizen zusammensetzenden Transfermatrix T und einerAustrittsmatrix M ausgedrückt werden:ψ 0N+1ψ GN+1= Cψ 00ψ G0mit C =C 00 C 0GC G0 C GG= M N+1 T M 0 -1 (129)Bevor nun weitere vereinfachende Annahmen gemacht werden können, müssen wir dieRandbedingungen einführen:Im Braggfall (b < 0) haben wir vor dem Medium sowohl Wellen in vorwärts- und abgebeugterRichtung, hinter diesem jedoch nur eine vorwärtsgebeugte, alsoψ 00ψ G0= ψ eψ G0bei n r = 0 (130)undN+1ψ 0N+1ψ = ψ 0 N+1G 0bei n r =N∑ν = 1D ν. (131)Daraus folgtψ eψ G0= C –1 ψ 0N+10(132)oder komponentenweise, wenn C –1 HImit H, I = 0, G die Elemente von C -1 bezeichnet,–1 N+1ψ e = C 00 ψ0(133)woraus für die Transmission, also die normierte Intensität in VorwärtsrichtungT B = I 0 N+1I e= ψ 0 N+1ψ e2= 1–1 2C 00(134)

36 EINE TRANSFERMATRIZENMETHODE IN DER DYNAMISCHEN BEUGUNGSTHEORIEfolgt undψ 0 –1G = C N+1 G0 ψ0 , (135)was zusammen mit (133) und (81) zur ReflektionR B = 1 bI G0I e= 1 b0 2ψ G=ψ 1 e b–1C G0–1C 002(136)führt.Der Lauefall zeichnet sich dadurch aus, daß die abgebeugte Welle vor dem Mediumverschwindet, während sie an der Rückseite mit endlicher Amplitude selbiges verläßt:ψ 00ψ G0= ψ e0bei n r = 0 , (137)woraus folgtψ 0N+1ψ GN+1= C ψ e0(138)und ähnlich wie im Braggfall durch komponentenweise Betrachtungundψ 0 N+1 = C 00 ψ e (139)ψ G N+1 = C G0 ψ e (140)ergibt. Damit erhalten wirundT L = C 002(141)R L = 1 b C G0 2 (142)für die Meßgrößen der vorwärtsgebeugten und abgebeugten Strahlen.

EINE TRANSFERMATRIZENMETHODE IN DER DYNAMISCHEN BEUGUNGSTHEORIE 37Es läßt sich nun für eine weitere Vereinfachung zeigen, daß sich formellC = M N+1 T M 0 –1 =αexp i G r b Φ γexp –i G r 1 b Φ–1 βδ(143)schreiben läßt, worin Φ = V G V G einen Phasenfaktor darstellt und α, β, γ, δ nicht mehrvon exp –i G r , |b| und Φ abhängen. Für C -1 gilt dasselbe. Zusammen mit den Randbedingungen(130) und (131) oder (137) und der späteren Betragsquadratbildung können die Phasenfaktorenfortgelassen werden. Der Faktor |b| kürzt sich jeweils in den Reflektivitätsformeln(136) und (142) heraus, weshalb wir die modifizierten, nur noch von y j und A j abhängigenMatrizenM ν =1 1X 1νX 2νbzw. M ν –1 = 1X 1ν – X2ν–X 2ν1X 1ν–1; ν = 0, (N+1) (144)für die Vakuumtransfermatrizen M ersetzen können und die endgültigen TransfermatrizenC = M N+1 T M 0–1 (145)für unsere Berechnungen erhalten. Die Transmissionen und Reflektionen lassen sich dannfolgendermaßen schreiben:Bragg b < 0:T B y 1 , , y N ; A 1 , , A N = 1–1 2C 00R B y 1 , , y N ; A 1 , , A N = C –1G0–1C 002(146)(147)Laue b > 0:T L y 1 , , y N ; A 1 , , A N = C 002R L y 1 , , y N ; A 1 , , A N = C G02(148)(149)Sie hängen nur noch von den y j und A j aller Schichten ab.

38 ANWENDUNGSBEISPIELE DER TRANSFERMATRIZEN4.2.3. Anwendungsbeispiele der TransfermatrizenIm vorangegangenen Kapitel wurde eine Transfermatrizenmethode im Rahmen derdynamischen Beugungstheorie für geschichtete Medien hergeleitet, die nun an Beispielenangewendet werden soll. Das einfachste System ist natürlich die Behandlung einesIdealkristalls, worauf Einsätze der Methode auf Vielfachschichtsysteme und, als Grenzfallderer, Gradientenkristalle vorgeführt werden. Selbst die Beschreibung einesKristallinterferometers wäre denkbar, doch würde sie den Rahmen dieser Arbeit sprengen.Der Transfermatrizenalgorithmus an sich ist eine rein analytische Methode zur Beschreibungsolcher Schichtsysteme, doch werden bei größeren Schichtzahlen die Matrixelemente sokomplex, daß man die Matrizen nur noch auf numerischen Rechenmaschinenausmultiplizieren kann. Wie wir sehen werden, wird im Fall der Gradientenkristalle noch einnumerischer Grenzübergang hinzukommen.4.2.3.1. Der planparallele IdealkristallAn diesem Beispiel soll die Analytik und die Konsistenz der Transfermatrixmethode gezeigtwerden.Bei einem Idealkristall herrscht in allen Lagen j das gleiche Kristallpotential und daher überalldieselbe Abweichungy j = y (150)jvon der Braggposition. Somit sind auch alle X nder einzelnen Lagendicken durch= X n gleich. Die Gesamtdicke ist als SummeA =N∑j = 1A j(151)gegeben. Wie auch schon früher diskutiert, erhalten wir mit (150) und (121) fürX j =1| |00||1(152)die Einheitsmatrix, weshalb sich T zu

DER PLANPARALLELE IDEALKRISTALL 39T =N∏j = 1L j=N∏j = 1exp i X 1 A j 00 exp i X 2 A j(153)oder mitzuΛ n = exp i X n A (154)T = Λ 1 00 Λ 2(155)vereinfacht und nur die Phasenpropagation der Blochwellenamplituden durch den Gesamtkristallbeschreibt. Es ist also gleichgültig, in wie viele Lagen ein Idealkristall mathematischaufgeteilt wird. Physikalisch stellt er nur eine einzige dar, die durch die Matrix T beschriebenwird.Um richtig an die Vakuumzustände anzuknüpfen, müssen wir das Produkt (145) mit derVakuumtransfermatrix M N+1 ≡ M 0 ≡ M ausführen und erhaltenC =1 1 1 Λ 1 0 X 2 –1X 2 –X 1 X 1 X 2 0 Λ 2 –X 1 1(156)oderC =1X 2 –X 1Λ 1 X 2 –Λ 2 X 1 Λ 2 –Λ 1Λ 1 –Λ 2 X 1 X 2 Λ 2 X 2 –Λ 1 X 1. (157)Damit wird zum Beispiel die durch (149) gegebene Reflektionskurve im LauefallR L = C G02 =X 1 X 2X 2 – X 12Λ1 – Λ 22(158)mittels den aus (79) und (80) erhaltenen AusdrückenX 1 X 2 =±1 , (159)undX 2 – X 1 = –2 y 2 ± 1 (160)Λ 1 – Λ 22= 1 – exp –i2 y 2 ± 1A2= 2 – 2 cos 2 y 2 ± 1A (161)

40 DER PLANPARALLELE IDEALKRISTALLsowie der Erinnerung, daß im Lauefall das + Zeichen unter der Wurzel gilt inR L = 1 – cos 2 y2 + 1 Ay 2 + 1(162)umgeformt, was durch ein Additionstheorem der Winkelfunktionen in den AusdruckR L = sin2y 2 + 1 Ay 2 + 1(163)übergeht. Wie wir sehen, ist diese Gleichung identisch mit (83). Genauso kann man auch dieanderen Größen T L und für den Braggfall R B und T B erhalten.4.2.3.2. Das kristalline MultilagensystemIn diesem Abschnitt sollen kristalline Doppelschichtsystemebetrachtet werden, die sich N-fach wiederholen. Eine schematischeDarstellung ist in Abbildung (15) wiedergegeben.Numerieren wir die Lagen einer Doppelschicht mit j = 1, 2,so ergibt sich für die Transfermatrix des gesamten MediumsC = M 3 T 2 T 1N M 0-1 . (164)ψ 000 121 2 12 1 2 1 2 3ψ G3ψ 03Abbildung (15):Doppelschichtensystem mit 5-facher Wiederholung, imLauefall dargestellt.In die T j gehen gemäß (120) und (121) Differenzen aufgrund unterschiedlicher Abweichungeny j von der, in jedem Medium individuellen geometrischen Braggposition ein.Gehen wir davon aus, daß beide Kristallagen in derselben Struktur kristallisieren, so kann ygemäß seiner Definition (66) auf zwei verschiedene Arten variiert werden, nämlich gemäß(75) als Abweichung der Gitterkonstanten d, bzw. des dazugehörigen Streuvektors G, undzum anderen als Variation der kohärenten Streulänge b c . Um auch letztere Modifikation zuberücksichtigen, entwickeln wir (66) um b c mit ∆b c = b' c – b c und erhalteny =b – 1 V 0E+ α b 1 – ∆b cb c. (165)2 b V G EFür α muß bei Variation der Gitterkonstanten die zu ∆G lineare Abhängigkeit (75) eingesetztwerden. Dabei verschiebt ∆G die Braggposition des Mediums 2 auf der Skala 1, wie es aus

DAS KRISTALLINE MULTILAGENSYSTEM 41dem Braggesetz nicht anders zu erwarten ist. Eine Variationvon b c bei festem G läßt jedoch die Braggbedingungan derselben Stelle, nämlich bei y(α = 0) erscheinen,staucht oder streckt aber die Skala des zweiten Mediumsauf der des ersten. Dies soll nochmals in Abbildung (16)veranschaulicht werden.-10 -5 0 5 10y-Skala des ersten MediumsEin Beispiel für ein Lagensystem mit Gitterkonstantenvariationist in erster Näherung das Si 1-x Ge x System, Variation des Braggreflexes inAbbildung (16):Abhängigkeit einer Änderung derwährend eine Streulängenvariation durch ein Isotopensystem,z. B. ein Germaniumsystem betrachtet werden kohärenten Streulänge, unten.Gitterkonstanten, oben, bzw. derkann, bei dem sich die Lagen durch verschiedene Germaniumisotopeunterscheiden. In Zahlen ausgedrückt, unterscheiden sich die Schichten vonSi-Si 0,99 Ge 0,01 in Rückstreuung und symmetrischer Braggeometrie um ∆y = 46, während derStreckungsfaktor eines 70 Ge- 73 GeSystems p = 1,5 betragen kann..R10 0 N = 1-200 -100 0 100 20010 -210 -410 0 N = 1010 -2-200 -100 0 100 20010 -410 0 N = 100-200 -100 0 100 20010 -210 -4yAbbildung (17):Berechnete Reflektionskurven in Braggeometrie beiGitterkonstantenvariation von N-fach Doppelschichtsystemenbei festgehaltener Gesamtdicke A = 2 π, alsoEinzelschichtdicken von A 1 = A 2 = π / N.Abbildung (17) zeigt einige Rechenergebnissebei Variation der Gitterkonstantenmit ∆y = 50 in Braggeometrieund logarithmischer Darstellungfür die Reflektivität. Das ersteTeilbild zeigt die Reflektionskurveeiner Doppellage der DickeA 1 = A 2 = π, also einer Pendellösungsperiodepro Schicht. Wir sehendie Überlagerung zweier, voll ausgeprägterBraggreflexe, den der erstenSchicht bei y = 0 sowie den derzweiten bei y = -50, also an denBraggpositionen jeder einzelnenSchicht. Die feinen Oszillationensind uns bereits aus Kapitel 4.2.1.bekannt. Im zweiten Teilbild, dasmit 10 Doppellagen der DickenA 1 = A 2 = π / 10, also gleichbleibenderGesamtdicke berechnet wurde, fallendem Leser sofort eine Vielzahlausgeprägter Nebenmaxima auf, die

42 DAS KRISTALLINE MULTILAGENSYSTEMjeweils den Abstand δy = π / A 1 =.R10 0 N = 1-200 -100 0 100 20010 -210 -410 0 N = 1010 -2-200 -100 0 100 20010 -410 0 N = 100-200 -100 0 100 20010 -210 -4yAbbildung (18):Berechnete Reflektionskurven in Braggeometrie beiStreulängenvariation um p = 1,5 von N-fach Doppelschichtsystemenbei festgehaltener Gesamtdicke. DieEinzelschichtdicken von betragen A 1 = π / N undA 2 = π / (p N).π / A 2 , also den der reziproken Einzelschichtenvoneinander haben. DieHauptmaxima bei y = 0 und y = -50sind zwar noch vorhanden, dochbeginnen ihre benachbarten Nebenmaximastark mit diesen zu konkurrieren.Erhöhen wir die Zahl derDoppellagen um einen weiterenFaktor 10, so hat, wie im unterstenTeilbild dargestellt, bereits einGrenzübergang stattgefunden: DieHauptmaxima an den erwartetenStellen sind vollkommenverschwunden. Stattdessen hat sichim Zentrum eine, dem Idealkristallsehr ähnliche Reflektionskurveausgebildet, deren Position genauder mittleren Gitterkonstanteny = -25 entspricht. Jetzt sind dieeinzelnen Lagen so fein geworden,daß die Kristallwellen nur noch ihrmittleres Potential erkennen.Natürlich ist weiterhin einePeriodizität vorhanden, was wiedereine wohldefinierte Reihe von Nebenmaximaaufwirft. Im Gegensatz zum mittleren Teilbild sind diese doch nur umδy = π / (A 1 + A 2 ), also um die reziproke Gesamtdicke voneinander separiert. Dies magwieder mit obiger Grenzbetrachtung interpretiert werden, wobei für die Welle wohl noch diePeriodizität vorhanden, in niederer Ordnung jedoch nicht mehr aufgelöst wird. Ein Beitraghöherer Ordnung mag dazu tragen, daß der Streuanteil zwischen den Maxima mal nach oben,mal nach unten „gekrümmt” ist.Die Reflektionskurven bei Streulängenvariation mit p = 1,5 sind in Abbildung (18) wiedergegeben.Im oberen Teilbild sehen wir das Ergebnis einer Doppellage mit SchichtdickenA 1 = π und A 2 = π / p = 2,094. Wenn wir in Betracht ziehen, daß die Größen im Medium 2auf der Skala des ersten gemessen werden, entsprechen die Dicken jeweils einer Pendellösungsperiode.Die Braggreflexe beider Schichten überlagern sich nun aufgrund identischerGitterkonstanten bei y = 0. Sieht man genauer hin als dargestellt, so erscheinen die feinen

DAS KRISTALLINE MULTILAGENSYSTEM 43Oszillationen der beiden Kurven um p gegeneinander gestreckt bzw. gestaucht und wirkensich in Schwebungserscheinungen derselben aus. Im mittleren Teilbild haben wir wieder beifester Gesamtdicke die Schichtenzahl um 10 erhöht, wodurch sofort ausgeprägte Nebenmaximades Abstands δy = π / A 1 , also der reziproken Einzelschichtdicke entsprechend,hervorgerufen werden. Bei weiterer Erhöhung der Schichtenzahl auf N = 100 ändert sichqualitativ nichts mehr. Natürlich sind die Nebenmaxima wegen der kleineren Einzelschichtdickenweiter voneinander entfernt. Gegenüber der Gitterkonstantenvariation finden sichkeine Maxima, die der Doppellagenperiodizität von A 1 + p·A 2 entsprechen. Dies ist geradeauf unsere spezielle Wahl von A 1 und A 2 zurückzuführen, wobei die Phasenvorschübe durchPropagation der Welle durch die Lagen des einen oder anderen Mediums identisch sind unddamit diese Reflexe verboten werden.Bei genauerer Auswertung läßt sich in beiden Variationsfällen demonstrieren, daß dieNebenmaxima schmäler als die natürlichen Linienbreiten des Idealkristalls und, im kinematischenBereich, umgekehrt proportional zur Schichtenzahl N sind. Letzteres Verhalten ist ausder Beugung am Strichgitter bekannt. Während bei einem Idealkristall das Streuvolumendurch die Pendellösungsperiode beschränkt ist, trägt der von den Multilagen herrührendeAnteil nur relativ schwach zur Ausbildung der Nebenmaxima bei, wodurch das zugehörige,effektive Streuvolumen vervielfacht, und damit die Linienbreite im reziproken Raumverkleinert wird. Ein weiterer interessanter Gesichtspunkt erweist sich bei der Betrachtungdicker und dickerer Kristalle bei festgehaltener Einzelschichtdicke, dem ein Anstieg derNebenreflexintensitäten entspricht, bis diese ihren Bereich primärer Extinktion erlangen undin Sättigung gehen. Die alsdann ausgeprägten Reflektionskurven ähneln, und dieses immathematischen Sinn, denen von Idealkristallen, je nach Geometrie im Laue- oder Braggfall.Demnach strebt auch die Linienbreite einem, der reziproken Extinktionslänge entsprechenden,endlichen Wert zu, der sich umgekehrt proportional zur Einzelschichtdicke verhält.Im Vorangegangenen wurde demonstriert, wie ein Vielfachdoppellagensystem auch Satellitenreflexeum die atomaren Braggreflexe aufwirft, wenn hinreichende Kohärenz zwischen deneinzelnen, auch nicht benachbarten Lagen besteht. Im Gegensatz zur Reflektometrie kann beiAnwendung auf z. B. epitaktisch gewachsene Proben nicht nur auf die Lagenstruktur alsganzes, sondern auch auf die atomare Verteilung in diesen geschlossen werden. Es mag vonInteresse sein, daß diese Methode mit Braggreflexen vergleichbare Streuvektoren benutzt.Damit können am Meßinstrument herkömmliche Strahlgeometrien bei großen Streuwinkelnverwendet werden. Insbesonders kann auch die Lauegeometrie Anwendung finden, da es beider Ausbildung der Nebenmaxima qualitativ keinen Unterschied zur Braggeometrie gibt.

44 STUFEN- UND GRADIENTENKRISTALLE4.2.3.3. Stufen- und Gradientenkristalle∆y ~ Gitterkonstante150 100 50 0 -50Dieses Kapitel soll dem eigentlichen Ziel dieser Arbeit,nämlich der Beschreibung von Reflektionskurvenan Gradientenkristallen gewidmet werden. Dazuführen wir den Stufenkristall ein, um schließlichdurch einen numerischen Grenzübergang die gewünschtenEigenschaften zu erhalten.Ein Stufenkristall sei durch ein Schichtensystem definiert,dessen Lagen sich durch monoton wachsendeoder fallende Kristallpotentiale unterscheiden undderen Variationsprofile, wie beispielsweise das derGitterkonstanten in Abbildung (19), einer Treppenfunktionähneln. Die Reflektionskurve läßt, wie imunteren Teil der Abbildung, für jede Lage ein individuellesMaximum erwarten.Bei einem Gradientenkristall gehen wir von einerkontinuierlichen Variation des Kristallpotentials aus.Zur Berechnung der Reflektionskurve wird diese,Abbildung (20) entsprechend, in eine Vielzahl vonStufen unterteilt, die so fein sind, daß sich die resultierendenReflektionskurven bei weiterer Unterteilungnicht mehr unterscheiden.A ~ DickeR10501.00.50.0-150 -100 -50 0 50y ~ BraggpositionAbbildung (19):Variation ∆y proportional zur Gitterkonstantenals Funktion der KristalldickeA im oberen Diagramm,hier am Beispiel von 5 Schichten.Die Variation zwischen benachbartenSchichten ist so groß, daß jedefür sich ihr eigenes BraggmaximumausbildetA ~ Dicke105∆y ~ Gitterkonstante150 100 50 0 -50Zur Beschreibung eines Gradienten in den dimensionslosenEinheiten führen wir die Größec = ∂y∂Aein, die mittels (65) und (66) durchc = ± b 12 π G3k 3cos γ 0 cos γ GV GEmit dem Gitterkonstantengradienten2(166)g (167)R01.00.50.0-150 -100 -50 0 50y ~ BraggpositionAbbildung (20):Die lineare Variation ∆y eines Gradientenkristallswird für die Berechnungmittels Transfermatrizenmethodein Stufen zerlegt, die fein genugsein müssen um numerisch dasrichtige Reflektionsprofil R(y) zu erzeugen.

STUFEN- UND GRADIENTENKRISTALLE 451.0g = ∂d∂D(168)0.8N = 5in Verbindung steht. Für lineare Gradienten ist ceine Konstante. Damit ergibt sich z. B. mit derDarwinplateaubreite δy = 2 und der Pendellösungsperiode(92) für den in Gleichung (20) definierten,idealen Gradientenc i = 2 π . (169)0.60.40.20.0-150 -100 -50 0 50SeiA = N A 1 (170)die Gesamtdicke des in N Stufen gleicher DickenA 1 unterteilten Gradientenkristalls, so ergibt sicheine Variation von∆y = c AN – 1(171)zwischen benachbarten Lagen. Genauso läßt sichbei einer Streulängenvariation um p für den gesamtenKristall der entsprechende Faktorp ∆ =N-1p(172)zwischen benachbarten Schichten einführen, womitman mit den Werten p 1 = 1 und y 1 der ersten LageReflektivität R0.40.20.00.40.20.0N = 25-150 -100 -50 0 50N = 625-150 -100 -50 0 50Braggposition yAbbildung (21):Reflektionskurven beim numerischenÜbergang eines Stufenkristalls zumGradientenkristall. Je feiner die Unterteilungen,d. h. je Größer N wird, destobesser gleicht die erhaltene Kurve derdes Gradientenkristalls.y j = p ∆j-1 y 1 + j – 1 c A 1 (173)für die j-te Lage erhält und in den Matrixformalismus einsetzt.In Abbildung (21) sind somit erhaltene Rechenergebnisse im Braggfall für A = 10, c = 10 undp = 1 mit 5, 25 und 625 Unterteilungen dargestellt. Während das erste Teilbild die Reflektionskurveeines ausgeprägten Stufenkristalls zeigt, ähnelt das zweite, obwohl noch sehr eckig

46 STUFEN- UND GRADIENTENKRISTALLEund kantig und noch mit 24 Hauptmaxima besetzt,schon eher der eines Gradientenkristalls wie imletzten Teilbild. Den relativen Fehler∞R y, A 1 – R y, A 1 →0 2 dyFehler E10 010 -110 -210 -310 -4200.4 1 0.08 2 0.016 3-∞E =(174)∞Abbildung (22):R y, A 1 →0 dyDie Rechenungenauigkeit E hängt bei-∞breiten Reflektionskurven nur von derEinzelschichtdicke A 1 , jedoch nicht vomGradienten c ab.aus numerischen Berechnungen für drei verschiedeneKristallsysteme relativ breiter Reflektions-: A = 10, c = 10;: A = 5, c = 10;: A = 10, c = 20;kurven und in Abhängigkeit der Einzelschichtdickegibt Abbildung (22) wieder. Obwohl diePunkte wegen der Komplexität der Reflektionskurven nicht genau auf die angepaßte, durchgezogeneLinie fallen, ist doch eine quadratische Gesetzmäßigkeit herauszulesen:Einzelschichtdicke A 1E ~ A 1 2(175)Interessanterweise hängt dessen Größenordnung weder von der Gesamtdicke A noch vomGradienten c ab.

