3 Aufgabe 2 - Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik ...

Dies ergibt ein Gleichungssystem mit N + 1 Gleichungen
N
w(i)rxx (j − i) = rdx (j), j = 0,...,N ,
i=0
welches in vektorieller Schreibweise in Form der Matrizengleichung
Rxx wo=p (11)
dargestellt werden kann. Rxx bezeichnet die Autokorrelationsmatrix des Signalvektors x(k)
Rxx= E x (k)x T (k) =
⎛
⎜
⎝
rxx(0) rxx(1) · · · rxx(N)
rxx(1) rxx(0) · · · rxx(N − 1)
· · · · · · · · · · · ·
rxx(N) · · · · · · rxx(0)
und p den Kreuzkorrelationsvektor zwischen dem Referenzsignal d(k) und dem Signalvektor
x(k)
⎞
⎟
⎠
(12)
p= E {d (k)x(k)} = (rdx (0),rdx (1), ... ,rdx (N)) T . (13)
Die optimalen Filterkoeffizienten wo erhält man somit durch Inversion der Korrelationsmatrix
Rxx
2.4 Adaptives FIR Wiener Filter
wo = R −1
xx p. (14)
Die Berechnung des optimalen FIR Filters nach Gleichung 14 setzt die Kenntnis der Signalstatistik
in Form der Korrelationsmatrix Rxx und des Kreuzkorrelationsvektors p voraus.
Diese sind in der Regel jedoch nicht a priori bekannt und müssen bei veränderlicher Signalstatistik
fortlaufend geschätzt werden. Wenn die Signale kurzzeitig stationär und ergodisch
sind, kann die Signalstatistik aus Zeitmittelwerten über quasi-stationäre Signalabschnitte
bestimmt werden. Ein besonders attraktives Verfahren zur Bestimmung der Filterkoeffizienten
ist durch den LMS-Algorithmus gegeben. Der LMS-Algorithmus nähert sich iterativ
ohne explizite Bestimmung der Korrelationsmatrix Rxx und des Kreuzkorrelationsvektors
p dem Wiener Filter an. Wegen seines geringen Rechenaufwandes und seiner Robustheit
gegenüber Störungen ist er von besonderer Bedeutung für uns.
2.5 LMS- und NLMS-Algorithmen
Die optimalen Koeffizienten zur Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers nach
Gleichung 7 können effizient mit einem iterativen Gradientenalgorithmus bestimmt werden.
Der Least Mean Square Algorithmus (LMS-Algorithmus) approximiert den Gradienten
des mittleren quadratischen Fehlers durch den Gradienten des aktuellen quadratischen
Fehlers e 2 (k) und adaptiert die Filterkoeffizienten in Richtung des negativen geschätzten
IT-V3 - 7