ERGEBNISSE FÜR GRADIENTENKRISTALLE 474.2.3.4. Ergebnisse fŸr GradientenkristalleAls nächstes wollen wir untersuchen, wie sich die Reflektivitäten in Abhängigkeit derGesamtdicke und des Gradienten verhalten. Dabei sei auch auf die Diskussion der wesentlichenPunkte im Braggfall von B. Klar und F. Rustichelli [17] hingewiesen.Die Abbildung (23) zeigt die Evolution der Reflektionskurven in Bragg- und Lauegeometriebei konstanter Gesamtvariation c A = 10 für verschiedene Kristalldicken bzw. Gradienten.Die Reflektionskurven dicker Idealkristalle sind gestrichelt eingetragen. Die Kurven zuc = 10 / π erreichen noch nicht die Maximalreflektivität von 100 % und oszillieren außerdemmit großer Amplitude auf und ab. Erhöhen wir die Kristalldicke, so wächst auch die Reflektivität.Für den idealen Gradienten c i = 2 / π, wie er durch die Beziehungen (20) und (169) fürden Braggfall definiert wurde, wird bereits ein schönes Extinktionsplateau nahe der Maximalreflektivitätausgebildet, wobei bei weiterer Verdickung nur noch die Kanten desselbenausgeprägt werden. Bemerkenswert ist, daß auch im Lauefall das Reflektionsvermögen aufnahezu 100 % anwächst, obwohl beim Idealkristall nur die Hälfte erreicht wird. Dies kanndurch einen Verlust der Pendellösungseigenschaften erklärt werden, wobei sich die Gitterkonstantebeim Fortschreiten durch das Medium ändert und somit eine Rückreflektion desSekundärstrahls zugunsten des primären zwar noch lokal, jedoch nicht mehr global stattfindet.Die Halbwertsbreiten für stark extinktionsbedingte Reflektionskurven ergeben sich zuy BH= c A + 4 3für b < 0, A → ∞, c A = const. (176)im Braggfall undy LH= c A für b > 0, A → ∞, c A = const. (177)1.0Bragg c·A = 101.0Laue c·A = 10R B0.5R L0.50.0-20 -10 0 10y0.0-20 -10 0 10yAbbildung (23):Entwicklung der Reflektivitätskurven bei konstanter Gesamtvariation c A = 10 für A = π, 3 π,5 π und 10 π links im Braggfall sowie A = π und 10 π im Lauefall, rechts. Dickere Kristallezeigen höhere Intensitäten. Zum Vergleich sind die Reflektivitätskurven dicker Idealkristallepunktiert eingezeichnet.

48 ERGEBNISSE FÜR GRADIENTENKRISTALLEim Lauefall. Im ersten Fall bilden sich die Plateaukantenbei y = 1 und y = -c A – 1 aus, so daßsich zur Variationsbreite des Streuvektors nochdie natürliche Breite einer Darwinkurve hinzuaddiert.Damit können wir die integrierten ReflektivitätenR y dieser Grenzfälle abschätzen,die sich im Braggfall offensichtlich aus der Gesamtreflektivitätπ eines Idealkristalls und derVerbreiterung aufgrund des Gradienten zusammensetztyR Β = c A + π (178)für b < 0, A → ∞, c A = const. .int. Reflektivität R y105001020Kristalldicke ABraggLauec·A = 10Abbildung (24):Integrierte Reflektivitäten im Bragg- undLauefall bei festgehaltener Gesamtvariationc A = 10. Die kinematische Näherungist durch die unterbrochene Linie wiedergegeben.30Ersetzt man im Lauefall die schnell oszillierendeReflektionskurve durch einen über diese Oszillationengemittelte, so läßt sich am Graphen abschätzen,daß ihr Integral mit dem einerRechteckfunktion gleicher Breite identisch ist,alsoR L0.5 A = 0,20.0-30 -20 -10 0 10A = 11.0yR L = c A (179)für b > 0, A → ∞, c A = const. .Numerisch berechnete Gesamtreflektivitäten fürendliche Dicken sind in Abbildung (24) alsFunktion dieser wiedergegeben. Bei kleinenDicken gilt der punktiert eingezeichnete, kinematischeGrenzfallR y = π A für A → 0 , (180)doch weichen die tatsächlichen Werte mit wachsendemA bald von dieser Proportionalität abum im unendlichen ihre Sättigungswerte (178)und (179) zu erreichen.Im folgenden wollen wir die Dickenabhängigkeitbei konstantem Gradienten c betrachten. DieR LR LR L0.50.01.00.50.01.00.50.0-30 -20 -10 0 10A = 5-30 -20 -10 0 10A = 10-30 -20 -10 0 10Abbildung (25):Evolution der Reflektionskurven im Lauefallmit der Gesamtdicke bei kontstantemc = 2 / π, dem idealen Gradienten.y

ERGEBNISSE FÜR GRADIENTENKRISTALLE 49so berechneten Reflektionskurven ähneln für große Gradienten denen aus Abbildung (6) imKapitel über kinematische Gradientenstreuung, obwohl bei kleinen Gradienten, wie hier fürden idealen Gradienten in Abbildung (25) dargestellt, noch Extinktionseffekte hinzukommen.Während die Kurve für A = 0,2 im oberen Teilbild noch gut durch die Funktion (85) fürdünne Kristalle beschrieben werden kann, bildet sich bei A = 1 schon ein kleines, auf denGradienten zurückzuführendes Plateau aus, das bei weiterer Verdickung im dritten Teilbildbis zu seinem Plateauwert anwächst und schließlich, wie unten dargestellt, nur noch in dieBreite gehen kann. Im Braggfall ergibt sich qualitativ derselbe Sachverhalt. Die damitzusammenhängenden integrierten Reflektivitäten sind in den Bildern (26) für Laue- undBraggeometrie in Abhängigkeit der Gesamtdicke aufgetragen. Für kleine A oder c → ∞ giltwieder der kinematische Grenzfall, bei dem R y mit dem Kristallvolumen gemäß (180)ansteigt. Bei Dicken A > 1 macht sich analog zu den Idealkristallen (c = 0) primäre Extinktionbemerkbar, so daß die integrierten Reflektivitäten abknicken und nur noch aufgrund einerVerbreiterung, aber nicht mehr durch Erhöhung des in Sättigung gegangenen Maximumsweiterhin ansteigen. Der Anstieg der Kurven nach dem Einsatz dieser partiellen Extinktionergibt sich offensichtlich zu10Bragg10Lauec = ∞321c = ∞32188integrierte Reflektivität R y B640,50,1c = 0integrierte Reflektivität R y L640,5220,1c = 00024Kristalldicke A68100024Kristalldicke AAbbildung (26):Integrierte Reflektivitäten im Bragg- (links) und Lauefall in Abhängigkeitder Kristalldicke für verschiedene, feste Gradienten. c = 0 entspricht demIdealkristall und c = ∞ dem kinematischen Grenzfall.6810

50 ERGEBNISSE FÜR GRADIENTENKRISTALLE∂R y∂Α= π für c → ∞ (181)und∂R y∂Α= c für c → 0 . (182)Im Lauefall erkennt man schön die Pendellösungsozillationen,die sogar noch bei relativgroßen Gradienten vorhanden sind. Erst mit demVerschwinden der partiellen Extinktion gehenauch diese gegen null.R B1.21.00.80.60.4Der Vollständigkeit halber soll hier noch der allgemeineFall gleichzeitiger Gitterkonstanten- undy0.0-60 -40 -20 0 20Streulängenvariation angeführt werden, wie er Abbildung (27):Reflektionsprofile in Braggeometrie mitstrenggenommen auch beim System Si 1-x Ge x Gitterkonstanten- und Streulängengradientc und p = 2, mit c·A = 50 und A = 5auftritt. Zwei Beispiele mit p = 2, c·A = 50 undfür den unteren, nahezu kinematisch bestimmtenund A = 25 π für den oberen,A = 5 bzw. A = 25 π sind in Abbildung (27) fürden Braggfall wiedergegeben. Interessant erscheintdie, aufgrund der verschiedener StreuläntinktionsbestimmtenFall.zumindest rechts schon fast die Maximalreflektivitäterreichenden und damit exgendichteninnerhalb unterschiedlicher Tiefen imGradientenkristall hervorgerufene Neigung desPlateaus, solange die Sättigung noch nicht erreicht ist.0.2

VERGLEICH DER THEORIEN FÜR GRADIENTENKRISTALLE 514.3. Vergleich der Theorien fŸr GradientenkristalleIn den vorangegangenen Kapiteln wurden zwei Methoden zur Beschreibung der Reflektionseigenschaftenan Gradientenkristallen, eine analytische im kinematischen Grenzfall, dieandere mittels Transfermatrizen im Rahmen der dynamischen Beugungstheorie neu hergeleitet.Zunächst wollen wir an Beispielen zeigen, daß die von diesen Theorien vorausgesagtenReflektionskurven in ihrem Gültigkeitsbereich übereinstimmen, bevor wir die Ergebnisse derdynamischen Lösung mit denen der weit etablierten, analytischen Methode nach Taupinvergleichen [17, 18].4.3.1. Transfermatrizenergebnisse und kinematische BeugungDie kinematische Näherung, wie sie in Kapitel 4.1. aufgestellt wurde, besitzt bekanntlicheinen Gültigkeitsbereich für solche Kristalle, deren Dicken wesentlich dünner als die Pendellösungsperiodesind. Dann kann die Abschwächung des Primärstrahls durch Reflektionzugunsten des Sekundärstrahls beim Fortschreiten durch das Medium vernachlässigt werden,so daß der Superpositionsansatz an verschiedenen Gitterebenen gestreuter Wellen gleicherAmplituden gerechtfertigt ist.Bei der Betrachtung von Gradientenkristallenkönnen auch dickeProben in der kinematischen0.50.4c = 100.3Theorie beschrieben werden, solangeder Gradient groß und die0.2c = 200.1damit verbundene effektivec = 100Dicke, inmitten derer die Braggbedingung0.0innerhalb ihrer natürli--120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20ychen Breite erfüllt wird, klein ist. Abbildung (28):Vergleich der berechneten Reflektionskurven für dickeDerartige Ergebnisse fürKristalle nach der kinematischen und der dynamischenc·A = 100 sind in Abbildung (28) Methode für c·A = 100 und die angegebenen Gradienten.graphisch dargestellt. Für c = 10Bei kleinen Gradienten tritt partielle Extinktion ein, weshalbdie kinematische Theorie erhöhte Werte liefert.liefert die kinematische Theoriebeträchtlich höhere Reflektivitäten als die Transfermatrizenmethode. Dies beruht ausschließlichauf dem Effekt der partiellen Extinktion, wie sie weiter oben behandelt wurde. Bei c = 20ist immer noch ein Unterschied zu erkennen, während für c = 100 die beiden Kurven bereits,zumindest auf dieser Skala, völlig übereinanderfallen. Bemerkenswert ist, daß unabhängigvon diesem Extinktionseffekt, die schnellen Oszillationen an den richtigen Stellen auftretenR B

52 TRANSFERMATRIZENERGEBNISSE UND KINEMATISCHE BEUGUNGund somit, wie in Kapitel 4.1. diskutiert, in ihrerPeriodizität nur vom Gradienten und der Kristalldickeabhängen.Etwas analytischere Kriterien zum Unterschiedder beiden Rechenmethoden erhält man, wenn,wie in Abbildung (29) reziprok dargestellt, dielokal über die schnellen Oszillationen gemitteltenPlateauwerte R P als Funktion des Gradientenbetrachtet werden. Aus Kapitel 4.1. kennenwir das Verhalten (47)R P k = π c(183)1 / R P54321005Abbildung (29):Reziproke Auftragung der PlateaumittelwerteR P in Abhängigkeit des Gradienten c.Die untere Kurve entspricht der kinematischenNäherung, während die obere dynamischberechnet wurde und den Extinktionseffektbei kleinen c mitberücksichtigt.für den kinematischen Fall. Wir erinnern uns,daß die Plateaureflektivität für halbunendliche Kristalle hergeleitet wurde. Dabei steigt fürc → 0 das Kristallvolumen, innerhalb dessen die Braggbedingung für einen festenWellenvektor erfüllt ist, gegen unendlich. Proportional mit diesem Volumen steigt auch dieReflektivität, und wir befinden uns in dem Bereich, in dem die kinematische Theorie versagt.Die Kurve für die dynamische Lösung wurde numerisch erstellt, geht für c → 0 in Sättigung,also gegen 1 und folgt für große Gradienten der Hyperbel mit dem angepaßten Parameter mc1015R P d =πc + m; m = 1,69 . (184)Daraus ergibt sich eine Fehlerabschätzung der Ordnung 1 / c beim Gebrauch der kinematischenStreutheorie an dicken Kristallen.

TRANSFERMATRIZEN UND TAKAGI-TAUPIN 534.3.2. Transfermatrizen und Takagi-TaupinWährend der sechziger Jahre wurde von den Autoren Satio Takagi [19] und Daniel Taupin[18] unabhängigerweise ein Formalismus zur Beschreibung leicht gestörter Kristalle imRahmen der dynamischen Streutheorie hergeleitet, deren grundlegende Differentialgleichungendie nach ihnen benannten Takagi-Taupin-Gleichungen darstellen. Im vorliegenden Kapitelsoll die Übereinkunft der daraus hervorgehenden Lösungen für absorptionsfreie, lineareGradientenkristalle mit denen unserer Transfermatrizenmethode, und damit noch einmal dieRichtigkeit letzterer an Beispielen demonstriert werden.Die Anpassung der von Taupin geforderten, absorptionsbedingten Randbedingungen an denabsorptionsschwachen Fall der Neutronenstreuung wurde in einem Artikel von B. Klar undF. Rustichelli durchgeführt [17]. Darin werden jedoch noch die von Taupin eingeführte bzw.auf Zachariasen [14] zurückgehende Notation der Elektrodynamik mit ihren Vektorfeldgleichungenverwendet und erst zum Schluß die entsprechenden Größen für Neutronen eingesetzt,während wir uns hier zwar sehr stark an diesen Artikel lehnen, aber dennoch die durchRauch und Petrascheck [12, 13] eingeführten Formelzeichen der vorliegenden Arbeit verwenden.Taupin geht von einer Darstellung der Wellenfunktionψ r = u r exp i Φ r (185)mit Amplitude u r und Phase Φ r aus, die im Vakuum durch die reellen Größenu r = const.und (186)Φ r = k rgegeben sind. Innerhalb des Kristallmediums wird angenommen, daß die Welle mit der selbenPhase Φ r fortschreitet, so daß u r die Störungen durch das Kristallpotential enthalten muß,und dadurch im allgemeinen komplex wird. Dem entspricht im Idealkristall der Blochwellenansatz.Nun entwickelt manu r =∑Gu G r exp i Φ G r(187)in eine Fourierreihe mit den PhasenΦ G r = Φr + 2 π n G r . (188)

54 TRANSFERMATRIZEN UND TAKAGI-TAUPINDas Indexfeld n G r ist ein Skalarfeldund beschreibt die Lage derGitterebenen. Dabei werden letztereder Reihe nach durchnumeriert.n G r steigt zwischen benachbartenEbenen um 1 an und ist an denOrtskoordinaten jeder Ebene ganzzahlig.Z. B. wächst bei einem ungestörtenKristallgitter n G r linear inRichtung des Normalenvektors zuden Ebenen. Abbildung (30) verdeutlichtdiesen Sachverhalt füreinen Gradientenkristall.Numerierung nG r654321r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6Lage r der GitterebenenAbbildung (30):Das von Taupin eingeführte Indexfeld n G r ändert sichörtlich so, daß es an den Gitterebenen ganzzahlig istund von Ebene zu Ebene anwächst.Entwickelt man das KristallpotentialV r =∑GVG exp i 2 π n G r(189)mit den ungestörten Fourierkomponenten (57) nach dieser Periodizität, setzt es zusammen mitder Wellenfunktion (185) in die Schrödingergleichung (53) ein, so erhält man das Takagi-Taupin-Grundgleichungssystemund-i 2 k-i 2 k∂u G∂x G= V 0E u G + V G E u 0 – α u G + ik 2 u G ∆Φ G (190)∂u 0∂x 0= V 0E u 0 + V G E u G + ik 2 u 0 ∆Φ 0 (191)worin x 0 und x G die Koordinaten von r in dem aus vorwärtsgebeugter Richtung S 0 und abgebeugterRichtung S G aufgespannten, schiefwinkligen Koordinatensystem darstellen:r = x 0 S 0 + x G S G (192)Die Abweichung α von der geometrischen Braggposition ist wie gehabt durch (68) definiert.In der Arbeit von Taupin wurde gezeigt, daß die Ausdrücke mit den Laplaceoperatoren in(190) und (191) bei kleinen Gittervariationen gegen den Rest vernachlässigbar sind. DasDifferentialgleichungssystem läßt sich, hier für den absorptionsfreien Fall, mit A (65), y (66),b (67), X (63) und

TRANSFERMATRIZEN UND TAKAGI-TAUPIN 55X A = 1 bu Gu0= 1 b X A (193)in-i ∂X∂A = X2 – 2 X y + 1 (194)umwandeln, wobei sowohl X als auch y von A abhängen. Für einen linearen Gittergradientensetzen wir gemäß (166)y = y 0 + c A (195)und erhalten den für uns endgültigen Ausdruck-i ∂X∂A = X2 – 2 X y 0 + c A + 1 . (196)Mit der Randbedingung im BraggfallX A max = 0 (197)wird X eindeutig bestimmt, so daß man mitR B y 0 = X 0 2 (198)die Reflektivität des abgebeugten Strahls berechnen kann. Die Integration erfolgt numerischund punktweise für jedes y 0 der Reflektionskurve.Wie wir im oberen Teil der Abbildung (31) sehen, stimmen die aufgeführten Beispiele für dieBerechnung mittels Taupin oder Transfermatrizen für große und für kleine Gradienten genauüberein. Die Absolutbeträge der Differenzen beider Ergebnisse sind im unteren Teil wiedergegeben.Für kleine Gradienten sind vor allem Abweichungen in den Flanken, bei großen cim Plateaubereich festzustellen. Bemerkenswert ist die Asymmetrie des Fehlers beim kleinenGradienten, der wohl auf numerische Probleme zurückzuführen ist.

56 TRANSFERMATRIZEN UND TAKAGI-TAUPIN1.0c = 2 / πR B0.5c = 20 / πRB Matrix – R BTaupin [10-3 ]0.0151050-30 -20 -10 0 10c = 2 / πc = 20 / π-30 -20 -10 0 10yAbbildung (31):Zum Vergleich übereinandergezeichnete Reflektionskurven im oberenTeilbild, die einmal nach der Taupin- und zum anderen nach derTransfermatrizenmethode berechnet wurden. Da auf dieser Skala keinUnterschied festzustellen ist, wurden im unteren Teilbild deren Differenzendem Betrag nach wiedergegeben, und zwar nach oben fürkleine, nach unten für große Gradienten. Die Asymmetrie für den kleinenGradienten kann durch numerische Rechenfehler gedeutetwerden.

DIE KRISTALLZUCHT 575. Die KristallzuchtDie Idee eines Gradientenmonochromators auf der Basis von Si 1-x Ge x Legierungsvariationengeht mit der Anmeldung eines Patents durch Maier-Leibnitz und Rustichelli [10] bis ins Endeder sechziger Jahre zurück. Sie beruht auf der gleichbleibenden Gitterstruktur sowie der vollständigenMischbarkeit der beiden neutronenfreundlichen Elemente. Nicht zuletzt baut manauch auf einen, aus der Halbleiterindustrie entstandenen, außerordentlich umfangreichenErfahrungsbereich.5.1. Das MaterialsystemSilizium und Germanium kristallisierenbeide in der Diamantstruktur. Um Gradientenkristallezu erhalten, werden bei derLegierung ausgehend von Silizium statistischmehr und mehr Siliziumatomedurch Germaniumatome ersetzt. Nach demVegard’schen Gesetz erwartet man einenlinearen Anstieg der Gitterkonstanten a mitder Germaniumkonzentration x. Dies ist inAbbildung (32) durch die strichpunktierteLinie wiedergegeben. Strenggenommenweicht dieser Zusammenhang jedoch vonder Linearität ab. Meßwerte dazu sind indem Artikel von Dismukes [20] oder inTabellenwerken [21] zusammengestellt.Die durchgezogene Linie zeigt eine quadratischeAusgleichsrechnung zu diesenWerten und ist durch das PolynomGitteraufweitung ∆a/a [%]4321002040Germaniumkonzentration x [%]60801000.00-0.05-0.10-0.15Abweichung von Vegard [%]Abbildung (32):Gitteraufweitung einer Si 1-x Ge x Legierung inBezug auf reines Silizium: Vegard’sches Gesetz(strichpunktiert), tatsächlich beobachtbare(durchgezogen) und deren Differenz (punktiert)[20, 21]. Die tatsächliche Gitterkonstante liegtimmer etwas unterhalb der durch das Vegard’-sche Gesetz idealisierten. Die Gesamtaufweitungbeträgt 4,18 %.∆aa = 0,03552 x + 0,006258 x2 (199)bestimmt. Die Abweichung zum Vegard’schen Gesetz ist durch die punktierte Linie mit derrechten Skala wiedergegeben.Das zugehörige Phasendiagramm für den Übergang zwischen Festkörper und Flüssigkeit istin Abbildung (33) wiedergegeben. Alle Versuche, die oben genannten Kristalle aus derSchmelze zu ziehen waren bislang erfolglos. Dies kann wohl damit begründet werden, daß

58 DAS MATERIALSYSTEMeinerseits die Erstarrungslinie im Phasendiagramm sehr weit von der Schmelzlinie entfernt istund die von diesen beiden Linien aufgespannte Linse sehr flach liegt, so daß die Konzentrationenbei vorgegebener Temperatur in Festkörper und Schmelze sehr unterschiedlich sind.Um eine vorgegebene Festkörperkonzentration zu erhalten muß diesem bei der Erstarrung einerheblicher Materialtransport nahe der Grenzfläche entgegenwirken. Man kann sich vorstellen,daß bei deren Variation, wie sie bei einem Gradientenkristall stufenlos auftreten soll, dasSystem sehr leicht unkontrollierbar wird. Andererseits ist das Kristallgitter des Silizium naheder Schmelztemperatur so weich, daß die, wie hier vom Germanium dargestellt, durch eingelagerteFremdatome auftretenden Spannungen nicht mehr vom Gitter aufgenommen werden,sondern relaxieren. In diesem Fall entstehen leicht Instabilitäten, die zu polykristallinemWachstum führt.In den letzten Jahren haben sich weitere1700Kristallzuchtmethoden, die Epitaxien 1600 flüssigentwickelt und bedeutende Stellungen, 1500insbesonders bei der Herstellung dünner1400Schichten, eingenommen. Bei der chemischenGasphasenepitaxie (CVD), die sich1300fest1200durch große Wachstumsgeschwindigkeitenauszeichnet, werden TrägermoleküleGe-Konzentration x0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0nahe an einem Substrat aufgespalten und Abbildung (33):Phasendiagramm des Systems Si 1-x Ge x zwischendann auf diesem, je nach Prozeßbedingungenkristallin, abgelagert. Das Kri-Schmelze und Festkörper [21].stallwachstum geschieht hier weit unterhalb des Schmelzpunktes, wo das Siliziumgittermechanische Spannungen aufnehmen kann und somit der bei der Zucht aus der Schmelzeauftretende Störprozeß entfällt. Außerdem kann die gewünschte Festkörperzusammensetzungin sehr einfacher Weise durch die Mischungsverhältnisse der Trägergase gesteuert und imLaufe des Wachstums beliebig variiert werden. Diese Methode wurde von Magerl und Holmzunächst im Rahmen eines abgeschlossenen Systems, jedoch für eine feste Legierungszusammensetzung[22] erfolgreich auf das System Si 1-x Ge x angewendet. Um nun auch Konzentrationsgradientenzu verwirklichen, schlugen Magerl et al. eine CVD-Herstellungsmethodeauf Silan- und Germanbasis (SiH 4 bzw. GeH 4 ) vor und führten 1990 eine der vorliegendenArbeit zugrundeliegenden Machbarkeitsstudie mit Erfolg durch [23, 24]. Da für die Anwendungder Gradientenkristalle in der Neutronenstreuung erhebliche Dicken benötigt werden,arbeiten die Autoren mittels kleinflächigen Substraten in einem induktionsgeheizten, röhrenförmigenOfen hauptsächlich auf die Wachstumsgeschwindigkeit hin. Es wurden Wachstumsgeschwindigkeitenvon bis zu 0,7 µm/min erreicht, die, wie die Schichtdicken auch,gegenüber herkömmlichen CVD-Methoden um einen Faktor 100 bis 1000 mal größer sind.Temperatur T [K]

DAS MATERIALSYSTEM 59Damit wurde es erstmals möglich, auf diese Art und Weise millimeterdicke Kristalle innerhalbvon vernünftigen Zeiträumen, nämlich einigen Tagen herzustellen.Die Aufgabe in diesem Teil der vorliegenden Arbeit bestand darin, einen neuen Reaktionsofenfür großflächige Substrate mit Durchmessern von 10 cm zu bauen und die Kristalle fürdie anschließenden Experimente zu ziehen. Die Hauptschwierigkeiten bestanden vor allem inder Entwicklung eines geeigneten Heizelements sowie in der Führung der Gase, um einhomogenes, kristallines Wachstum über den benötigten Zeitraum zu gewährleisten.5.2. Die KristallzuchtanlageDie Anlage zur Gasphasenabscheidung besteht im wesentlichen aus dem Gassystem undeinem Zuchtofen, der sich wiederum in ein Gasströmungssystem und ein Heizelement iminneren eines Vakuumtopfes unterteilen läßt. Eine Übersicht ist in Abbildung (34) dargestellt.Im folgenden sollen diese Komponenten beschrieben werden.Abbildung (34):Die Versuchsanlage zur Kristallzucht. Im linken Teil der kesselförmige Reaktionsofenmit den Schläuchen für die Wasserkühlung. Rechts im Bild das Gaszuführsystemmit den preßluftgesteuerten Ventilen und den Massenflußreglern. ImBildzentum sehen wir die trichterförmige Mischkammer, ganz links unten denVakuumschlauch zu den Pumpen.

60 DAS GASSYSTEM5.2.1. Das GassystemIm Zuchtofen werden wohldefinierte Bedingungen der Gase erwartet, die vom Gassystemkontrolliert und geregelt werden. Prinzipiell kann man hier wieder zwischen den beidenKomponenten vor und hinter dem Zuchtofen, dem Gaszuführ- und dem Gasabführsystemunterscheiden. Das erste übernimmt die Regelung von Zusammensetzung und Durchfluß,während das zweite den Druck steuert.5.2.1.1 Das GaszufŸhrsystemGas (n-1)Das Gaszuführsystem besteht aus vierverschiedenen, je wie in AbbildungMGas (n)Pn Gaszum Reaktorv n(35) skizzierten Linien für jedes derGas (n+1)in Tabelle (4) aufgelisteten Reaktionsgase.Als Quelle dienen handels-ArPn Arübliche Druckflaschen. Nach je einem Abbildung (35):Druckminderer auf einige Bar werdenEine Linie im Gassystem mit Einrichtung zum Argonspülen.Gas (n), Ar: Flaschen der entsprechendendie Gase zu je einem elektronisch Gase; P n : Druckminderer, V n : Massenflußregler; M:einstellbaren Massenflußregler geleitet.Mit diesem läßt sich der Mischungsanteil des Reaktionsgases einstellen und konstantMischkammer mit weiteren Gaslinien.halten bzw. gezielt zeitlich verändern. Nach einer Mischkammer, die die Gase vermengt,werden sie dem Zuchtofen zugeleitet. Jede Leitung, mit Ausnahme der von H 2 kann ausSicherheits- und Sauberkeitsgründen mit Argon geflutet werden. Dafür muß manuell je einSystem von Hähnen geöffnet bzw. geschlossen werden.Ein wesentlicher Teil des Gaszuführsystems sind die elektronisch gesteuerten Massenflußregler,die den Durchfluß und damit das genaue Mischungsverhältnis im Reaktionsofen bestimmen.Eine schematische Darstellung ihres Aufbaus ist in Abbildung (36) wiedergegeben. DerGas chemische Formel Mischung MaximalflußSilan SiH 4 1% – 3 % in Ar 2 l / minGerman GeH 4 1% in Ar 0,1 oder 2 l / minWasserstoff H 2 100 % 2 l / minChlorwasserstoff HCl 1% in H 2 1 l / minArgon Ar 100%, 3 FlaschenTabelle (4):Verfügbarkeit der Gase in unserer Epitaxieanlage.

DAS GASZUFÜHRSYSTEM 61zentrale Teil besteht aus einer Strömungsvorrichtung,die so gestaltet ist,Elektronikdaß die Gase sie laminar durchfließen.Ein kleiner Teil der GaseT 1 H T 2Vwird, ebenfalls laminar, durch eineSensorkanüle geleitet. Wegen derLaminarität besteht eine Proportionalitätder Ströme durch beide Schematische Darstellung eines Massenflußreglers.Abbildung (36):Kanäle, so daß es genügt, den Sensorflußzu messen um den Gesamtfluß durch ein Ventil zu regeln. Die Signalaufnahme bestehtaus zwei Temperaturmessungen T 1 und T 2 an der Kanüle, zwischen denen ein Heizelement Hgeschaltet ist. Wird durch H pro Zeiteinheit eine Wärmemenge ∆Q zugeführt, die einenTemperaturunterschied ∆T verursacht, so erhält man mittels der molaren Wärmekapazität C Mden molaren FlußΦ M = 1C M∆Q∆T . (200)Diese Meßgröße wird durch eine Elektronik mit derSollgröße verglichen, die dann das Steuerventil Vund somit den Gasfluß regelt.Normalerweise werden die Massenflußregler von derHerstellerfirma auf eine bestimmte Gaszusammensetzunggeeicht. Dennoch kann es vorkommen, daß verschiedeneGase dieselbe Leitung benutzen, wofür einKonversationsfaktorGaseigenschaftenNeinatomig (Ar, He) 1,03zweiatomig (N 2 , O 2 , CO) 1,00dreiatomig (CO 2 , SO 2 ) 0,94mehratomig (NH 3 , CH 4 ) 0,88Tabelle (5):Gasformfaktoren N für verschiedenartigeGase.γ = Φ M 2= C M 11Φ MC = C M,02 2M1C M,0N 2N 1 (201)aus den Flußverhältnissen bei gleichbleibenden ∆Q und ∆T berücksichtigt werden muß. DieMolekülformfaktoren N 1 und N 2 berücksichtigen die Änderung der bei 20 ˚C tabelliertenmolaren Wärmekapazität zur Arbeitstemperatur T A von etwa 50 ˚C:C M T A = C M,0 T = 20 ˚C 1 N . (202)Die gebrauchten Größen werden von der Herstellerfirma im Datenblatt mitgeliefert und sindfür die bei uns benötigten Gase in den Tabellen (5) und (6) aufgeführt. Dabei wird häufig

62 DAS GASZUFÜHRSYSTEMschon ein Konversationsfaktor γ angegeben, der durch (201) mit Stickstoff als Vergleichsgas1 hervorgeht.Wird ein Gemisch aus n Gasen verwendet, so addieren sich die Konversationsfaktoren, mitihren Volumenanteilen V n gewichtet, reziprok:1γ=n∑ν = 1V νγ ν. (203)GaschemischeFormelM[g / mol]ρ[g / l]c M[J K / mol]Silan SiH 4 32,118 1,438 42,870 0,88 0,596German GeH 4 76,622 3,423 44,271 0,88 0,580Wasserstoff H 2 2,016 0,090 28,698 1,00 1,016Chlorwasserstoff HCl 36,461 1,635 29,569 1,00 0,981Argon Ar 39,948 1,784 20,840 1,04 1,453Stickstoff N 2 28,014 1,250 29,135 1,00 1,000Tabelle (6):Materialkonstanten der verwendeten Gase: Molmasse M, Dichte ρ, molareWärmekapazität c M , Molekülformfaktor N und Konversationsfaktor γ zum Umeichender Massenflußregler in Bezug auf Stickstoff.Nγ5.2.1.2. Das GasabfŸhrsystemWährend das Gaszuführsystem dem Zuchtofen die Flüsse und Mischungsverhältnisse zurVerfügung stellt, regelt das Gasabführsystem seinen Druck. Es besteht im wesentlichen auseinem Rootspumpensystem, einem Druckmesser am Ofenausgang sowie einem Regelventil.Die einzelnen Komponenten sind durch Vakuumschläuche großen Durchmessers miteinanderverbunden. Abgase werden durch ein Kupferrohr aus dem Gebäude geleitet, an dessen Endesich auch schon mal durch die Silanreaktion mit dem Luftsauerstoff eine Flamme entzündenkann.Eine Elektronik sorgt wieder für den Vergleich des Druckes mit dem Sollwert um das Ventilzu regeln. Damit ist ein Druckbereich zwischen 0,1 und 10 Torr einstellbar, dessen untereGrenze jedoch sehr von dem durchströmenden Gasfluß abhängt und üblicherweise dann bei 1bis 2 Torr liegt.

DER REAKTIONSOFEN 635.2.2. Der ReaktionsofenIm Gegensatz zu den Vorarbeiten sollte ein neuer Ofen so konzipiert werden, daß Si 1-x Ge xKristalle mit bis zu 10 cm Substratdurchmesser gezogen werden können. Dazu muß eine handelsüblicheSiliziumscheibe auf eine Temperatur zwischen 1100 K und 1500 K geheizt werden,während das Reaktionsgemisch über ihre Oberfläche strömt. Da sich die Trägergase anallen heißen Oberflächen zersetzen, müssen, um einen ungewollten Niederschlag zu vermeiden,sowohl die Ofenwände als auch eventuelle elektrische Zuleitungen gekühlt werden.5.2.2.1. Versuche mit einem Halogenlampenofen1400HalogenlampenZunächst verwendeten wir einen von derFirma JIPELEC ® neu entwickelten, srahlengeheiztenOfen, dessen Reaktionskam-Gaseinla§Quarzglaszur PumpeSubstratmer in Abbildung (37) schematisch dargestelltist. Das Substrat liegt auf drei StützenINOX-GehŠuseAbbildung (37):im unteren Teil des wenige Zentimeter hohenRaumes. Seitlich sind oben Gaseinlaß-heraus, daß eine interne Heizung notwendigLampengeheizter Ofen. Es stellte sich sehr baldwird.düsen und unten ein ringförmiger Gasauslaßvorgesehen. Der Deckel der Kammer besteht aus einer doppelten Quarzglasscheibe, durchderen Zwischenraum, ebenso wie durch Kanäle in den Wänden, Kühlflüssigkeit strömt.Geheizt wird durch ein Feld von Halogenlampen, das sich über dem Fenster befindet unddessen thermische Strahlung dieses durchdringt um vom Substrat mit heizender Wirkungabsorbiert zu werden. Die Temperatur kann durch ein Thermoelement oder ein Pyrometergemessen und geregelt werden.Wie schon erwähnt sind die mit diesemOfen durchgeführten Experimente vongroßen Schwierigkeiten begleitet: Zunächstkonnten nur relativ tiefe Prozeßtemperaturenvon maximal 900 °C erreicht werden,da sonst die Lampen überlastet wurden unddurchgebrannt sind. Eine erfolgversprechendeIdee war, das im infraroten absorbierendeKühlwasser zwischen den beidenScheiben des Quarzfensters durch eine wenigerabsorbierende Flüssigkeit zu ersetzen.Die Herstellerfirma des Ofens entwickelteTemperatur [K]13001200110010009004060WasserÖl80 100 120 140 160Lampenspannung [V]180Abbildung (38):Verbesserung der Heizwirkung durch Wechselnder Kühlflüssigkeit zwischen den Quarzscheibendes Eintrittsfensters. Vierecke: H 2 O,Kreise: VOLTALEF ® - Öl. Das Öl absorbiertweniger im Infraroten, so daß die Prozeßtemperaturenbei gleicher Lampenleistung um etwa300 K höher liegen.

64 VERSUCHE MIT EINEM HALOGENLAMPENOFENeinen Kreislauf mit Wärmeaustauscher. Dieser wurde installiert und mit VOLTALEF ® , einemÖl gefüllt. Wie die in Abbildung (38) wiedergegebenen Messungen zeigen, werden somit beigleicher Lampenleistung bis um 300 K höhere Temperaturen erreicht.Ein wesentlicheres Problem wird durch einen, auf dem Quarzfenster fest haftenden Silizium-Germaniumniederschlag hervorgerufen, der sich ab 1100 K bildet und den Eintritt der thermischenStrahlung in den Reaktionsofen schwächt und schließlich verhindert. Folglich muß dieLampenleistung ständig erhöht werden, um die Probe auf konstanter Temperatur zu halten.Das System erreicht ziemlich schnell seine technischen Grenzen, was Langzeitversuche, wiesie für uns interessant sind, unmöglich macht.Der Mechanismus des Niederschlags ist folgender: Silan- und Germanmoleküle werdenvorwiegend an heißen Oberflächen aufgespalten, wobei sich das frei werdende Silizium(Germanium) auf diesen abscheidet. Ein Teil des Spektrums der von den Halogenlampenausgehenden thermischen Strahlung wird bereits im Quarzglas der Glühbirne absorbiert. Dasdurchgelassene Spektrum passiert die Quarzfenster des Reaktionsofens ohne wesentlicheAbsorption und heizt das Substrat. Dieses wiederum strahlt das gesamte Planck'sche Spektrumab, also auch die Wellenlängen, die vom Quarzglas des Fensters bereits absorbiertwerden, und dieses somit von innen heizen.

DER NEUE OFEN 655.2.2.2. Der neue OfenWie wir sehr bald gelernt haben, ist die zuvor beschriebene Art von Reaktionsofen für unsereZwecke ungeeignet. Sie war wohl mit Erfolg für dünne, epitaktische Schichten bei niedrigenZersetzungstemperaturen und schnellen Aufheizbedingungen konzipiert, wohingegen wir inunserer Anlage dicke Schichten durch hohe Wachstumsraten erzielen wollen und somit hoheTemperaturen bei hohen Gasflüssen über lange Zuchtzeiten beanspruchen. Daher konzentriertenwir uns auf ein internes Heizelement und gaben einen wassergekühlten Kessel in Auftrag,wie er in Abbildung (39) dargestellt ist. Innerhalb diesem konnten verschiedene Typen vonHeizelementen und Gasführungssystemen ausprobiert werden.Im wesentlichen besteht der aus Edelstahl gefertigte Ofen aus einem runden, wassergekühltenKessel, der nach oben hin durch einen ebenfalls gekühlten Deckel abgeschlossen wird.Durchmesser und Höhe betragen rund 30 cm. Die Reaktionsgase werden durch ein Röhrchenin der Deckelmitte eingeleitet und am Boden abgepumpt.Im Inneren des Kessels befindet sich, wie in Abbildung (40) dargestellt, eine waagerechteQuarzglasscheibe mit einem Durchmesser von 15 cm, auf die das Siliziumsubstrat gelegtSiH 4 GeH 4GaseinlaßVakuumkammerGasführungssystemSubstratQuarztischKeramikwolleHeizelementThermoelementzu den PumpenWasserkühlungelektrische AnschlüsseAbbildung (39):Schematische Darstellung des für die Gasphasenepitaxie entwickeltenZuchtofens.

66 DER NEUE OFENAbbildung (40):Blick in den Reaktionsofen bei heruntergenommenem Deckel undGasführungssystem. Die dunkle Scheibe im Zentrum ist dasSiliziumsubstrat auf der Quarzplatte.wird. Sie wird von unten durch ein schlangenförmig gestaltetes Graphitband geheizt. Umeinen ungewollten Niederschlag zu vermeiden, liegt das Heizelement in einer Vertiefung ausgepreßter Aluminiumoxidkeramikwolle, die nach oben hin direkt durch die Quarzplatte abgedecktwird. Die Stromzufuhr wird durch, von innen bis unter die Keramik wassergekühlteLeitungen gewährleistet. Die Isolation zu den Gasströmungen muß mit besonderer Sorgfaltvorgenommen werden, da einerseits das Graphitband durch ein ungewolltes Depot sehrspröde wird und andererseits Silizium bei den Prozeßtemperaturen metallisch leitend wird undsomit Kurzschlüsse verursacht.Die Temperatur wird durch ein Thermoelement unter der Quarzglasscheibe bestimmt undgeregelt. Zur Versorgung des Heizelements steht ein mit einem Temperaturregelkreis versehenesNetzteil von 75 A und 110 V zur Verfügung.5.2.2.2.1. Das HeizelementDie relativ hohe Prozeßtemperatur in der Silanatmosphäre fordert besondere Ansprüche andas Heizelement, zumal sich, wie erwähnt, bei ungenügender Isolation millimeterdicke Siliziumniederschlägebilden können, die schon bei einem Bruchteil dieser Stärke zu elektrischenKurzschlüssen führen können. Da seine Lebensdauer daher nicht abschätzbar war, wurde vonvornherein ausgeschlossen, teure, industrielle Heizelemente für Epitaxieanlagen anzuschaf-

DAS HEIZELEMENT 67fen. Vielmehr sollte es kostengünstig und leicht herstellbarund damit ersetzbar werden. Um den Abmessungendes Substrats und der Ofengeometrie zuentsprechen, sollte es flach sein und eine möglichsthomogene, runde Heizfläche bilden. Außerdem darfes nicht allzusehr mit der Atmosphäre reagieren. Diemeisten Metalle bilden mit Silan spröde, nichtleitendeSilizide, die dann ein mechanisches und elektrischesProblem hervorrufen. Daher wählten wireine kartonartige, 0,5 mm dicke Graphitfolie alsWiderstandsmaterial, die auch den Vorteil seinerleichten Bearbeitung mit dem Skalpell sowie seinemechanische Flexibilität in sich birgt.Der spezifische Widerstand (Abbildung (41)) diesesMaterials ist bei Raumtemperatur ρ 0 = 10 µΩ m undsinkt bis etwa 1200 K auf die Hälfte ab, um dann beiweiterer Temperaturerhöhung ziemlich konstant zubleiben. Der Widerstand des Resistors mit der Längeund des Querschnitts A ergibt sich somit ausAbbildung (42):Gestaltung des Heizelements. Der innereKreis gibt die Substratlage (Ø10 cm), der äußere die der Quarzträgerscheibewieder.R = ρ A. (204)Drücken wir A = b d durch Foliendicke d und Breite b der Leiterbahn aus und setzenb = π D24(205)der gesamten Heizfläche mit Durchmesser D, lösen (205) nach b auf, so erhalten wir für dieLeiterbahnbreiteb = D 2π ρR d . (206)Das verwendete Netzteil hat mit den NennwertenU = 110 V und I = 75 A einen inneren Widerstand von ca.R i = 1,5 Ω. Da sich sein spezifischer Widerstand bei derProzeßtemperatur halbiert, sollte das Heizelement im Kaltenfür R = 3 Ω ausgelegt werden. Mit d = 0,05 cm,D = 15,2 cm resultiert eine Bahnbreite von 1,1 cm. Einderartiges Element wurde gemäß der Gestaltung in Abbil-ρ [µΩ m]1050500100015002000Temperatur [K]Abbildung (41):Spezifischer Widerstand für dieverwendete Graphitfolie.

68 DAS HEIZELEMENTdung (42) aus der Graphitfolie ausgeschnitten und installiert.Die beiden Kreise zeigen einmal den Durchmesserdes Quarztisches sowie den des Siliziumsubstrats.Im folgenden wurden Heizelemente verschiedenen Widerstandshergestellt und zur Optimierung ausprobiert.Abbildung (43) zeigt das Verhalten der am Heizelementabgegriffenen Spannung gegen einen, am Regelkreis einstellbarenParameter, der zwar ein Maß für die Leistungist, jedoch aufgrund der Wechselstromzerhackung nichtlinear von ihr abhängt. Wichtig in der Meßkurve ist nurdas Abknicken, hier bei etwa 60 %, bei der eine, dem Widerstandentsprechende Maximalspannung erreicht wird.An diesem Knickpunkt stößt das Netzteil an seine Stromgrenzevon 75 A, so daß der Sollwert nicht mehr erreichtwerden kann. Der Widerstand ist also schlecht an den Innenwiderstandangepaßt.Spannung [V]5040302010002040R = 1 Ω6080„Leistung” [%]100Abbildung (43):Spannungskennlinie gegen einenRegelparameter des Netzteilesder ein Maß für die Leistung ist.Wichtig ist der Knick, bei der dasNetzteil an seine Grenzen stößtund trotz höherer Sollwerte dieSpannung am Heizwiderstand inSättigung geht. Diese Maximalspannunghängt vom Heizwiderstandab und ist optimiert, wenndieser mit dem Innenwiderstanddes Netzteils identisch ist.Die so erhaltenen Spannungsmaximalwerte sind für verschiedeneResistorwiderstände in Abbildung (44) angegeben.Solange man an die Strombegrenzung stößt, steigtsie linear mit dem Widerstand bis zu dem Punkt, an demInnen- und Heizwiderstand gleich sind, an. Eine weitereErhöhung des Widerstandes verursacht keinen Spannungsanstiegmehr, da die vom Netzteil lieferbare Maximalspannungbereits erreicht wurde.Spannung [V]12010080604020001Widerstand [Ω]5.2.2.2.2. Das GasfŸhrungssystemAbbildung (44):Vom Netzteil gelieferte Maximalspannungals Funktion desHeizwiderstands im kalten Zustand.Links der Abknickstelle istNeben einem homogen geheizten Substrat spielen auch das System strombegrenzt, rechtsvon ihr spannungsbegrenzt. Derdie Gasströmungs- und Druckverhältnisse im Kessel eine optimale Widerstand liegt zwischenwesentliche Rolle. Inhomogene Strömungen können2,5 und 3 Ω.einerseits aufgrund des hohen Flusses das Substrat inhomogenkühlen und andererseits verschiedene Materialtransporte bewirken, die dann lokal inSättigung gehen. Beide Mechanismen können das Wachstum derart beeinträchtigen, daß teilseinkristalline, teils polykristalline Wachstumsbedingungen vorliegen.Läßt man die Gase aus dem Einlaßröhrchen (siehe Abbildung (39)) direkt auf die Probe treffen,so entwickelt sich am Auftreffpunkt des Primärstrahls ein polykristalliner Fleck, während23

DAS GASFÜHRUNGSSYSTEM 69sich auf dem Rest des Substrats sehr geringe, aber einkristalline Niederschläge bilden. Eswurden verschiedene Geometrien und duschkopfähnliche Verteiler ausprobiert woraus wirgelernt haben, daß Gitter- und Lochraster immer auf die Probe abgebildet werden. Vielmehrmuß der primäre Strahl gebrochen, aber dennoch frei auf die Probe zuströmen gelassenwerden, was durch die Einbauten in Abbildung (39) verwirklicht wurde. Ein vertikaler Zylinderführt die Gase bis in die Nähe der Oberfläche. Ein fünf Mark großes Plättchen unterhalbdes Gaseinlasses bricht den Primärstrahl. Damit die Gase nicht an den Zylinderwänden nachunten strömen, werden sie durch einen Ring in die Mitte zurückgeleitet, von wo aus sie sichbis zum Substrat homogen ausbreiten können. Der Zylinder wurde leider nur mit 5 cm imDurchmesser angefertigt, weshalb die kristallinen Abscheidungen auch kaum diesen Wertüberschreiten.5.3. Der Arbeitsvorgang bei der KristallzuchtIm folgenden soll kurz der Ablauf eines normalen Versuches geschildert werden.Das Substrat, normalerweise eine Si [111] - oder Si [100] - Scheibe wird gewogen undanschließend zwei Minuten lang in ein Bad verdünnter Flußsäure gegeben, um die Oberflächevom Oxid zu befreien. Nachdem das Substrat mit hochreinem Wasser gespült und mit N 2trockengeblasen wurde, wird es in den Reaktionsofen gelegt. Um die neue Oxidation möglichstgering zu halten, wird dieser schnell, aber sorgfältig geschlossen und sofort abgepumpt.Sobald das Vakuum unter 0,1 Torr gesunken ist, kann mit der Heizphase begonnen werden.Die Temperatur steigt innerhalb weniger Minuten auf den Sollwert zwischen 1200 K und1500 K. Um das Substrat vollständig von Oxydresten zu befreien, kann man im unteren Temperaturbereicheine Viertelstunde Wasserstoff und fünf Minuten lang das Chlorwasserstoffgemischbei einem Torr über die Probe strömen lassen. Damit soll die Oberfläche leicht angeäztund abgetragen werden. Bei den oberen Temperaturen wird dieser Ätzprozeß zu stark, sodaß die Oberfläche bereits rauh wird und es als besser erscheint, gasförmige Si-O Verbindungenim bestmöglichen Vakuum zwanzig Minuten lang abdampfen zu lassen.Zum Beginn des Wachstumsprozesses wird eine Zeit lang kein German beigemischt, damitsich ein möglichst störungsfreier Übergang zwischen Substrat und Depot bildet. Je nach Versuchsreihewird nun das Silan-German-Mischungsverhältnis zeitlich verändert. Am Ende desWachstumsprozesses wird die Gaszufuhr abgestellt, somit das Vakuum erhöht und die Heizungabgeschaltet. Nach dem Abkühlen wird der Druck entweder durch Luft, Wasserstoffoder Argon langsam ansteigen gelassen. Entnahme der Probe und Wägung. Durch den Massenzuwachskann auf die mittlere Schichtdicke der Probe geschlossen werden. OptischeBegutachtungen mittels Auge und Mikroskop geben erste Aufschlüsse über Homogenität undKristallinität der Schicht.

70 ZUCHTERGEBNISSE5.4. Zuchtergebnisse1Mit der oben beschriebenen Versuchsanlage wurden987Experimente an etwa 40 verschiedenen Siliziumsubstratendurchgeführt, die meistens zur Optimierung654der Prozeßparameter nach Veränderungen, etwa am3Heizelement oder am Gasführungssystem galten.2Solche Testreihen wurden meistens ohne Germanzusatzin relativ kurzen Aufdampfzeiten von einer halbenbis ganzen Stunde abgewickelt. Wurden damit0.198765zufriedenstellende Ergebnisse in Bezug auf Wachstumsgeschwindigkeit,Homogenität und vor allem34Kristallinität erreicht, so wurde die Reihe mit verschiedenenGermaniumkonzentrationsprofilen und1,8 ml / min2 LegendeA-Serie3,6 ml / minlängeren Aufdampfzeiten fortgeführt.0.017,2 ml / min9810,8 ml / minTabelle (7) stellt die für die weiteren Analysen wichtigenProben sowie einige Herstellungsparameter zu-7C-Serie60.6 0.7 0.8 0.9 1.0sammen. Die auf C endenden Proben sind in dem neuinverse Temperatur [1000/K]Abbildung (45):entwickelten Reaktionsofen hergestellt worden. Zusätzlichsind noch einige, auf A endende Proben auf-Proben als Funktion der reziprokenDie Wachstumsraten der einzelnenTemperatur. Die durchgezogene Liniegeführt, die aus der Machbarkeitsstudie von gibt die Werte bei 1 Torr nach [25]M. Hedrich et al. [23] hervorgegangen sind und im wieder. Ein ähnliches Verhalten zeigendie Ergebnisse der A Serie, wobeiRahmen der vorliegenden Arbeit charakterisiert die Wachstumsraten auch sehr vomwurden.Germandurchsatz abhängen. DiePunkte der C Serie dienen zur Orientierung.Hier wurden Gasflüsse,Die Probendicken wurden, vor allem bei dünnen Abscheidungenaus dem Massenzuwachs bestimmt. Zu Geometrien und Konzentrationenvariiert, so daß sich die Werte überdiesen ist noch je eine Substratdicke reinen Siliziums eine ganze Größenordnung verteilen.von 290 µm zu addieren. Aus ihnen ergeben sichsofort die Wachstumsraten, die in Abbildung (45) graphisch gegen die inverse Temperaturaufgetragen sind. Die durchgezogene Linie ist aus der Literatur übernommen und zeigt denVerlauf bei einer Atmosphäre Druck [25]. Sie zeigt deutlich zwei Bereiche, nämlich einen beiniedrigeren Temperaturen, der durch die Oberflächenreaktion begrenzt wird und einen beihöheren Temperaturen, dessen Wachstumsrate sich durch den limitierten Gastransport ergibt.Im ersten Fall werden die Silanmoleküle gemäß eines Arrheniusgesetzes an der Oberflächeaufgespalten, so daß die Temperatur der begrenzende Faktor ist. Wird letztere ständig erhöht,so kommt man in einen Sättigungsbereich, bei dem sich die Siliziumatome schneller ablagernmöchten als sie nachgeführt werden. Dies hat ein Abknicken nach unten von der Arrheniusliniezur Folge.Wachstumsrate [µm / min]

ZUCHTERGEBNISSE 71ProbeGerman / Silan[%]Zeit[min]Temp,[K]Dicke[µm]Rate[µm/min]78 A 4,31 - 8,26 2 · 60 1323 60 0,5082 A 2,20 - 4,31 - 6,32 - 8,26 4 · 20 1323 57 0,7183 A 0 —> 11,1 60 1323 41 0,6984 A 4,31 60 1323 46 0,7685 A 0 —> 8,26 180 1323 107 0,6086 A 0 —> 2,86 180 1323 98 0,5489 A 0 —> 2,86 1440 1323 787 0,5594 A 0 —> ≈ 4 1323 85013 C 6 115 1473 10 0,0917 C 1,6 - 3,2 2 · 120 1473 70 0,2918 C 1,6 - 3,2 2 · 244 1473 136 0,2819 C 0 - 0 —> 3,2 5 + 210 1480 65 0,3020 C 25 9 146528 C 0 - 5,9 - 10,7 - 15,2 - 19,3 - 23,0 - 26,4 29 + 6 · 60 1473 100 0,2629 C 0 - 25 30 + 1 1473 20 0,6530 C 0 - 6,3 30 + 1 1473 21 0,6842 C 0 —> 10,2 1920 1475 850 0,44Tabelle (7):Zusammenstellung einiger Zuchtbedingungen und -Ergebnisse für die wichtigsten,germaniumhaltigen Proben.Wachstumsrate [µm / min]0.70.60.50.40.30.20.10.0102030Probennummer (C-Serie)Abbildung (46):Zusammenstellung der Wachstumsraten für die verschiedenenProben der C-Serie.Ausbeute [%]302520151050102030Probennummer (C-Serie)Abbildung (47):Zusammenstellung der Ausbeuten für die verschiedenenProben der C-Serie.4040Die durchgezogene Linie stellteine anerkannte Grenze dar, diezwar überschritten werden kann,wovon die Autoren jedoch erfahrungsgemäßzugunsten der Kristallinitätabraten.Wir befinden uns mit sämtlichenZuchtergebnissen unterhalb dieserLinie. Dies mag unter anderemmit dem erheblich niedrigerenArbeitsdruck von nur einigenTorr zusammenhängen. Die rundenSymbole der A-Serie in Abbildung(45) zeigen ein ähnlichesSättigungsverhalten wie zuvorbeschrieben. Bei Erhöhung desSilanflusses kann jedoch dieWachstumsrate noch erheblichgesteigert werden. Die ausgefülltenDreiecke zeigen einige Ergebnisseder C-Serie und dienen

72 ZUCHTERGEBNISSEzur Orientierung. Hier wurde keine explizite Temperaturabhäbgigkeit bei konstantem Gasflußmehr aufgenommen. Die Wachstumsraten sind nochmals in Abbildung (46) histographischdargestellt. Bei den Proben 1 C – 10 C wurde das Heizelement optimiert und auf einemöglichst hohe Wachstumsrate bei festem Fluß hingearbeitet. Ab 10 C – 13 C wurdenverschiedene Gasführungssysteme zur Optimierung der Homogenität ausprobiert. Die Wachstumsratensind eher gering. Bei Probe 14 C wurde die Silankonzentration im Argongemischder Druckflaschen von 1 % auf 3 % erhöht, was sich deutlich in der Wachstumsrate niederschlägt.Die Proben 17 C – 20 C, 28 C und 42 C sind mit Hinblick auf Beugungsexperimentegezogen worden, weshalb zugunsten der Kristallinität nur mit dem halben oder bei 42 C mitdreiviertel Maximalfluß gearbeitet wurde.Wie wir in Abbildung (45) sehen, hängt die Wachstumsrate nicht nur von der Temperatur,sondern von einer Vielzahl von Parametern ab. Daher ist ein weiterer, wichtiger Gesichtspunktdie Ausbeute, nämlich der auf dem Substrat niedergeschlagene Anteil Siliziummassezur gasförmig zugeführten, alsoη = m SiDepotmSiGas= m SiDepotSit Φ . (207)ρ GasDarin sind mSi SiDepot der gemessene Probenmassenzuwachs, ρ Gas = 1,25 mg die partielle Gasdichtefür Silizium in Silan, Φ der Silanfluß und t die Aufwachszeit. Abbildung (47) zeigt diemlAusbeute für die einzelnen Proben. Vor allem sieht man hier, daß bei Halbierung der Flüssezwischen 16 C und 17 C praktisch kein Unterschied auftritt.5.4.1. Zusammenfassende Ergebnisse des ZuchtvorgangsDie maximalen Wachstumsraten liegen bei 0,6 µm / min, wobei anwendungsnahe Probenzugunsten der Kristallinität bei dem halben Wert gezogen wurden. Damit lassen sich innerhalbeiniger Stunden Kristalle für die Beugungsanalyse im 20 µm – 200 µm Bereich ziehen.Für dickere Kristalle bis zu 1 mm braucht man bei der Maximalrate etwas länger als einenTag. Die Ausbeute liegt mit ca. 15 % über dem Vierfachen der Werte um die 3,5 % des altenOfens und ist, insbesondere bei der gewählten Ofengeometrie äußerst zufriedenstellend.

DIE PROBENANALYSE 736. Die ProbenanalyseDie Analyse der mit obiger Methode gezüchteten Si 1-x Ge x Kristalle spielt einerseits, indemsie durch die erhaltenen Resultate auf die Eingangsparameter rückkoppelt, eine wichtige Rollefür die Zucht selbst, und führt andererseits über eine schlichte Qualitätskontrolle hinweg zuneuen Erkenntnissen. Angefangen bei der visuellen Begutachtung, über die Mikroskopie, dieMikrosondenanalyse bis hin zur Röntgen-, Gamma- und Neutronendiffraktometrie wurdenverschiedene Techniken zu verschiedenen Gesichtspunkten angewandt.6.1. Die optische MikroskopieDer erste Eindruck unmittelbar nach der Kristallzucht ergibt sich durch eine optische Begutachtungder Probenoberfläche. Gegen eine Lichtquelle betrachtet, kann sie entweder glänzendoder matt erscheinen, was einem kristallinen oder polykristallinen Wachstum zuzuschreibenist. Im ersten Fall ist die Oberfläche größtenteils entlang bevorzugten Gitterebenen ausgerichtet,so daß sie das Licht mit einem wohl definiertenAusfallswinkel reflektiert. Häufig ist die 120Oberfläche entlang weiteren Kristallrichtungen 10080mit Stufen oder regelmäßigen Strukturen übersät,was zu einem etwas matteren Erscheinungs-4060bild führt. Ist die Oberfläche hingegen grau,200ohne jegliches Spiegelbild, so handelt es sich um 13.8 14.0 14.2 14.4 14.6Probenwinkel [˚]polykristallines Wachstum, dessen wahllos orientierteOberflächenelemente das Licht diffus Röntgendoppelkristalldiffraktometrie inAbbildung (48):streuen. Dies konnte durch Röntgenstreuung ander aufgedampften Kristallschicht. Im optischglänzenden Bereich findet man einenverschiedenen Bereichen ein und derselben Braggreflex, also Einkristallinität, im mattgrauennur Untergrund, also Polykri-Probe bestätigt werden. Abbildung (48) zeigt diestallinität. (Cu K α an Probe 17 C).Reflektionskurven der nur in das Depot eindringendenCu K α Strahlung am 111-Reflex, einmal einen ausgeprägten Braggreflex im spiegelnden,das andere mal konstanten Untergrund im mattgrauen Bereich der Oberfläche.EreignisseNimmt man dem Auge ein Mikroskop zu Hilfe, so kann man schon weitaus bessere Aussagenüber die Kristallinität machen. Die Abbildungen (49) bis (54) zeigen einige, typische Erscheinungsformen,nämlich Polykristallinität im mattgrauen Bereich und regelmäßige, die Kristallorientierungwiderspiegelnde Strukturen im kristallinen Gebiet, nämlich Dreiecke auf einer(111)- und Vierecke auf einer (100)-Oberfläche.

74 DIE OPTISCHE MIKROSKOPIEBild (49) zeigt eine Aufnahme im polykristallinen Bereich, wie er bei relativ niedrigenTemperaturen um die 1100 K und zu hohen Wachstumsraten entsteht. Man erkennt dieeinzelnen Kristallite, die in sich regelmäßige Körper, häufig quadratische Grundformen mitdreieckigen Dächern darstellen. Benachbarte Kristallite sind jedoch willkürlich gegeneinanderverkippt, so daß keine Kohärenz zwischen ihnen besteht. In diesem Bild handelt es sich umrelativ große Kristallite, die je nach Zuchtbedingung, vor allem bei zu niedrigen Temperaturenauch wesentlich feiner ausfallen können. Natürlich kann auch eine oxidierte bzw.unsauber behandelte Oberfläche Anlaß zu polykristallinem Wachstum sein.Bei höheren Temperaturen erhält man einkristallines Wachstum auf der Substratmatrix. Dabei unserer hohen Wachstumsrate die Oberfläche keine Zeit zu relaxieren findet, tritt StufenundInselwachstum auf. An größeren Defekten entstehen Figuren, die die Symmetrie derOberfläche widerspiegeln. Einige Aufnahmen sind in den Abbildungen (50) bis (54) gezeigt.Sie erscheinen als gleichseitige Dreiecke in 111 oder Quadrate in 100 Orientierung. Auf ihregenaue Charakterisierung wird im folgenden Kapitel eingegangen.Die Oberflächen außerhalb der Dreiecke erscheinen, wie in den Bildern (52) und (53), obwohlmit Stufen durchsetzt, relativ glatt, während die in Abbildung (54) eine ausgeprägte Rauhigkeitoder Welligkeit im Mikrometerbereich aufweist. Dabei handelt es sich im letzten Fall umeine nur 0,5 µm dünne Si 0,75 Ge 0,25 Schicht, die auf einem reinen Siliziumdepot aufgedampftwurde und daher eine große Fehlanpassung erleidet. Die Welligkeit entsteht durch einenAbbau dieser Spannungen, während sie bei kleinen Fehlanpassungen und GradientenkristallenAbbildung (49):Polykristallin gewachsenes Kristallmaterial, meistens imRandbereich der Scheibe. Die Bilddiagonale entspricht ca.500 µm.

DIE OPTISCHE MIKROSKOPIE 75Abbildung (50):Regelmäßige Dreieckstrukturen auf einer (111) Oberfläche imkristallinen Bereich. Obwohl manche vertieft, andere flach erscheinen,sind ihre Kantenlängen gleich lang. Dies deutet auf einegemeinsame Entstehung, nämlich an der unsauberen Substratoberflächehin. Die Bilddiagonale entspricht ca. 500 µm.Abbildung (51):Viereckstrukturen auf einer (100) Oberfläche von 78 A im kristallinenBereich. Auch hier weisen die häufigsten Quadrate einemaximale Größe auf. Aus dieser kann auf die Schichtdicke geschlossenwerden. Die Bilddiagonale entspricht ca. 2 mm.

76 DIE OPTISCHE MIKROSKOPIEAbbildung (52):Dreieckstruktur in der sonst recht glatten Oberfläche von 17 C,die noch mit feinen Stufen überzogen ist. Sie stellt sich als einekraterförmige Vertiefung heraus. Die Bilddiagonale entspricht ca.100 µm.Abbildung (53):Teilweise aufgefüllte, kraterförmige Vertiefung in der Oberflächevon 18 C. An manchen Stellen treten perlschnurartige Gebildeauf, die auch den linken Kraterrand besetzen. Rechts fehlt dieSpitze des großen Dreiecks, die anscheinend durch so eine Konfigurationabgeschnitten wurde. Die Bilddiagonale entspricht ca.100 µm

DIE OPTISCHE MIKROSKOPIE 77Abbildung (54):Mehr oder weniger aufgefüllte Dreiecke in einer kristallinenOberfläche. Die Fläche zwischen den Dreiecken ist wellig. DieBilddiagonale entspricht ca. 100 µm.verschwindet. Sie wurde vor kurzem von anderen Gruppen ausgiebig theoretisch [26, 27] undexperimentell [28] charakterisiert.GleitlinieAbbildung (53) zeigt deutlich linear in den[110] Richtungen angeordnete, perlschnurartigeGebilde, die häufig am Rand der Dreieckeaber auch in der glatten Oberflächevorkommen. Hierbei handelt es sich womöglichum Gleitversetzungen, die wie inAbbildung (55) skizziert, durch Abgleiten imEinfluß mechanischer, etwa durch thermischeoder, wie hier durch Legierungsgradientenhervorgerufene Spannungsfelder entstehen.Solche Schraubenversetzungslinen laufen,wie in Abbildung (56) nach S. M. Hudargestellt entlang einer [101] Richtung indas Volumen hinein [25, 29]. Die gesamteSchar spannt somit eine {111} Ebene auf.Die Versetzungswände können, wie rechtsim Bild (56) dargestellt, an einer anderenVersetzungslinie hängen bleiben, wobei danndie perlschnurartige Linie auf der Oberflächezu erliegen kommt.VersetzungenAbbildung (55):Entstehung von Gleitversetzungen nach McD.Robinson [25].[110][001][101][011](111)Abbildung (56):Verlauf der durch Gleiten entstandenen Versetzungslinienentlang den [101] Richtungenam Beispiel einer (100) Oberfläche nachS. M. Hu [29]. Die Schar aller, zum selbenGleitvorgang gehörenden Versetzungslinienliegt in einer oder einigen, sehr eng benachbarten(111) Ebenen, so daß an der Oberflächeeine perlschnurartige Zeile in [011] Richtungentsteht.

78 DIE DREIECK- UND VIERECKSTRUKTUREN6.1.1. Die Dreieck- und ViereckstrukturenWie wir in den Bildern des vorangegangenen Abschnitts erkennen, werden die auffälligstenOberflächenstrukturen durch regelmäßige Dreiecke auf 111 oder Quadrate auf 100 Oberflächengebildet. Ihre Geometrien und ihr Entstehen wurden im Rahmen dieser Arbeit charakterisiertund als mögliche Schichtdickenbestimmung eingesetzt. Außerdem wurden auchschon von McD. Robinson auf sie hingedeutet [25].Die Strukturen stellen sich meist als Krater heraus, deren Zähligkeit die Kristallinität aufweisen.Ihre Wände erscheinen glatt ansteigend. Im Zentrum einiger weniger sieht man unter demMikroskop eine Verunreinigung, etwa ein Staubkorn. Andere erscheinen weniger tief, oderwie in Bild (57) sogar bis zu ihrem Rand aufgefüllt, bis hin zu komplizierteren, stufenförmigenWänden verschiedener Neigung. Betrachtet man die Gesamtheit der über eine Probeverteilten Krater, so findet man wie z. B. in den Bildern (50) und (51) eine häufig vorkommendeMaximalgröße, die unabhängig von der Eigenschaft ist, ob der Krater aufgefüllt istoder nicht.Die Orientierungen des Kristalls wurden mit Hilfe der Lauekamera festgelegt womit sich dieKraterränder in beiden Fällen als [110] Richtungen herausstellen. Mit der Erfahrung, daß sichOberflächen und Stapelfehler bevorzugt parallel zu den (111) Ebenen ausrichten, nehmen wirzunächst an, daß es sich auch bei den Kraterwänden um derartige Orientierungen handelt.Damit erhält man eine Pyramide quadratischer Grundfläche gemäß Abbildung (58) für dasAbbildung (57):Krater in der (100) Oberfläche von 78 A. Obwohl der rechte biszur Spitze leer und der linke bis zum Rand aufgefüllt ist, habensie beide dieselbe Größe und sind somit gleichzeitigen UrsprungsDie Bilddiagonale entspricht ca 500 µm

DIE DREIECK- UND VIERECKSTRUKTUREN 79100 und einen regelmäßigen Tetraeder nach Abbildung(59) für das 111 Substrat.Mit diesen Modellen kann man durch trigonometrischeÜberlegungen die Kratertiefe h als Funktion der Seitenlängea errechnen, was zu[010][011][100][111][011][111][111][001][011]h = 1 a für das 100 Substrat (208)2undh = 2 a für das 111 Substrat (209)3führt. Tabelle (8) stellt die so für die maximalgroßen Kraterverschiedener Proben erhaltenen Ergebnisse zusammen.Die, mit dieser Methode zurückgerechneten Schichtdickenstimmen fabelhaft mit den aus anderen Meßmethodengewonnenen Formen überein. Da diese Tatsache mit derAnnahme anderer, niederindizierter Gitterebenen für dieKraterwände nicht erfüllt ist, kann die vorgeschlageneGeometrie dieser Gebilde als bestätigt angesehen werden.[001][111][011][010]Abbildung (58):Orientierung der Vertiefungenin einer 100 Oberfläche.[011][121][110][101][111][211][111][111][112][111][110][011]Durch die häufig vorkommende, maximale Größe dera)Krater und den vorangegangenenBetrachtungenAbbildung (59):Charakterisierung dertetraederförmigen Krater ingeht einer 111 Oberfläche.hervor, daß ihreb)Entstehung auf der Substratoberfläche ihren Ursprungfindet. Abbildung (60) zeigt schematisch den Entstehungsprozeßin drei verschiedenen Wachstumsstadien.Etwa ein, bereits erwähntes Staubkorn, Oxidreste oderc)Kratzer im ersten Teilbild können Anlaß zur Wachstumshemmungsein oder Stapelfehler hervorrufen. DieAbbildung (60):so entstandenen Defekte pflanzen sich bei weiteremEntstehungsgeschichte der Krater. Wachstum in den (111) Ebenen fort. Selbst wenn zuStaubkörner, Oxidreste oder Kratzerauf der Substratoberfläche inspäterem Zeitpunkt auch Wachstum im Kraterbodena) bilden Wachstumshemmungen eintritt, wächst immer noch ein Stapelfehler oder eineoder Stapelfehler in [111] Richtungen,b), die bei weiteremStufe in gleicher Richtung weiter, so daß die am EndeWachstum auch teilweise aufgefüllt gemeinsame Kantenlänge der Entstehungstiefe entspricht.Die Kraterverteilung zeugt also von der Unsau-werden können, c). in jedem Fallsieht man eine Struktur gleicherOrientierung und Seitenlänge auf berkeit im Zuchtprozeß während der Entstehungsgeschichtedesder Oberfläche.Kristalls.[101]

80 DIE DREIECK- UND VIERECKSTRUKTURENProbe Orientierung Seitenlänge Kratertiefe Schichtdicke78 A [100] 95 µm 67 µm 63 µm (µ-Sonde)16 C [111] 22 µm 18 µm 16 µm (Wägung)17 C [111] 65 µm 53 µm 56 µm (µ-Sonde)30 C [111] 33 µm 27 µm 21 µm (Wägung)Tabelle (8):Zusammenstellung der Seitenlängen der regelmäßigen Wachstumsfiguren verschiedenerProben und die daraus berechnete Kratertiefe im Vergleich mit der durch Wägungoder Mikrosonde bestimmten Schichtdicke.6.2. KrŸmmung der KristalleDurch die thermische Abkühlung der Probek ikfvon der Zuchttemperatur auf die Umgebungerwartet man aufgrund verschiedener Ausdehnungskoeffizientenim Substrat und der aufgedampftenxωSchicht Gitterverzerrungen. Dabeigehen wir von dem Modell aus, daß das bei derhohen Temperatur sehr weiche Kristallgittermit den durch Germaniumbeimischungen hervorgerufenenAbbildung (61):Messung der makroskopischen Krümmungeines Kristalls. Bei Verschiebung der Probeum ∆x kann aus der Verschiebung desBraggmaximums um ∆ω auf den Krümmungsradiusgeschlossen werden.Fehlanpassungen durch Einbauvon Versetzungen möglichst relaxiert ist. Durch verschiedene thermische Ausdehnung in deneinzelnen Lagen kann beim Abkühlen ein Bimetalleffekt auftreten und somit eine makroskopischeKrümmung erscheinen. Dies wurde vor allem bei den dicken Kristallen beobachtet.Die Krümmung der gezogenen Kristalle kann mit Hilfe der Gammadiffraktometrie untersuchtwerden. Diese Methode ist wegen der kleinen Streuwinkel auf den Gradienten unempfindlichund eignet sich besonders gut zur Untersuchung der Verkippung von Gitterebenen. Die Meßanordnungist schematisch in Bild (61) wiedergegeben.Auf den fünf Instrumenten GAD1 - GAD5 am ILL werden eine gemeinsame 137 Cs Quelle miteiner Wellenlänge von λ Cs = 0,01874 Å, sowie eine gemeinsame 198 Au Quelle mitλ Au = 0,03011 Å angeboten. Die Auflösungen sind geometrisch durch die Quellengröße undeiner Blende vor der Probe bestimmt und betragen z. B. auf dem GAD1 Spektrometer4,4·10 -4 rad für die Cäsium- bzw. 1,2·10 -4 rad für die Goldquelle. Die Darwinbreiten fürideales Si [111] betragen bei obigen Wellenlängen etwa 4·10 -7 rad und sind damit gegen diegeometrische Auflösung völlig vernachlässigbar.

KRÜMMUNG DER KRISTALLE 812.0x = 0 2,5 5 7,5 10 12,5 mmZählrate [s -1 ]1.51.00.50.0-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4Drehwinkel ω [˚]Abbildung (62):Aus dem Untergrund herausragende Braggreflexe bei verschiedenen Translationsstellungenx der Probe. Die Verschiebung des Maximums beschreibt die Krümmungdes Kristalls.Außer einer ω-Abtastung, bei der die Probe gedreht wird, kann dieselbe auch in den beidenDimensionen x und y senkrecht zur Strahlachse verschoben werden. Damit lassen sich durcheinen auf wenige mm 2 beschränkten Strahl Mosaizität und Kristallorientierung an verschiedenenPositionen der Probe messen.Speziell erhält man die Krümmung eines Kristalls, wenn man die Änderung des Maximumseines Braggreflexes als Funktion des Ortes auswertet. Verschiebt sich bei einer Translationdes Kristalls um ∆x die Braggposition um ∆ω, so ergibt sich der Krümmungsradius ρ K zuρ K = ∆x∆ω . (210)Abbildung (62) zeigt eine Meßreihe an dem 850 µm dicken Gradientenkristall 94 A. DieTranslationsrichtung ist parallel zum Streuvektor ( 022), der in der Kristalloberfläche liegt.Der Krümmungsradius dieser Meßreihe sowie in der Richtung senkrecht dazu ist in Abbildung(63) ausgewertet. Dieser Kristall zeigt eine erhebliche Krümmung, die sich später auchKrümmungsradius [m]10864294 A[022]Krümmungsradius [m]10864294 A[022]00-50510Position [mm]1520-50510Position [mm]Abbildung (63):Krümmungsradien des Gradientenkristalls 94A als Funktion zweier zueinandersenkrechter Richtungen in der Kristalloberfläche1520

82 KRÜMMUNG DER KRISTALLEauf die weiteren Diffraktionsergebnisse auswirken wird. Typische Werte, auch für dünnereProben sind Radien von zwei bis zehn Metern. Wir sehen auch, daß die Proben nicht gleichmäßigund isotrop gebogen sind.6.3. Die Konzentrationsprofile und EinzelschichtdickenIm Vorangegangenen haben wir die geometrischen und kristallinen Eigenschaften derSi 1-x Ge x beschrieben und den Legierungsaspekt vernachlässigt. Ein Hauptpunkt der Kristallzuchtkonzentriert sich aber auch auf die Germaniumverteilung in der Siliziummatrix, etwaihren Anstieg als Funktion der Kristalldicke, die absoluten Konzentrationen des Festkörpersim Vergleich zur Gasphase, die Wachstumsgeschwindigkeit bei verschiedenen Zusammensetzungen.Zur Beantwortung dieser Fragen ist es notwendig, die Konzentrationsprofile über denKristallquerschnitt zu bestimmen. Neben komplizierteren, zerstörungsfreien Methoden, wiez. B. mit Rutherfordrückstreuung von A. Magerl durchgeführt [30], ist es naheliegend, dieProbe zu brechen und die Bruchkante mikroskopisch zu analysieren.Mit dem lichtoptischen Mikroskop läßt sich0.8dabei höchstens die Gesamtschicht erkennen, 40polykristallin0.6da das Depot wegen der vielen Fehlstellen etwasrauher bricht als das Substrat. Abbildung 2030kristallinkristallin0.4(64) stellt eine so gewonnene Dickenabhängigkeitals Funktion des Probenortes zusammen.1000.20.0Insbesondere bestätigt sie wieder die 0 2 4 6 8 10Position x [cm]Tendenz zu polykristallinem Wachstum beiAbbildung (64):überhöhter Rate.Lichtmikroskopisch an einer BruchkanteEin Kontrast zwischen Schichten verschiedenerGermaniumkonzentrationen läßt sich mit einkristallin, andere polykristallin gewach-gemessene Dickenabhängigkeit des Siliziumdepots14 C. Teile der Oberfläche sinddem Lichtmikroskop jedoch nicht erkennen.sen. Man erkennt die Tendenz polykristallinenWachstums bei erhöhter Rate.Nimmt man sich ein Elektronenmikroskop mitMikrosondenanalyse zu Hilfe, so kann man, wie im folgenden beschrieben, genaue Aussagenüber die Konzentrationsprofile erhalten. Dazu sollen zunächst die Grundzüge dieser Methodeerläutert werden, bevor wir die Daten einiger Gradienten- und Stufenkristalle zusammenstellen.Derartige Geräte standen uns in der Ruhruniversität Bochum sowie durch Auftragserteilungan der Universität in Grenoble zur Verfügung.Dicke [µm]50Wachstumsrate [µm/min]

.ELEKTRONENMIKROSKOPIE UND MIKROSONDENANALYSE 836.3.1. Elektronenmikroskopie und MikrosondenanalysePoliert man die Kante eines gebrochenen Kristalls und sieht sie sich unter dem Elektronenmikroskopan, so erhält man bereits bei kleinen Konzentrationsunterschieden im Prozentbereichgute Kontraste auf der Photoplatte. Abbildung (65) zeigt eine derartige Mikrophotographiedes Stufenkristalls 28 C. Links, ganz dunkel, befindet sich das Siliziumsubstrat, während nachrechts hin immer dünnere Schichten, der Reihe nach durchnumeriert, mit mehr und mehrGermaniumgehalt liegen. Die Schicht 1 kann man durch andere Belichtungen, die mehr aufdas dunkle Substrat abgestimmt sind, hervorheben.Um die absolute Germaniumkonzentrationen der einzelnen Lagen zu bestimmen, macht mansich die Wechselwirkung des Elektronenstrahls mit der Probe zu Nutze: Trifft der unter einenMikrometer fokussierte Strahl auf die Probe, so wird dieser teilweise gestreut oder unterAussendung verschiedener Sekundärstrahlungen absorbiert. Wie in der klassischen Röntgenröhreentsteht hier auch eine elementspezifische charakteristische Strahlung, die zur Konzentrationsanalyseder Legierung verwendet werden kann. Ein energiedispersiver Halbleiterdetektoroder ein nachgeschaltetes Kristalldiffraktometer zerlegen die Röntgenintensitäten spektral,wobei man typischerweise ein Spektrum gemäß Abbildung (66) erhält. Mit einer angeschlossenenDatenverarbeitungsanlage kann man sofort die einzelnen Maxima identifizierenund aus den gemessenen Intensitätsverteilungen die Konzentrationsverhältnisse ermitteln.Substrat01234567Abbildung (65):Elektronenmikrograph des Stufenkristalls 28 C. Die Oberfläche liegtlinks im Bild senkrecht und erscheint wegen der ungenügendenLadungsabführung sehr hell. Das Substrat besteht aus reinem Silizium.Schicht 0 enthält nur etwa 1 % Germanium und fällt daher sehrdunkel aus, während in den anderen Schichten bis zu 35 % mehr undmehr Germanium beigemischt wurde

84 ELEKTRONENMIKROSKOPIE UND MIKROSONDENANALYSELäßt man nun den Elektronenstrahllangsam über den Pro-Si–K αbenquerschnitt wandern undtaktet die Analyse in zeitlicheIntervalle, so erhält man dieKonzentration in Abhängigkeitdes Ortes. Eine derartige Meßkurveist, jedoch um 10 µmnach rechts verschoben, der Mikrographiein Abbildung (65)überlagert.Intensität [relative Einheiten]1010.1Ge–L αAu–M αAu–L αGe–K αDie Ortsauflösung wird, obwohleine feinere Fokussierung möglichist, auf etwa 1 µm beschränkt,da durchVielfachstreuung derElektronen in der Probe einVolumen entsprechenden Durchmessers ausgeleuchtet wird.024 6 8Röntgenenergie [keV]Abbildung (66):Charakteristisches Röntgenspektrum bei der Mikrosondenanalysevon Si 1-x Ge x Kristallen. Die Goldlinien rühren voneiner Bedampfung der Oberfläche zugunsten ihrer Leitfähigkeither.106.3.2. MikrosondenergebnisseEinige der wichtigsten und typischen Resultate der Mikrosondenanalyse sind in Abbildung(67) zu sehen. Die beiden oberen Messungen wurden an der Universität Bochumdurchgeführt, die restlichen, mit wesentlich besserer Statistik, sind an der UniversitätGrenoble in Auftrag gegangen.In der linken Spalte sind die Konzentrationsprofile einiger Stufenkristalle, rechts die vonGradientenkristallen gezeigt. Die sprunghaften Anstiege bei 78 A und 82 A im Bereich derinstrumentellen Auflösung von 1 µm bis 2 µm sowie die linear ansteigenden Profile derGradientenkristalle selbst über große Dicken hinweg zeugen von der perfekt beherrschbarenZusammensetzung im Festkörper. Insbesonders an den Stufenkristallen ersichtlich, tritt keinemeßbare Interdiffusion benachbarter Schichten auf.Zusammen mit den Gasmischungsanteilen aus Tabelle (7) kann man dasKonzentrationsverhältnisγ = x festx gas(211)

MIKROSONDENERGEBNISSE 85zwischen Festkörper und Gasphase erhalten. Abbildung (68) zeigt diesen Zusammenhang füreine Reihe von Ergebnissen verschiedener Kristalle. Dabei häufen sich die Meßpunkteentlang den Geraden γ = 0,73 für die A- und γ = 1,4 bzw. 2,3 für die C-Serie. Über dieDeutung dieser krassen Unterschiede soll hier nur spekuliert werden: Wie bereits erwähnt,wird bei den relativ niedrigen Temperaturen der A-Serie um die 1200 K die Wachstumsrateüberwiegend durch die Oberflächenreaktion beschränkt. Dabei diffundiert Silan aufgrund desMassenunterschieds schneller an die Oberfläche heran als German, so daß sich im Abscheideprozeßüberwiegend Silizium gegenüber Germanium anbietet und sich dies wiederum auf einezu niedrige Germaniumkonzentration im Festkörper auswirkt. Bei den hohen Zuchttemperaturenum knapp 1500 K der C-Serie wird die Wachstumsgeschwindigkeit vorwiegend durchdie Gasnachführung beschränkt. Hierbei bildet sich oberhalb des Substrats eine verarmteSilanzone, in der dann auch die verweilenden Germanmoleküle genügend Zeit finden an dieOberfläche zu gelangen. Zudem kommt noch ein weiterer Aspekt, daß sich German mitkleinerem Energieaufwand, also schneller zersetzt als Silan, wodurch sich im Festkörper einehöhere Germaniumkonzentration gegenüber der Gasphase einstellt. Sicherlich spielen auchGermanium [%]108642017 CGermanium [%]108642042 C040Position [µm]800400Position [µm]800Germanium [%]108642078 AGermanium [%]108642085 A040Position [µm]80040Position [µm]80Germanium [%]108642082 A040Position [µm]80Germanium [%]108642086 A040Position [µm]Abbildung (67):Konzentrationsprofile verschiedener Proben mit stufenförmigem oder linearkontinuierlichem Anstieg des Germaniumanteils. Deren Verlauf läßt sich beliebigdurch die zeitliche Änderung der Gasmischungsverhältnisse während des Wachstumseinstellen. Man beachte die unterschiedliche Skala bei 42 C. Die Kurve zu85 A wurde nicht bis zur Oberfläche hinausgemessen. Die beiden oberen Kurvensind wegen der schlechten Statistik verwackelt.80

86 MIKROSONDENERGEBNISSEx fest [%]40302010001020x gas[%]30A-Serie17 C28 CAbbildung (68):Die Germaniumkonzentration x fest im Festkörper istnicht notwendigerweise identisch mit der in der Gasphasex gas . Das Verhältnis hängt stark von den Zuchtbedingungenab. Numerische Werte sind in Tabelle (9)zusammengestellt.andere Parameter und eine wesentlich kompliziertereChemie über Zwischenprodukte in denReaktionsvorgang mit ein. So wurde in der A-Serie mit[100]- und in der C-Serie mit den schneller wachsenden[111] Substraten sowie mit völlig unterschiedlichenOfengeometrien gearbeitet.40Kristall x gas x fest γ82 A 2,20 1,65 0,7582 A 4,31 3,17 0,7482 A 6,32 4,87 0,7782 A 8,26 6,73 0,8278 A 4,31 3,03 0,7078 A 8,26 6,20 0,7583 A 11,1 7,70 0,6985 A 8,30 5,60 0,6717 C 1,60 4,18 2,6117 C 3,20 7,08 2,2128 C 5,90 8,0 1,3628 C 10,7 15,1 1,4128 C 15,2 21,3 1,4028 C 19,3 27,3 1,4128 C 23,0 32,2 1,4028 C 26,4 35,7 1,35Tabelle (9):Zusammenstellung der Konzentrationsverhältnissezwischen Festkörperund Gasgemisch. Die beidenkursiv gedruckten Werte sindaus Neutronenstreudaten vervollständigt.Wie wir in den folgenden Kapiteln sehen werden, ist die Mikrosondenanalyse ein wesentlicherEingangsparameter für die Interpretation der Röntgen- und Neutronenbeugungsergebnisse.Andererseits können letztere wiederum zur Bestimmung mittlerer Konzentrationsprofileeingesetzt werden.

EXPERIMENTELLE BEUGUNGSEIGENSCHAFTEN DER SI1-XGE X KRISTALLE 877. Experimentelle Beugungseigenschaften derSi 1-x Ge x KristalleUm dem angestrebten Ziel des vorliegenden Projekts, dem Einsatz von Gradientenkristallenals Neutronenmonochromator näherzukommen, ist die Studie der Neutronen- und Röntgenbeugungseigenschaftenspeziell gezogener Testkristalle ein wesentlicher Punkt. Durch derartiggewonnene Ergebnisse lassen sich wiederum auf die Kristallstruktur und die ZusammensetzungRückschlüsse ziehen, so daß diesem Kapitel die Doppelrolle zwischen Überprüfungund Analyse zukommt.Um sich später auf den direkten Vergleich und die Ergebnisse der durchgeführten Experimentekonzentrieren zu können, sollen zunächst die für die Beugungsexperimente relevantenMeßapparate in einem untergeordneten Kapitel zusammengestellt werden.Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, daß auch auf Röntgenbeugung beruhende Geräte, wiedie Lauekamera zur Kristallorientierung oder die Gammadiffraktometrie zur Krümmungsmessungverwendet wurden, deren Resultate bereits an geeigneter Stelle aufgeführt sind undnicht direkt mit der Beugungsanalyse der Legierungsvariation in Zusammenhang stehen.7.1. Die verwendeten DiffraktometerDie Experimente wurden an verschiedenen Diffraktometern, sowohl mit Neutronen- als auchmit Röntgenstrahlen, durchgeführt. Wichtige Kriterien für die Wahl einer Maschine sind ihreAuflösung in der durch die Legierungsvariation verursachten, longitudinalen Änderung desreziproken Gittervektors sowie eine ausreichende Transmission der Strahlung durch millimeterdickeSi 1-x Ge x Proben. Während letzteres für Neutronen kein Problem ist, haben wir imFall der Röntgenbeugung hochenergetische Strahlung im 45 keV bis 100 keV Bereichgewählt, deren Absorptionslänge wie im Kapitel 2. geschildert, bereits schon einigeZentimeter beträgt.7.1.1. Das NeutronenrŸckstreuspektrometerDie Auflösung ∆k/k eines Kristalldiffraktometers wird mit Betrachtung der logarithmischenAbleitung des Braggesetzes∆kk = ∆G G+ cot θ ∆θ (212)

88 DAS NEUTRONENRÜCKSTREUSPEKTROMETERPDNL3QNL1RNL2ZMAbbildung (69):Schematische Darstellung des IN10 am ILL bei Transmissionsstellung der Probe.Neutronen aus der kalten Quelle Q werden vom Monochromator M zurückreflektiert,durch den Reflektor R aus dem Primärleiter NL1 ausgeblendet und durch NL3 zurProbe P hin geführt. Hinter letzterer steht der Detektor D. Die Wellenzahl wirddurch den Dopplereffekt V am Monochromator durchgestimmt. Ein Zerhacker Zunterdrückt den Untergrund.Vdurch die Definition ∆G des Streuvektors G am Monochromator und einer Winkelvariation∆θ, etwa der Strahldivergenz oder der Monochromatormosaizität bestimmt. Während ∆G/Gbis zur natürlichen Linienbreite von 3,7·10 -5 sehr wohl definiert sein kann, liefert der zweiteSummand in (212) bei normalen Streugeometrien Werte von 10 -2 bis 10 -3 . Wählt man jedochdie spezielle Rückstreugeometrie von θ = π/2, so verschwindet der Winkelterm in erster Ordnungund man kann Auflösungen im Bereich der natürlichen Linienbreite erreichen [31, 32].In Abbildung (69) ist die am IN10 des ILL verwendete Rückstreuanordnung in ihrenwesentlichen Gesichtspunkten wiedergegeben. Ein allgemeinerer Abriß mit den technischenDaten findet sich in der Intstrumentenbeschreibung des ILL [33].Die Neutronen der kalten Quelle Q werden durch die Leiter NL1 und NL2 zum Si [111]Monochromator M geführt, der die wohl definierte Wellenzahl von k 0 = 1,00 Å -1 zurückwirft.Diese Neutronen treffen auf den, leicht oberhalb des Primärstrahls angebrachten Reflektor R,der sie in den Leiter NL3 und damit zum Probenort P umlenkt. Hinter der Probe steht einDetektor D. Um den monochromatischen1.2Strahl durchzustimmen, nutzt man den durch1.0Bewegung des Monochromators entstehenden0.8Dopplereffekt. Damit kann ein dynamischer0.6Bereich von ∆k = ±1,4·10 -2 Å -1 abgetastet0.4werden. Die Intensitäten werden in einem0.2Vielkanalanalysator, dessen Kanäle den verschiedenenDopplergeschwindigkeiten und-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.0damit Wellenlängen zugeordnet sind, gespeichertund können somit über lange Zeit inte-Abbildung (70):∆G ||/G [10 -3 ]Mittels Idealkristall gemessene Auflösungsfunktiondes IN10 ingriert werden. Detaillierte Angaben hierzuTransmissionsgeometrie.Transmission

DAS NEUTRONENRÜCKSTREUSPEKTROMETER 89sowie zur Standardauswertung und Normierung finden sich in meiner Diplomarbeit [34].Nimmt man ein Spektrum ohne Probe als Funktion der Wellenzahl auf, so trifft der gesamtemonochromatische Strahl mit voller Intensität in den Detektor und wir erhalten den Normierungswert1. Stellt man nun eine Si [111] Probe an die Position P und richtet ihre Gitterebenenzur Rückstreuung aus, dann tritt bei k 0 Braggreflektion ein. Es werden also Neutronenaus dem Strahl zurückreflektiert, die die Intensität im Detektor schwächen. Verstimmt manjetzt durch den Dopplereffekt die einfallende Wellenzahl, so gerät sie außer Braggbedingung,woraufhin die Intensität am Detektor wieder auf den Wert 1 maximaler Transmission ansteigt.Die Kurve in Abbildung (70) zeigt die mit einer perfekten Siliziumprobe gewonnene Auflösungsfunktiondes Instruments. Die Linie erscheint wegen des unperfekt zusammengesetztenMonochromators um 3 gegenüber der natürlichen verbreitert. Dies geht auf Kosten derLinientiefe, und vergrößert zudem um 1,5 den theoretischen Wert der integrierten Reflektivitätvon R y = π.Mißt man Si 1-x Ge x Kristalle, so haben sie, im Vergleich zum Monochromator leicht unterschiedlichereziproke Gittervektoren, die sich in einer Verschiebung des Braggreflexes ausdem Zentrum des Meßbereichs ausdrückt. Gewissermaßen tastet man mit der monochromatisiertenWellenzahl die reziproke Gittervektorverteilung ab. Da Winkelabweichungen erst inzweiter Ordnung eingehen, liegt die Stärke des Rückstreuspektrometers in der Messung derlongitudinalen Richtung, also der Längenvariation des Gittervektors.7.1.2. Das FlugzeitrŸckstreuspektrometerAm Forschungsreaktor München steht eine Variante des linearen Rückstreuspektrometers, beidem die Wellenzahl des Primärstrahls durch eine Flugzeitanalyse ermittelt wird.Der Aufbau des Instruments ist in Abbildung (71) dargestellt: Ein Zerhackersystem Z1, Z2,Z3 sorgt für einen eindeutigen, polychromatischen Startimpuls, dessen verschiedene Wellenzahlenüber die Flugstrecke von ca. 145 m zu den Detektoren 0 - 8 zeitlich auseinanderlaufen.Dadurch können die Wellenzahlen zeitlich nacheinander den Kanälen eines Vielkanalanalysatorszugewiesen werden [35]. Die Probe P kann, je nach Orientierung der Netzebenen, inräumlich verschiedene Detektoren reflektieren, wobei gleichzeitig auch die Transmissiongemessen wird. Die Auflösung des Instruments ist durch die Öffnungszeit des ersten ZerhackersZ1 sowie die fest vorgegebene Laufstrecke gegeben und beträgt bei unseren Messungen5·10 -4 .

90 DAS FLUGZEITRÜCKSTREUSPEKTROMETERKNLV Z1 Z2 Z3NL1243 5 7 P06 8Abbildung (71):Schema des Neutronenflugzeitspektrometers in naher Rückstreuung am ForschungsreaktorMünchen. Reaktorneutronen starten im Kern K und werden vom Zerhackersystem Z1, Z2,Z3 in wohldefinierte Pakete unterteilt, deren Wellenzahlen über eine 145 m lange Flugstreckeim Leiter NL auseinanderlaufen. Die Probe streut, je nach Orientierung in einigeder Detektoren 1 - 8. Auch die Transmission kann durch den Detektor 0 gemessen werden.V ist ein Strahlverschluß.Typische Transmissions- und Reflektionskurven sind in Abbildung (72) gezeigt und später inAbbildung (77) ausgewertet: Das Transmissionsspektrum zeigt im wesentlichen die Wellenlängenverteilungdes gepulsten Strahls. Aus diesem Kontinuum sind wieder die Braggreflexeder Probe herausgeschnitten. Direkt sieht man die Reflexe im Reflektionsspektrum, jedochaufgrund unterschiedlicher Detektorabstände zyklisch in den Kanalnummern vertauscht. DieNormierung findet nach zyklischem Rückvertauschen der Kanalnummern durch ein parallelgemessenes Monitorspektrum statt.80.8Ereignisse [min -1 ]642Ereignisse [min -1 ]0.60.40.200100200300Kanalnummer4005000.00100200300KanalnummerAbbildung (72):Typische, unnormierte Flugzeitspektren, wie sie direkt in Transmission, links, oderReflektion, rechts, gemessen werden.400500

DAS RÖNTGENDREIKRISTALLDIFFRAKTOMETER 917.1.3. Das RšntgendreikristalldiffraktometerNeben Neutronenstrahlen wurden auch Beugungsexperimente mit geeigneten Röntgenstrahlendurchgeführt, die bei entsprechend hoher Energie ähnlich geringe Absorption erleiden. Dazustand uns Meßzeit an einem neuentwickelten Dreikristalldiffraktometer mit 100 keV Strahlungam HASYLAB des DESY in Hamburg sowie die Dreikristallversion des X27C amNSLS des BNL in Brookhaven mit 45 keV zur Verfügung. Beide Instrumente sind vom gleichenTyp, während der angebotene Energiebereich von der Synchrotronstrahlungsquelleabhängig war. Eine schematische Darstellung, die bis auf Kleinigkeiten für beide Instrumentegültig ist, ist in Abbildung (73) wiedergegeben. Ein von der Synchrotronquelle Q ausgehenderRöntgenstrahl trifft auf einen perfekten Siliziummonochromator M, der in Lauestellung, einewohldefinierte Wellenzahl in Betrag und Richtung selektiert. In Braggbedingung, streut dieProbe P diese Welle auf den perfekten Siliziumanalysatorkristall A, der seinerseits, ebenfallsabgestimmt, in den Detektor D reflektiert. Um eine dispersionsfreie Anordnung zu erhaltenwählt man einander angepaßte Streuvektoren gleichen Betrags an Monochromator, Probe undAnalysator und betreibt die Anlage in der (+–+) Geometrie. Somit wird die Richtungswellenzahlkorrelationbei der sukzessiven Reflektion an den Kristallen bestmöglich ausgenutzt unddie Auflösung nur durch die natürliche Linienbreite des Idealkristalls beschränkt. Eine sehrausführliche Studie hierzu wurde von dem Mitarbeiter H.-B. Neumann aus der HASYLAB-Gruppe erstellt [36].Das Streudiagramm ist in Abbildung (74) dargestellt: Monochromator und Analysator haltenden auf die Probe einfallenden Wellenvektor k i bzw. den zu beobachtenden Wellenvektor k feindeutig fest. Enthält die Probe, etwa in Braggbedingung, einen Streuvektor G = k f – k i , sowird Intensität in den Detektor D gestreut. Die Verteilung der reziproken Gittervektoren kannnun durch zwei Arten linear unabhängiger Variationen abgetastet werden: Zum einen drehtman die Probe um den Winkel ω, womit man transversal zum Streuvektor fährt. Offensichtlichgiltωe - k i k fQφDM P AAbbildung (73):Schematische Darstellung des Röntgendreikristalldiffraktometers. Strahlenvon der Synchrotronquelle Q werden durch M monochromatisiert, in Pgestreut, in A analysiert und mit dem weitgeöffneten Detektor Dregistriert. Die Spektren können als Funktion der Drehwinkel ω und φgemessen werden, wobei unterschiedliche Richtungen im reziproken Raumabgetastet werden.

92 DAS RÖNTGENDREIKRISTALLDIFFRAKTOMETER∆G ⊥G = ω . (213)θDies liefert die Mosaikverteilung bei einem festen, longitudinalenWert. Andererseits kann man den analysierenden Wellenvektork f durch Rotation des Analysators um φ verdrehen, wobeiman sich auf einer um den Braggwinkel θ zur longitudinalenRichtung geneigten Linie bewegt. Hierbei variiert man Longitudinal-als auch Transversalkomponente, und wir erhalten beifestgehaltenem ω:und∆G ||G = k G cos θ φ = φ2 tan θ(214)∆G ⊥G = k G sin θ φ = φ 2 . (215)Für das Verhältnis ergibt sichk fk iAbbildung (74):Streudreieck im reziprokenRaum. Durch k i und k fwird der Streuvektor Ganalysiert. Je nach Rotationder Probe (ω) oderdes Analysators (φ) bewegtman sich auf verschiedenenLinien durch dieStreuvektorverteilung.Durch Kombination beiderkann die zweidimensionaleStreuebene abgetastetwerden.Gφω∆G ⊥∆G ||= tan θ , (216)wobei, um ein schnelles Bild zu erhalten, bei kleinen Streuwinkeln, wie hier um die 2˚ und 4˚,die transversale Komponente vernachlässigt werden kann.Intensität [willk. Einheiten]10.10.0165432654326543∆G ⊥ /G = 2,6·10 -6 0.001Intensität [willk. Einheiten]10.10.0165432654326543∆G ||/G = 43·10 -6220.001-40 -30 -20 -10 0 10 20∆G ⊥ /G [10 -6 ]-400 -200 0 200∆G ||/G [10 -6 ]Abbildung (75):Transversal und longitudinal gemessene Auflösungsfunktionen des Dreikristalldiffraktometersam HASYLAB

DAS RÖNTGENDREIKRISTALLDIFFRAKTOMETER 93Die Auflösungen werden durch die natürlichen Linienbreiten der Braggreflexe im Rahmender dynamischen Streutheorie von Monochromator und Analysator gegeben und sind zusammenfassendin Tabelle (10) aufgelistet. Die gemessenen Werte mit einem Idealkristall an derProbenposition sind in Abbildung (75) gezeigt. Sie unterscheiden sich von den theoretischenGrößen nur um einen Faltungsfaktor.7.1.4. Zusammenstellung der DiffraktometerdatenEine Zusammenstellung der verwendeten Streudaten und Auflösungen ist in Tabelle (10)wiedergegeben. Die aufgrund der Darwinbreite berechneten Halbwertsbreiten sind ungefalteteWerte, das heißt, um sie mit den Meßwerten zu vergleichen, müssen sie mit einem Faltungsfaktor≥ 1,4 multipliziert werden. Die experimentellen Auflösungen wurden mit Idealkristallenam Probenort bestimmt. Das HASYLAB-Spektrometer entspricht somit genau den theoretischenGrößen. Am NSLS war die Transversalkomponente durch die grobe Schrittweitevon 0,001˚ des Goniometers limitiert. Dies liefert einen vergrößerten Wert für die transversaleAuflösung, der nicht durch eine etwaige Mosaizität des Idealkristalls interpretiert werden darf.Die Rückstreuspektrometer haben theoretisch eine sehr schöne, jedoch nur longitudinaleAuflösung, die am IN10 zugunsten des Flusses und am FRM aufgrund des Flugzeitmonochromatorsbeschränkt waren. Rein transversal messen die Gammadiffraktometer, derenAuflösungen noch nicht durch ihre natürliche Linienbreite, sondern durch die Quellengrößeund das Blendensystem gegeben sind.Während Rückstreu- und Gammadiffraktometer in komplementären Richtungen messen undjeweils über die andere Komponente integrieren, erhält man auf dem Dreikristalldiffraktometerbeide Komponenten gleichzeitig, und das mit ähnlicher oder besserer Auflösung.Zudem wird der hohe Aufwand des Abrasterns des reziproken Raumes aufgrund der hohenIntensität der Synchrotronquelle wieder wettgemacht, so daß sich die Gesamtmeßzeit nichtverlängert.Die Dreikristalldiffraktometrie gibt guten Aufschluß über die Streuvektorverteilung aufgrundMosaizität, Germaniumkonzentrationen oder innerer Spannungen. Mit Hinblick auf einenNeutronenmonochromator spiegelt jedoch nur die Neutronenstreuung die richtigen Intensitätsverteilungenwider.Nicht zuletzt können auch die unterschiedlichen Strahlquerschnitte zum Vergleich von punktförmigenmit flächendeckenden Analysen herangezogen werden.

94 ZUSAMMENSTELLUNG DER DIFFRAKTOMETERDATENNSLS HASYLAB γ-Au γ-Cs IN10 FRMStrahlung Röntgen Röntgen Röntgen Röntgen Neutronen NeutronenE 45 keV 100 keV 411,8 keV 661,7 keV 2080 µeV 2080 µeVSi-Reflex 220 220 220 220 111 111G [Å -1 ] 3,272 3,272 3,272 3,272 2,004 2,004k [Å -1 ] 22,80 50,68 208,7 335,3 1,002 1,002θ [°] 4,114 1,850 0,4492 0,2796 90 90F 8 8 8 8 4 √⎺2 4 √⎺2f 8,706 8,706 8,706 8,706 1 1b c [fm] 2,818 2,818 2,818 2,818 4,149 4,149|V(G)/E| 2,961·10 -7 5,995·10 -8 3,535·10 -9 1,369·10 -9 1,834·10 -5 1,834·10 -5∆ [µm] 92,83 206,7 851,6 1368 34,19 34,19∆θ [“] 8,533·10 -1 3,832·10 -1 9,301·10 -2 5,788·10 -2∆G ⊥ /G theo 4,137·10 -6 1,858·10 -6 4,509·10 -7 2,806·10 -7∆G || /G theo 2,876·10 -5 2,876·10 -5 2,118·10 -5 2,118·10 -5∆G ⊥ /G exp 1,7·10 -5 2,6·10 -6 1,2·10 -4 4,4·10 -4∆G || /G exp 4,3·10 -5 4,3·10 -5 7,5·10 -5 5·10 -4exp/theo ⊥ 4,2 1,4 270 1600exp/theo || 1,5 1,5 3,5 24B [mm 2 ] 0,8·1,5 5·5 1·10 1·10 10·10 30·30Tabelle (10):Zusammenstellung der Streudaten und Auflösungen der verwendeten Diffraktometer.NSLS, HASYLAB: Dreikristalldiffraktometer, γ-Au, γ-Cs: Gammadiffraktometer am ILL,IN10: Rückstreuspektrometer am ILL, FRM: Flugzeitrückstreuspektrometer.E: Energie, G: Streuvektor, k: Wellenzahl, θ: Braggwinkel, F: Strukturfaktor, f: Formfaktor,b c : kohärente Streulänge, V(G)/E: Kristallpotential (4π el. Suszeptibilität), ∆:Pendellösungsperiode, ∆G/G: ungefaltete, theoretische Auflösungen, aufgrund derDarwinbreiten, experimentell gemessene Auflösungen und Verhältnisse, B: Strahldimensionenparallel und senkrecht zur Streuebene.

DIFFRAKTIONSERGEBNISSE 957.2. DiffraktionsergebnisseDurch die dispersionslose, hochenergetische Röntgendreikristalldiffraktometrie können hochaufgelöste,zweidimensionale Ausschnitte aus der Streuebene im reziproken Raum abgetastetwerden. Abbildung (76) zeigt derartige Ergebnisse in der Umgebung des Si [ 022] Reflexesverschiedener Proben im gleichen Maßstab. Die Bildkoordinaten wurden direkt aus demProbenwinkel ω horizontal und dem Analysatorwinkel φ vertikal zusammengestellt. Dadurchergibt sich mit den Gleichungen (214) und (215) ein schiefwinkliges Koordinatensystem desreziproken Raumes, dessen Achsen durch gestrichelte Linien eingezeichnet sind. Die Streuintensitätensind logarithmisch durch den angegebenen Schlüssel kodiert und nicht absolutnormiert. Die Teilbilder 28 C und 78 A zeigen die Ergebnisse an Stufenkristallen, die anderenbeiden, 19 C und 94 A, die von Gradientenkristallen. Allen Teilbildern gemeinsam ist dasvom dicken Substrat herrührende, sehr intensive Hauptmaximum bei (0, 0). Bei den Stufenkristallentreten weitere Braggmaxima der einzelnen Schichten und bei den Gradientenkristallenje ein ausgeprägtes Plateau in longitudinaler Richtung auf. Die zugehörenden Schichtdickensind dünn gegen die Pendellösungsperiode, so daß ihre Intensitäten entsprechendschwach ausfallen. Die gegenüber dem Substrat verkürzten Streuvektoren dieser Nebenreflexeentsprechen, wie erwartet, im realen Raum durch die Germaniumbeimischung vergrößertenGitterkonstanten. In der transversalen Richtung findet mit zunehmender, longitudinalerAbweichung vom Substratreflex eine zunehmende Verbreiterung der Reflexeaufgrund anwachsender Mosaizität statt. Die Bilder zeigen in der Vertikalen, also um denBraggwinkel gegen die longitudinale Richtung geneigt, einen durchgehenden Streifen erhöhterIntensität, der sich als Artefakt der Auflösungsfunktion, nämlich als lorentzförmigenAusläufer des intensiven Substratreflexes, herausstellt.Im folgenden sollen anhand von Projektionen der Intensität auf die longitudinale Richtungund ausgewählten Schnitten parallel zu den Koordinatenachsen die wesentlichen Resultatevorgestellt werden.

96 DIFFRAKTIONSERGEBNISSE28 C-16-14-12-10∆G | |G [10-3 ]-8-6-4 -2 0-6Abbildung (76a):Siehe nächste Seite.-4-2∆G ⊥G [10-3 ]0 2 4

DIFFRAKTIONSERGEBNISSE 9778 A-4-20 2 419 C∆G | |G [10-3 ]Intensität-20 294 A-1 0-2 0-2 0∆G ⊥G [10-3 ]-10 1Abbildung (76b):Zweidimensionale Abrasterung der reziproken Streuebene mit den Röntgendreikristalldiffraktometern.Die Ausschnitte liegen um die 022 Reflexe einiger Stufen und Gradientenkristalle.Der Maßstab ist für alle vier Teilbilder identisch. Die gestrichelten Linien geben das um denBraggwinkel verscherte Koordinatensystem der longitudinalen und transversalen Richtungenwieder. Am Ursprung liegt jeweils der intensive Substratreflex, während sich zu kürzerenStreuvektoren die Beiträge der Si 1-x Ge x Legierungen erstrecken. Die transversale Verbreiterungerleidet hauptsächlich in den ersten Schichten einen kräftigen Sprung, während sie inzunehmender Entfernung vom Substrat bedeutend weniger zunimmt. Die Intensitätsverteilungenkönnen transversal integriert werden und sind in den nachfolgenden Abbildungenzusammengestellt.

98 DIE MEßERGEBNISSE AN STUFENKRISTALLEN7.2.1. Die Me§ergebnisse an StufenkristallenDie Stufenkristalle haben den Vorteil einer quantitativen Auswertung der aus den Zuchtparameternhervorgegangenen kristallinen Eigenschaften. Jede Schicht unterschiedlicher Konzentrationweist einen individuellen Braggreflex auf, deren Positionen, longitudinale und transversaleBreiten und integrierte Reflektionsvermögen insgesamt mehr Meßparameter liefernals bei Gradientenkristallen.Bild (77) zeigt im oberen Teilbild die über die Transversalkomponente integrierte Intensitätdes 45 keV Spektrums zu 28 C aus Bild (76). Man erkennt unter den acht Maxima den intensivenSubstratreflex, dicht daneben einen schmalen, also durch gute Kristallqualität ausgezeichnetenLegierungsreflex sowie sechs weitere Si 1-x Ge x Reflexe in größerer Entfernung.Die Meßkurve kann gut durch die durchgezogene Linie, die Summe von acht Lorentzkurvenbeschrieben werden. Aus den numerisch angepaßten Parametern gehen die Maximalpositionensowie die integrierten Reflektivitäten der individuellen Reflexe einer jeden Schicht hervorund lassen sich in den Tabellen (11) und (12) mit weiteren Daten vergleichen.Das untere Teilbild zeigt die mit der Flugzeitanalyse am Si [111] Reflex gewonnene Reflektionskurvedesselben Kristalls. Hier lassen sich die Meßwerte eher durch eine Gaußverteilungpro Maximum anpassen, da die Auflösungsfunktion durch den Strahlzerhacker bestimmt istund einer Dreiecksfunktion ähnelt. Das erste Nebenmaximum wird nicht mehr aufgelöst,während die anderen deutlich voneinander getrennt sind. Das Spektrum wurde auch inTransmission gemessen, womit die Ergebnisse absolut normiert werden konnten. Die erhaltenenWerte sind ebenfalls in den Tabellen (11) und (12) eingetragen.Aus den durch Mikrosondenanalyse gewonnenen Schichtdicken D wurden durch Gleichung(65) die auf das Kristallpotential normierten Dicken A der dynamischen Beugungstheoriesowie durch (95) die integrierten Reflektivitäten R y berechnet. Da die Einzelschichtdicken zuden Nebenreflexen wesentlich kleiner als die Pendellösungsperiode sind, wurden die experimentellenWerte R y durch die kinematische Beziehung Ry = π A kin auf die Dicken Aexpkinund D kin beider Einheitensysteme zurückgerechnet. Die experimentellen Ergebnisse für dieNebenmaxima liegen in derselben Größenordnung, aber systematisch etwas unterhalb dentheoretischen. Da der reflektierte Strahl über drei Detektoren summiert wurde, mag dieserIntensitätsverlust auf die nicht alles erfassende Detektoranordnung zurückzuführen sein. DieIntensitätsauswertung erscheint somit äußerst zufriedenstellend und spiegelt die erwartetenWerte der Theorie wider. Der Substratreflex hingegen fällt aufgrund von Spannungs- undVerzerrungsfeldern dreimal stärker aus als beim Idealkristall. Die Röntgenmessungen konntennicht absolut ausgewertet werden, weshalb diese Ergebnisse nur relativ mit den Dicken zuvergleichen sind.

DIE MEßERGEBNISSE AN STUFENKRISTALLEN 9910 1Intensität [unnormiert]10 010 -110 -228 CRöntgen7654321010 -3-15 -10 -5 0 5∆G ||/G [10 -3 ]10 028 CNeutronen10 -1Intensität10 -27654310 -32010 -4-15 -10 -5 0 5∆G ||/G [10 -3 ]Abbildung (77):Das obere Teilbild zeigt das longitudinale Spektrum nach transversaler Integrationder in Abbildung (76) zu 28 C dargestellten Intensitäten. Die acht Reflexesind durchgehend vom Substrat mit 0 beginnend durchnumeriert und entsprechenden verschiedenen Germaniumkonzentrationen der Si 1-x Ge x Schichten. Die Neutronendatenim unteren Teilbild wurden durch Flugzeitanalyse in Rückstreuungaufgenommen und sind absolut normiert. Die Reflektivitäten der Einzelreflexeentsprechen absolut den theoretischen Werten. Allerdings sind die Legierungsreflexeder Neutronendaten näher am Substratmaximum als die der Röntgenmessung.Da hier orthogonale Streuvektoren benutzt wurden, deutet dies auf einetetragonale Verzerrung hin. Bemerkenswert ist auch die hohe Gitteraufweitungvon 1,4 %!

100 DIE MEßERGEBNISSE AN STUFENKRISTALLENNr.D[µm]A R y R yexpA kinD kin[µm]R X[willk.]0 280 25,7 3,14 9,1 2,9 32 8,51 11,6 1,07 2,48 3,02 19,6 1,80 2,97 3,2 1,0 11 6,03 15,1 1,39 2,77 2,0 0,65 7,0 4,94 7,50 0,689 1,88 1,8 0,58 6,3 6,35 7,10 0,652 1,80 1,7 0,55 6,0 4,66 7,00 0,643 1,78 1,9 0,59 6,4 3,67 7,00 0,643 1,78 1,5 0,49 5,3 3,2Tabelle (11):Auswertung der integrierten Reflektivitäten. D: Schichtdicke, A = π D / ∆: Schichtdicke inEinheiten der Pendellösungsperiode ∆, R y, R yexp : theoretische und experimentelle integrierteNeutronenreflektivitäten, A kin , D kin aus R yexp zurückgerechnete kinematischeDicken, R X : integrierte, experimentelle Röntgenreflektivitäten.Nr.x[%]xn[%]∆G/G x ∆G/G n ∆G/G X ∆G/G n –∆G/G X∆h/h T0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001 5,31·10 -42 8,00 9,44 2,88·10 -3 3,41·10 -3 4,53·10 -3 1,12·10 -3 2,61·10 -43 15,1 16,4 5,52·10 -3 5,98·10 -3 6,96·10 -3 9,79·10 -4 4,93·10 -44 21,3 22,6 7,85·10 -3 8,33·10 -3 9,30·10 -3 9,68·10 -4 6,94·10 -45 27,3 27,6 1,02·10 -2 1,03·10 -2 1,14·10 -2 1,07·10 -3 8,88·10 -46 32,0 1,20·10 -2 1,32·10 -2 1,25·10 -3 1,04·10 -37 35,8 1,35·10 -2 1,45·10 -2 1,03·10 -3 1,17·10 -3Tabelle (12):Auswertung der Linienpositionen und tetragonalen Verzerrung. x: Ge Konzentration, x n :aus den Neutronendaten zurückgerechnete Ge Konzentration, ∆G/G: Gitteraufweitung ausKonzentration x, Neutronenmessung n, Röntgenmessung X, Differenz: gemessene Querkontraktion,∆h/h T : Querkontraktion aus thermischer Ausdehnung.Die Linienpositionen sollen den Germaniumkonzentrationen entsprechen. Für die Neutronendatentrifft dies relativ gut zu, so daß die fehlenden Mikrosondenergebnisse aus diesen Streudatenvervollständigt wurden und bereits in Tabelle (9) und Abbildung (68) für die Interpretationder Konzentrationsverhältnisse eingegangen sind. Im Gegensatz dazu sind die Nebenreflexabständevom Substratreflex der Röntgenmessung systematisch um 1·10 -3 gegenüber denNeutronendaten vergrößert. Hierbei handelt es sich jedoch nicht um einen Fehler, sondern dieTatsache einer tetragonalen Verformung des einst kubischen Si 1-x Ge x Gitters. Während die

DIE MEßERGEBNISSE AN STUFENKRISTALLEN 101Röntgenmessungen an einem 022 Reflex senkrecht zum Schichtennormalenvektor n stattgefundenhaben, wurden die Neutronendaten am 111 Reflex parallel zu n durchgeführt.Der gleiche Sachverhalt ist auch an den Spektren von 78 A zu erkennen, die unmittelbarnacheinander auf derselben Maschine studiert wurden: Abbildung (78) zeigt in der oberenKurve die Intensitätsverteilung, wie sie bei einem longitudinalen Schnitt aus Abbildung (76)hervorgeht. Dabei wurde der senkrecht zum Normalenvektor n in der (100) Oberflächeliegende Streuvektor 022 verwendet. Im Abstand von ∆G/G = 0,9·10 -3 und ∆G/G = 1,8·10 -3vom Substratreflex finden sich die zu Si 0,97 Ge 0,03 und Si 0,94 Ge 0,06 gehörenden Maxima. Diedarunter liegende Kurve zeigt eine entsprechende Messung an dem um 45˚ zu n geneigten,aus der Kristalloberfläche herausragenden 202 Reflex. Hier sind die Si 1-x Ge x Positionennäher am Substrat als zuvor. Auf die Oberflächennormale projiziert bedeutet dies, daß dierelativen Netzebenenabstände parallel zu n gegenüber den dazu senkrechten um 0,1·10 -4 bzw.0,3·10 -4 verkleinert sind, das Gitter also tetragonal verzerrt ist. Die genauen Werte hierzulassen sich in Tabelle (13) vergleichen.Bei der Si 1-x Ge x Epitaxie kann bei sehr dünnen Schichten eine tetragonale Verformungaufgrund der Fehlanpassung zwischen dem Substrat- und dem Legierungsgitter auftreten.Dabei bliebe, in Abbildung (79a) dargestellt, für die Gitterkonstanten parallel zur Oberfläche10 178 AIntensität [unnormiert]10 010 -110 -202220221002220210 -3-3 -2 -1 0 1∆G ||/G [10 -3 ]Abbildung (78):Longitudinale Reflektionskurven zweier an sich symmetrischer Reflexe des Kristalls78 A. Die Nebenmaxima des 202 Reflexes befinden sich näher am Substratmaximumals die des 022. Dies deutet auf eine tetragonale Gitterverzerrung hinund kann eindeutig durch die thermisch unterschiedliche Zusammenziehung beimAbkühlen von der Zuchttemperatur beschrieben werden. Links oben ist die Lageder verwendeten Streuvektoren relativ zur makroskopischen Kristallscheibe angedeutet.

102 DIE MEßERGEBNISSE AN STUFENKRISTALLENNr.x[%]∆G/G x∆G/G022∆G/G202∆(∆G/G)100∆L/L∆h/h1 3.03 1.08·10 -3 9.30·10 -4 8.51·10 -4 1.11·10 -4 9.76·10 -5 8.37·10 -52 6.20 2.20·10 -3 1.83·10 -3 1.60·10 -3 3.20·10 -4 2.00·10 -4 1.71·10 -4Tabelle (13):Meßdaten zur tetragonalen Verzerrung am 022 und 202 Reflex, deren Projektion auf dieOberflächennormale [100] sowie thermischer Ausdehnungsunterschied ∆L/L und resultierendeQuerkontraktion ∆h/h in [100] Richtung.der Substratwert erhalten, während das Gitter in der Normalenrichtung frei relaxierte unddamit die durch das Germanium bedingte Volumenaufweitungaufnähme und den Abstand in dieser Richtung vergrößerte.Wir beobachten jedoch eine entgegengesetzteVerzerrung. Zudem betrachten wir Schichtdicken, die umdrei Größenordnungen über den kritischen Werten liegen,bei denen die genannte Verzerrung den Spannungen nichtmehr standhält und durch Einbau von Fehlanpassungsversetzungenrelaxiert. Die hohe Zuchttemperatur macht dasGitter weich, so daß diese Relaxation noch begünstigtwird. Wir gehen also davon aus, daß das Gitter bei derZuchttemperatur, wie in Bild (79b) idealisiert dargestellt,vollkommen relaxiert und die Einheitszelle bei genügenderEntfernung von der Grenzschicht, wie im Substrat, kubischist. Natürlich treten in der Nähe der Grenzschicht Fehlanpassungsversetzungenauf, die auch, hier nicht dargestellt,aus ihr heraus ins Volumen fortschreiten können.a)GeSib)GeSiKühlt man nun den Kristall von der Zuchttemperatur aufRaumtemperatur ab, so möchte sich das Si 1-x Ge x Gitteraufgrund des thermischen Ausdehnungskoeffizienten stärkerzusammenziehen als das Silizium. Da es aber fest aufdem wesentlich dickeren Substrat haftet, zwingt letzteresdem ersten die zur Oberfläche parallele Ausdehnung auf,während die Normalkomponente wieder frei relaxieren unddamit weiter schrumpfen kann. Tatsächlich ist das Gitterdurch diesen Mechanismus, wie beobachtet und in Abbildung(79c) dargestellt, tetragonal gestaucht, während es beider Verzerrung durch Fehlanpassung gedehnt würde.c)GeAbbildung (79):Verschiedene Möglichkeiten derAnpassung eines Si 1-x Ge x Gittersauf einem Siliziumsubstrat:a) epitaktisch verspannt, b) relaxiert,c) thermisch, durch Abkühlungverzerrt.Si

ε z = -ν ε x(218)DIE MEßERGEBNISSE AN STUFENKRISTALLEN 103Eine Abschätzung dieser Verformung kann durch die Elastizitätstheorie gegeben werden.Seien x, y die Koordinaten der Substratoberfläche und z in Normalenrichtung, so kann mandie relativen Dehnungenε n = ∆n n; n = x, y, z (217)in allen drei Raumrichtungen definieren. Der Querkontraktionskoeffizient ν beschreibt dielineare Stauchung eines Materials in den übrigen Dimensionen, wenn in einer z. B. in xgestreckt wird:ε y = -ν ε xDie Dehnung unserer Schicht in der x-Richtung wirkt sich nicht nur auf z aus, sondernkoppelt auch an y. Zieht man letztere Komponente wieder zurück in ihre Ausgangsposition,so verringert sich z mit einer weiteren Rückkopplung auf x um weitere ν·ν·ε x usw., und wirerhalten unter Berücksichtigung eines Faktors 2 durch gleichzeitige Dehnung in x und yRichtung und ε = ε x = ε yε z = -2 ν 1 – n + n 2 – n 3 + ε (219)oder, die Reihe im Bronstejn [37] nachgeschlagenε z = -2ν1 – ν ε . (220)Im Fall der thermisch bedingten Spannung ergibt sichε ∆T = ∆L L SiGe– ∆L L Si(221)durch die unterschiedliche Längenänderungen ∆L/L bei Abkühlung von der Zuchttemperaturzur Raumtemperatur. Die Werte lassen sich in Tafelwerken [38] für Silizium und Germaniumnachschlagen und wurden für die Legierungen linear interpoliert. Der Querkontraktionskoeffizientist wohl für reines Silizium und Germanium bekannt, erhöht sich aber bei einer Legierung,und wurde mit ν = 0,3 abgeschätzt. Die so errechneten Werte sind in den Tabellen (12)und (13) eingetragen und geben hervorragend die beobachtete Verzerrung wieder.

104 DIE MEßERGEBNISSE AN STUFENKRISTALLENIntensität [unnormiert]10 210 110 010 -110 -210 -378 A2102102220210 -4-3 -2 -1 0 1 2 3∆G ⊥ /G [10 -3 ]Abbildung (80):Transversale 45 keV Röntgenmessungen an 78 A. Die Legierungsreflexe sindwesentlich breiter als der Substratreflex. Die an sich symmetrischen 202 und 022Reflexe zeigen sehr unterschiedliche Breiten. Dies läßt auf eine vorwiegend vertikaleVerbiegung der Gitterebenen schließen.Den ersten drei Teilbildern in Abbildung (76) ist eine transversale Verbreiterung mit zunehmenderGermaniumkonzentration gemeinsam. Bei den Stufenkristallen nimmt diese Verbreiterungbesonders zwischen Substrat- und erstem Nebenreflex zu, während sie sich bei großenGradienten (19 C) linear und bei kleinen Gradienten (94 A) vernachlässigbar gegenüber dermakroskopischen Krümmung verhält.Die transversale Verbreiterung entspricht einer örtlichen Verkippung der Gitterebenen gegenüberder Vorzugsrichtung. Insbesonders werden bei der Bildung von Fehlanpassungsversetzungen,wie aus Bild (79b) oder (79c) an der Grenzschicht ersichtlich, die vertikal verlaufendenNetzebenen verbogen, während die horizontalen glatt bleiben. Genau dieser Sachverhaltwird auch in den Streudaten beobachtet und ist in Abbildung (80) dargestellt: Die Graphendes oberen Teilbildes wurden wiederum am 022 von 78 A gemessen, während die des unterenden 202 Vektor benutzten. Die Nebenmaxima des 022 Reflexes sind etwa 50 mal breiter alsdas fast ideale Substratmaximum, während die des 202 Reflexes sich nur um die Hälfteaufweiten. Aufgrund der geometrischen Betrachtung des um 45˚ aus der Normalen geneigtenStreuvektors hätten wir eine 0,7 fache Verringerung der Mosaizität erwartet. Dies läßttatsächlich darauf schließen, daß vorwiegend die vertikalen Gitterebenen verbogen werden,während die parallel zur Oberfläche liegenden relativ glatt bleiben.Betrachtet man die voll ausgeprägten Intensitäten der Verbreiterung, so kann die Verbiegungnicht nur an der Grenzfläche zwischen den Legierungen auftreten, sondern müssen sich

DIE MEßERGEBNISSE AN STUFENKRISTALLEN 105wellenförmig, immer wieder durch den Einbau etwa neuer Versetzungen oder Stapelfehlerdurch die ganze Schicht ausbreiten. Das erklärt auch das Ausbleiben einer weiteren Verbreiterungbeim Sprung von der ersten zur zweiten Schicht, da die bereits vorhandene Versetzungsstrukturleichter eine weitere Fehlanpassung aufnehmen kann als ein Idealkristall.Die Abbildungen (81) und (82) zeigen die longitudinalen und transversalen Intensitätsverteilungender Streuung am 022 Vektor der heißgezogenen Kristalle 17 C und 18 C. Mit dem10 217 CIntensität [unnormiert]10 110 010 -110 -221010 -3-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1∆G ||/G [10 -3 ]10 218 CIntensität [unnormiert]10 110 010 -110 -221010 -3-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1∆G ||/G [10 -3 ]Abbildung (81):Schön ausgebildete Legierungsreflexe der Kristalle 17 C und 18 C. Die Probenwurden unmittelbar hintereinander mit gleichen Konzentrationen undverdoppelten Schichtdicken gezogen. Letzteres spiegelt sich durch dievergleichsweise erhöhte Intensität bei 18 C wieder. Die starke Asymmetrie derNebenreflexe läßt ein Nachhinken der Gitterkonstanten nach derGermaniumkonzentration vermuten

106 DIE MEßERGEBNISSE AN STUFENKRISTALLENAuge betrachtet erscheinen ihre Oberflächen äußerst spiegelnd und homogen, obwohl, wiefrüher diskutiert, unter dem Mikroskop Terrassen und ins Volumen reichende Gleitversetzungenbeobachtet werden. Letztere entstehen durch thermische Spannungen im hochgeheizten,sehr weichen Gitter und reichen damit auch ins Substrat hinein. Dies erklärt, daß bereits dietransversalen Substratmaxima verbreitert sind und eine nichtgaußförmige Verteilung annehmen,die auch den Nebenmaxima aufgeprägt ist.In longitudinaler Richtung sind schöne Nebenreflexe ausgebildet. Betrachtet man sie genauer,Intensität [unnormiert]10 210 110 010 -110 -217 C 01210 -3-3 -2 -1 0 1 2 3∆G ⊥ /G [10 -3 ]Intensität [unnormiert]10 210 110 010 -110 -218 C 01210 -3-3 -2 -1 0 1 2 3∆G ⊥ /G [10 -3 ]Abbildung (82):Transversale Intensitätsverteilungen an den Proben 17 C und 18 C. Hier war dieZuchttemperatur so hoch, daß auch das Substrat weich wurde und Versetzungenbekam. Damit ist dessen Reflektionskurve schon sehr breit. Eine zusätzlicheVerbreiterung der Nebenmaxima bleibt unwesentlich

DIE MEßERGEBNISSE AN STUFENKRISTALLEN 107so besitzen sie eine starke Asymmetrie zugunsten längerer Streuvektoren, also kürzererGitterkonstanten. Auch zwischen den Maxima findet sich eine, gegenüber dem Untergrund inden Ausläufern des Spektrums deutlich erhöhte Intensität. All das deutet darauf hin, daßwährend der Kristallzucht die Anpassung der Gitterkonstanten der Germaniumkonzentrationnachhinkt. Wir gehen vom idealen Silizium, dem Substrat aus und schalten, durch den hohenGasfluß gewährleistet, plötzlich auf eine erhöhte Germaniumkonzentration um. Das bereitsaufgebaute Gitter kann ohne schwerfällige Versetzungsbewegungen nicht mehr verändertwerden, wodurch die Spannungen der Fehlanpassung erst in den darüberliegenden Schichten,direkt während des Wachstums durch Versetzungen allmählich abgebaut werden und somitdas Gitter langsam seinen Netzebenenabstand an den erwarteten Wert anpaßt.

108 EXPERIMENTELLE REFLEKTIONSKURVEN DER GRADIENTENKRISTALLE7.2.2. Experimentelle Reflektionskurven der GradientenkristalleIntegriert man in Abbildung (76) das zu 19 C gehörende Spektrum über die Transversalkomponenteso erhalten wir die in Abbildung (83) dargestellte longitudinale Intensitätsverteilung.Die vom 280 µm dicken Substrat herrührende Reflektionskurve liegt über der Pendellösungsperiodevon 93 µm der 45 keV Strahlung und kann gut durch die angepaßte, durchgezogeneLorentzkurve beschrieben werden. Links davon beobachten wir ein schön ausgebildetes, vom65 µm dicken Gradientenkristall herstammendes Plateau. Das schwache Maximum bei-0,5·10 -3 rührt von einem, durch die Diffraktionsanalyse entdeckten Fehler bei der Kristallzucht,nämlich einem Germanleck zugunsten erhöhter Gitterkonstanten her, der insbesonderebei sehr kleinen Konzentrationen ins Gewicht fällt. Da keine Germaniumkonzentrationsanalysevorliegt, wurde die maximale Gitteraufweitung mit ∆G/G = 1,8·10 -3 aus der Plateaubreitebzw. 2,0·10 -3 vom Substratreflex und der daraus resultierenden Endkonzentration vonx = 5,6 % aus der Meßkurve herausgelesen. Mit diesen Parametern kann die punktiert eingezeichnete,theoretische Reflektionskurve durch die Transfermatrizenmethode errechnetwerden. Da die Meßdaten in ihrer Intensität nicht absolut normierbar sind, wurde die Theoriekurveauf der Ordinate rein willkürlich unterhalb der Meßkurve durch die punktierte Linieeingetragen. Eine Faltung mit der als Auflösungsfunktion betrachteten, angepaßten Lorentzkurvedes Substratmaximums liefert das durchgezogene Plateau. Hier sind die schnellstenOszillationen herausgemittelt. Die durchgeführte Faltung erscheint wesentlich, da die Linienform,z. B. am linken Plateaurand besser mit den Meßdaten zusammenfällt als die der10 219 CIntensität [unnormiert]10 110 010 -110 -210 -3-3 -2 -1 0 1 2∆G ||/G [10 -3 ]Abbildung (83):Reflektionskurve des Gradientenkristalls 19 C nach transversaler Integration derMeßdaten in Abbildung (76). Links neben dem lorentzförmig ausgebildeten Substratreflexbefindet sich das vom Gradienten herrührende Plateau. Darunter sinddie durch Transfermatrizen gerechneten Kurven ungefaltet (punktiert) und gefaltetauf der Ordinate willkürlich eingetragen

EXPERIMENTELLE REFLEKTIONSKURVEN DER GRADIENTENKRISTALLE 10910 285 AIntensität [unnormiert]10 110 010 -110 -210 -3-3 -2 -1 0 1 2∆G ||/G [10 -3 ]Abbildung (84):Longitudinaler Schnitt um den 022 Reflex eines steilen Gradientenkristalls bei100 keV Röntgenstrahlung. Der Gradientenbeitrag ist um mehr als 3Größenordnungen schwächer als der des Substrats und macht sich nur im linkenTeil des Ausläufers bemerkbar. Nach Subtraktion des lorentzförmigenSubstratanteils erhält man ein flaches Plateau. Im linken Teil läßt sich dieLinienform hervorragend durch die Transfermatrizentheorie voraussagen.ungefalteten Kurve.Die Reflektionskurve von 85 A bei einem longitudinalen Schnitt der reziproken Streuebenedurch den Substratreflex zeigt Abbildung (84). Bei der hier verwendeten 100 keV Strahlungliegt die Schichtdicke von 107 µm im Vergleich zur Pendellösungsperiode von 207 µm nochungünstiger, so daß die vom Gradienten gestreute Intensität noch wesentlich geringer ausfällt.Zudem wurde nicht über die Transversalkomponente integriert. Nach Subtraktion der vomSubstrat herrührenden Lorentzkurve erhält man wieder ein ausgeprägtes Plateau, dessen linkerRand bei einem etwas höheren als durch die Zusammensetzung erwarteten Wert von∆G/G = -2,7 -3 abfällt. Die rechte Flanke ist ein Artefakt der Subtraktion und enthält keinerleiphysikalischen Inhalt. Mit der Dicke von 107 µm läßt sich wieder eine theoretischeReflektionskurve berechnen, falten und auf der Intensitätsskala übereinanderschieben. Hierbeifällt das erste Oszillationsminimum am linken Plateaurand mit einem experimentellenIntensitätsminimum zusammen. Dies ist ein starker Hinweis dafür, daß die hergeleitete,theoretische Beschreibung der Reflektionskurven durch Transfermatrizen experimentelleErgebnisse richtig beschreibt. Obwohl die Rechensimulationen auf der Intensitätsskala wegenmangelnder Normierung angepaßt wurden, kann mit dem vorgegebenen Gradienten und derSchichtdicke die Linienform vorausgesagt werden.

110 EXPERIMENTELLE REFLEKTIONSKURVEN DER GRADIENTENKRISTALLEIntensität [unnormiert]10 510 410 310 294 ARöntgen-2 -1 0 1∆G ||/G [10 -3 ]1.00.894 ANeutronenIntensität0.60.40.20.0-2 -1 0 1∆G ||/G [10 -3 ]Abbildung (85):Longitudinale Intensitätsverteilungen von 100 keV Röntgen- und Neutronenstrahlenan ein und derselben Probe, 94 A. Die punktierte, theoretische Kurve im oberenGraph ist zu kastenförmig. Erst nach einer Faltung mit der Auflösungsfunktionwerden ihre Kanten rund und passen ausgezeichnet mit den Meßdaten desGradientenbeitrags zusammen. Im Gegensatz zu den Röntgendaten ist die Neutronenmessungabsolut normiert und liegt etwas unterhalb der theoretischenKurve. Letztere wurde ausschließlich aufgrund des Gradienten und der Kristalldickeberechnet. Die kleine Lorentzlinie bezeichnet die gemessene Auflösungsfunktion.Die Intensitätsgewinne gegenüber den Auflösungsfunktionen betragen 2,0 imRöntgen- und 25 im Neutronenfall.Abbildung (85) gibt im oberen Teilbild die mit 100 keV Strahlung gemessene, über dieTransversalkomponente integrierte Intensität des zu 94 A gehörenden Spektrums in Bild (76)

EXPERIMENTELLE REFLEKTIONSKURVEN DER GRADIENTENKRISTALLE 111wieder. Darunter ist die durch Neutronenrückstreuung gewonnene, absolut normierteAufnahme des 850 µm dicken Gradientenkristalls dargestellt. Die Röntgendaten sind wie inden Beispielen zuvor ausgewertet. Hier ergibt sich der Substratreflex sehr breit, was wohl aufdie relativ schlechte Kristallhomogenität, dessen starke Krümmung, sowie einen großenStrahlquerschnitt zurückzuführen ist. Der Gradientenbeitrag läßt sich wieder gut vom Substrattrennen und paßt der Form nach ausgezeichnet zu der gefalteten, auf der Ordinate angepaßtenTheoriekurve. Hier wird nochmals demonstriert, wie wichtig die Faltung mit der Auflösungsfunktionerscheint, da die ungefaltete Theoriekurve zu kastenförmig ist und zu schnell abfällt.Bei den Neutronendaten ist zusätzlich die schon in Abbildung (70) ausgewertete, absolutnormierte Auflösungsfunktion des Instruments sowie die mit dieser gefaltete, theoretischberechnete Reflektionskurve des Gradientenbeitrags eingezeichnet. Obwohl die gemessenePlateaureflektivität zugunsten der Flanken um 20 % unter der berechneten liegt, ist dasErgebnis äußerst zufriedenstellend und demonstriert hervorragend die kastenförmige Intensitätsverteilung,wie sie für die Anwendung eines Neutronenmonochromators von Bedeutungsein wird. Wie früher schon erwähnt, ist die Oberfläche dieses dicken Kristalls sehr inhomogen,speziell mit mehreren 100 µm tiefen Wachstumsstrukturen übersät, so daß der Fehlerauch durch die zu optimale Dickenbestimmung und das damit verbundene, mangelnde Streuvolumeninterpretiert werden kann.Der Neutronengewinnfaktor gegenüber der gemessenen Auflösungsfunktion beträgt beidiesem Kristall 25 und entspricht demnach exakt der Vergrößerung des Streuvolumens vonder Pendellösungsperiode von 34 µm auf die Dicke des Gradientenkristalls von 850 µm.Generell ist die Plateaureflektivität der Neutronenmessung gegenüber des Röntgenergebnisseswesentlich erhöht, da, wie im theoretischen Teil dieser Arbeit diskutiert, die Dicke des Gradientenkristallsmit der Pendellösungsperiode verglichen werden muß, und diese im ersten Fallsechs mal geringer ausfällt, als im letzten. Damit erklärt sich auch der recht schwache Gewinnvon 2,0 gegenüber dem Substratreflex im Fall der 100 keV Röntgenbeugung.

112 ZUSAMMENFASSUNG8. ZusammenfassungIm ersten Teil der vorliegenden Arbeit wurden zwei theoretische Modelle zur Beschreibungder Beugungseigenschaften von Gradientenkristallen, eines im Rahmen der kinematischenTheorie, das andere auf einer Transfermatrizenmethode basierend, aufgestellt und hergeleitet.Der erste Ansatz führt zu rein analytischen Ergebnissen, die insbesonders für eine Beschreibungder Breiten der Reflektionskurven und der Plateauoszillationen geeignet erscheint. Diezweite liefert nach numerischer Berechnung die exakten, extinktionsbestimmten Intensitätsverteilungen.Sie beschreibt analytisch durch eine Matrix die Kopplung der vorwärts- undabgebeugten Wellenfunktionen, sowie deren Propagation durch eine planparallele Kristallschicht.So können beliebige Kristallmedien, deren Eigenschaften sich entlang der Grenzflächennormalenändern, durch sukzessive Multiplikation solcher Matrizen beschrieben werden.Insbesonders ist für die Größe der Unstetigkeiten an den Grenzflächen keinerlei Einschränkunggegeben, so daß die Anwendung, wie hier an Multilagensystemen demonstriert, weitüber die Gradientenkristalle hinausgeht. Beide Theorien sind untereinander konsistent undstimmen gleichermaßen mit den Lösungen des Takagi-Taupin Formalismus überein.Vom Standpunkt der Kristallzucht sei hervorgehoben, daß im Rahmen dieser Arbeit erstmalsneuartige Si 1-x Ge x Gradientenkristalle großflächig mit Wachstumsraten bis zu 0,6 µm/minhergestellt wurden. Die Schichtdicken betragen bis zu einigen 100 µm. Damit ist eineGrößenordnung erreicht, die grundsätzlich eine Anwendbarkeit als Neutronenmonochromatorin den Bereich des Möglichen bringt. Die maximal erreichte Gitteraufweitung liegt imProzentbereich und kann ohne Schwierigkeiten beliebig bei der Kristallzucht gesteuertwerden.Durch lichtmikroskopische Beobachtungen wurden regelmäßige Oberflächendefekte undVersetzungsstrukturen beobachtet, deren Orientierungen und geometrische Eigenschaftencharakterisiert wurden. Mikrosondenanalysen lieferten Konzentrationsprofile, die wiederummit den Zuchtbedingungen verglichen und durch Beugungsanalyse überprüft wurden. Dabeiwurde erstmalig eine tetragonale Gitterverzerrung entdeckt, die auf thermisch bedingte Spannungenzurückgeführt wird. Sie entsteht bei der Abkühlung von der Zuchttemperatur aufUmgebungstemperatur durch verschiedene thermische Ausdehnungskoeffizienten von Epitaxieschichtund Substrat und wurde durch eine Messung der Asymmetrie ansonsten symmetrischerReflexe charakterisiert. Hierbei deutet eine anisotrope transversale Aufweitung derBraggreflexe auf Netzwerke von Versetzungen hin, wie sie durch die Relaxation der Gitterfehlanpassungentstehen.Zur Überprüfung der Beugungseigenschaften an Gradientenkristallen wurden Streumethodensowohl für Neutronen- als auch für Röntgenstrahlen genutzt. Die verwendeten Neutronen-

ZUSAMMENFASSUNG 113rückstreu- und Flugzeitspektrometer, sowie die hochenergetische Röntgendreikistalldiffraktometriezeichnen sich durch ihre hohe Impulsauflösung des reziproken Raumesaus. Letztere Methode erlaubt insbesonders ein präzises, zweidimensionale Abtasten derUmgebung des reziproken Gitterpunktes. Die mit der Transfermatrixmethode berechnetenReflektionskurven schmiegen sich gut an die experimentellen Ergebnisse an. In dieser Arbeitwurden Kristalle durch beide Strahlungsarten untersucht, was im Rahmen der dynamischenStreutheorie unterschiedlichen Gradienten gleichkommt. Da absolute Intensitätsmessungenmeist nicht möglich waren, liegt die Stärke der Anpassung in der Beschreibung der Linienforman den Plateaurändern sowie in der Übereinstimmung mit einem beobachteten Plateauoszillationsminimum.Mit Hinblick auf einen Neutronenmonochromator zeigen die Diffraktionsergebnisse einen biszu 25-fachen Intensitätsgewinn gegenüber der gemessenen Auflösungsfunktion. Vergleichtman diesen Wert mit der berechneten Reflektivität perfekten Siliziums, so ergibt sich einFaktor 40. Dabei wurden die Gradienten zugunsten der Analyse und Machbarkeitsstudie zusteil gezogen, so daß die Maximalreflektivität von 100 % noch nicht erreicht ist. Die Aufweitungdes reziproken Gittervektors beträgt in diesem Beispiel das 70-fache der natürlichenLinienbreite eines Idealkristalls und wurde mit ∆d/d = 1,4·10 -2 bis auf das 700-fache vorangetrieben.

114 AUSBLICK9. AusblickObwohl die gegenwärtigen Ergebnisse vielversprechend sind, können die Si 1-x Ge x Gradientenkristallenoch nicht am Fließband produziert werden. Der Wachstumsprozeß ist sehrkritisch auf geringfügige Veränderungen der Zuchtparameter und sollte noch mit Hinblick aufdie Gasströmungsverhältnisse und Sauberkeit des eingebrachten Substrats verbessert werden.Zudem können kostengünstigere Flüssigquellen als Grundlage für die Epitaxiematerialienzum Einsatz kommen.Um optimale Reflektionseigenschaften zu erlangen, müssen Kristalle mit großen Gitteraufweitungenwesentlich mehr Streuvolumen anbieten. Dicken bis in den Zentimeterbereichwären wünschenswert, damit die Intensitätsgewinne den Größenordnungen oben genannterGitteraufweitungen gleich kommen. Dabei scheint es günstiger, von einem Germaniumsubstrataus zu wachsen, da dieses Element eine größere Streukraft als Silizium besitzt und somitkleinere Dicken ausreichten. Außerdem sollten andere Systeme, wie Si 1-x C x oder das bereitsbekannte Cu 1-x Ge x für diese Epitaxiemethode ins Auge gefaßt werden.Die theoretischen Ergebnisse können noch in Hinblick verschiedener Einzelheiten ausgemessenwerden. Eine Beobachtung der Plateauoszillationen kann an hochindizierten Reflexensehr steiler Gradienten oder stark gekrümmten, idealen Kristallen durchgeführt werden. Dazuwird die ständig verbesserte Auflösung von Dreikristalldiffraktometern an Synchrotronstrahlungsquelleneine wesentliche Hilfe sein. Aus der Feinstruktur von Reflektionskurven lassensich die Details der Streuvektorverteilungen erkennen. Nicht zuletzt kann die Transfermatrizenmethodezur Beschreibung komplizierter Schichtenstrukturen der Halbleiterindustrieerweitert werden und in der Auswertung der zerstörungsfreien Materialanalyse Einzug finden.

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LITERATURVERZEICHNIS 117[23] M. Hedrich, “Si 1–x Ge x Gradientenkristalle”. Praxissemesterbericht, , Institut LaueLangevin, (1990)[24] A. Escoffier, M. R, A. Magerl, E. Mastromatteo, “Procédé de fabrication d’un cristal àgradient de maille”. Patentschrift, 91/09109, Cabinet Michel de Beaumont, F-38000Grenoble, France, (1991)[25] M. Robinson, “Silicon Epitaxy” in “Microelectronic Materials and Processes”, R. A.Levy, Editor. (1989), Kluwer Academic Publishers: New Jersey. p. 25.[26] N. Junqua, J. Grilhe, “Surface instabilities of epitaxial films on a substrate” Journal dePhysique III, (1993). 3(8): p. 1589.[27] J. Grilhe, “Study of roughness formation induced by homogeneous stress at the freesurfaces of solids” Acta Metallurgica et Materialia, (1993). 41(3): p. 909.[28] L. B. Freund, “Dislocation mechanisms of relaxation in strained epitaxial films” MRSBulletin, (1992). July: p. 52.[29] S. M. Hu, “Dislocations in thermally stressed silicon wafers” Appied Physics Letters,(1973). 22(5): p. 261.[30] A. Magerl, K.-D. Liss, C. Doll, R. Madar, E. Steichele, “Will gradient crystals becomeavailable for neutron diffraction?” Nuclear Instruments and Methods, (1994). A 338:p. 83.[31] A. Heidemann, J. Scholz, “Rückstreuung von Neutronen an perfekten Silizium-Einkristallen” Zeitschrift für Physik, (1973). 263: p. 291.[32] K.-D. Liss, A. Magerl, W. Gläser, “A neutron diffraction study on the very narrowdynamical width of GaAs [200]” Nuclear Instruments and Methods, (1993). A 335: p.523.[33] K. Ibel, “Guide to neutron research facilities at the ILL” (April 1994), Institut Laue-Langevin: Grenoble, France.[34] K.-D. Liß, “Untersuchungen zur Verbesserung der Energieauflösung fürNeutronenrückstreuspektrometer unter Verwendung von Idealkristallen mit geringer

118 LITERATURVERZEICHNISdynamischer Breite der Reflexionskurve.”. Diplomarbeit, Technische UniversitätMünchen, (Juli 1990)[35] P. Arnold, E. Steichele, “Aufbau und Funktion einer elektrischen Schaltung zurStartimpulsverzögerung am Neutronenflugzeitdiffraktometer des ForschungsreaktorsGarching”. Interner Bericht, , Forschungsreaktor München,[36] H.-B. Neumann, “Auflösungsvermögen eines dispersionsfreienDreikristalldiffraktometers für hochenergetische Synchrotronstrahlung”. InternerBericht, 91-06, HASYLAB, DESY, (1991)[37] I. N. Bronstejn, K. A. Semendjaev, “Taschenbuch der Mathematik” ed. G. Grosche, V.Ziegler, D. Ziegler. (1985), B. G. Teubner Verlagsgesellschaft: Leipzig.[38] Y. S. Touloukian, R. K. Kirby, R. E. Taylor, P. D. Desai, “Thermal Expansion” Vol.12+13. (1976), IFI/Plenum: New York – Washington.

DANKSAGUNG 11911. DanksagungAn dieser Stelle möchte ich mich bei all denen bedanken, deren Interesse und praktischeUnterstützung zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.Herzlichen Dank an meinen Doktorvater Prof. T. Springer für die Betreuung dieser Arbeit,sowie sein oft ins Detail vertiefte Interesse und den daraus hervorgegangenen Diskussionen.Dem Initiator dieses Themas, Privatdozent Andreas Magerl möchte ich für die tiefgehendeBetreuung vor Ort in Grenoble danken. Die täglichen Gespräche und Diskussionen formtenwesentlich den Verlauf der Arbeit und entwickelten sich zu einer guten Zusammenarbeit. SeinOrganisationstalent ermöglichte die Meß- und Konferenzreisen, an denen er meistens auchselbst mitwirkte. Ohne den Rahmen dieser Danksagung sprengen zu wollen, möchte ich auchdie privaten Kontakte und gemeinsamen Ausflüge unserer Familien erwähnen.Für die Bereitstellung der Doktorandenstelle am Institut Laue-Langevin und dem damitverbundenen Vertrauen möchte ich meinen Dank Prof. P. Armbruster aussprechen.J’exprime mes remerciements au Prof. Roland Madar, qui a dirigé la croissance des cristauxdans son laboratoire et qui a contribué aux missions pour les expériences et les conférences.Herrn Prof. P. H. Dederichs herzlichen Dank für die Anstöße im theoretischen Teil dieserArbeit.Den Verantwortlichen der Diffraktometer am HASYLAB Prof. J. Schneider und HansiNeumann, am NSLS Dr. Peter Siddons und Dr. Jerry Hastings, sowie am ForschungsreaktorMünchen Dr. E. Steichele und ihren Mitarbeitern möchte ich für die Einführung undBetreuung während den Meßzeiten an ihren Instrumenten danken.Meinem Kollegen und Nachfolger Christian Doll sei herzlich für seine tiefgehenden Fragenzum Verständnis der dynamischen Beugungstheorie gedankt, durch die manche Probleme ersterkannt oder geweckt wurden.Un remerciement aux techniciens du groupe monochromateur, Roland Hehn et Bernard Niefpour leur aide, mais surtout à Alain Escoffier, qui a fortement contribué à l’installation et auxmodifications du dispositif de croissance de cristaux.Neben den Betreuern und Christian Doll möchte ich auch Frau Barbara Standke als Lektorendieses Textes danken.

120 DANKSAGUNGUn grand merci à l’artiste Blandine Leclerc, qui a mis la gravure de la dédicace à madisposition.Zuletzt, aber nicht weniger gern möchte ich auch der großen Zahl der Vorgesetzten, Kollegen,Mitarbeiter und Freunden danken, die über den Konsens der vorliegenden Arbeit hinaus dasLeben am und im Umfeld des ILL geprägt haben.

LEBENSLAUF 12112. LebenslaufName: Klaus-Dieter LißGeburtstag: 10. Juni 1962Geburtsort: Idar-Oberstein, Rheinland–Pfalz, DeutschlandStaatsangehörigkeit: DeutschAdresse: 3 rue du ChampaF-38450 Les Saillants du GuaTel.: (+33) 76.72.25.79, eMail: liss@esrf.frFamilienstand: verheiratet mit Laure Jacqueline, geb. PayanKind: Katharina Christel Maria Liß, geboren am 23. August 19941968-1969 Erste Klasse Grundschule in Erding1969-1972 Grundschule am Niederbronner Weg, Fürstenfeldbruck, Bayern1972-1973 Hauptschule Nord, Fürstenfeldbruck1973-1976 Graf-Rasso-Gymnasium, Fürstenfeldbruck1976-1983 Internatschüler im Gymnasium mit SchülerheimHohenschwangau, Bayern1983 Abiturabschluß am Gymnasium Hohenschwangau1983-1990 Studium der allgemeinen Physik an der Technischen UniversitätMünchen (TUM), München, Deutschland1985, 1986 Zwei zweimonatliche Werkstudentenpraktika in Biophysik an derTUM1986, 1987, 1987, Vier zweimonatliche Werkstudentenpraktika am Institut Laue1988 Langevin (ILL), Grenoble, Frankreich1989-1990 Diplomarbeit am ILL: “Untersuchungen zur Verbesserung derEnergieauflösung für Neutronenrückstreuspektrometer unterVerwendung von Idealkristallen mit geringer dynamischer Breiteder Reflexionskurve.”1990 Diplom in allgemeiner Physik8-1990-11-1990 dreimonatige Tätigkeit in der Neutronenstreuung am AECL,Chalk River, Kanadaseit 12-1990 Doktorarbeit am ILL, Grenoble, Frankreich und IFF/KFA Jülich:“Strukturelle Charakterisierung und Optimierung derBeugungseigenschaften von Si1-xGex Gradientenkristallen, dieaus der Gasphase gezogen wurden”27. Oktober 1994 Mündliche Doktorprüfung