Geometrische Optik

GEOMETRISCHE
Inhalt
HTI Biel - Mikrotechnik
OPTIK
1. Licht
2 Reflexion (Spiegel)
3. Brechung (Prisma, Kugelflächen, Linsen)
4. Optische Instrumente
Literatur
BERGMANN SCHAEFER / Lehrbuch der Experimentalphysik / Gruyter Berlin 1978
NAUMANN SCHROEDER / Bauelemente der Optik / Hanser München 1992
E. HECHT / Optik / Oldenburg München 2001
F. PEDROTTI, L. PEDROTTI / Optik für Ingenieure / Springer Berlin 2002
© C. Meier / L. Müller, Dozenten für Physik BFH / HTI Biel [V 3.0]

HTI Biel - Mikrotechnik Geometrische Optik - 2 / 27
Inhaltsverzeichnis
1. Licht ......................................................................... 4
1.1. Grundbegriffe .............................................................. 4
1.2. Entwicklung der Lichtmodelle ................................................. 4
1.3. Brechindex ................................................................ 5
1.4. Optische Weglänge.......................................................... 6
1.5. Fermatsches Prinzip ......................................................... 6
1.6. Umkehrprinzip des Lichtes ................................................... 6
1.7. Optische Abbildung ......................................................... 6
1.7.1. Lochkamera .......................................................... 6
1.7.2. Reeller Gegenstand - Reelles Bild ......................................... 7
1.7.3. Virtueller Gegenstand - Virtuelles Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Reflexion ...................................................................... 8
2.1. Reflexionsgesetz............................................................ 8
2.2. Der Spiegel................................................................ 8
2.3. Bildkonstruktion............................................................ 8
2.3.1. Ebener Spiegel ........................................................ 8
2.3.2. Sphärischer Spiegel .................................................... 9
2.3.3. Parabolischer Spiegel.................................................. 11
3. Brechung (Refraktion) .......................................................... 12
3.1. Brechungsgesetz........................................................... 12
3.2. Totalreflexion ............................................................. 12
3.3. Planparallele Schichten ..................................................... 13
3.3.1. Brechung an einer planparallelen Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2. Mehrere planparallele Schichten ......................................... 13
3.4. Brechung am Prisma ....................................................... 14
3.4.1. Strahlenverlauf im Prisma .............................................. 14
3.4.2. Minimale Ablenkung � .............................................. 15
min
3.4.3. Frauenhofersche Gleichung ............................................. 15
3.4.4. Dispersion verursacht durch das Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.6. Relative Dispersion ................................................... 16
3.5. Brechung an der Kugelfläche ................................................. 16
3.5.1. Abbildung eines Punktes ............................................... 16
3.5.2. Brennpunkte an der Kugelfläche ......................................... 16
3.5.3. Abbildungsmasstab ................................................... 17
3.5.4. Vorzeichenkonvention................................................. 17
3.5.5. Abbildung eines "grossen" Gegenstandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6. Linsen ................................................................... 18
3.6.1. Linsenformen ........................................................ 18
3.6.2. Dünne Linsen........................................................ 19
3.7. System dünner Linsen ...................................................... 22
3.7.1. Gesamtbrennweite .................................................... 22
3.7.2. Zwischenbild ........................................................ 22
4. Optische Instrumente .......................................................... 23
4.1. Das Auge ................................................................ 23
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4.1.1. Augenstruktur ....................................................... 23
4.1.2. Reduziertes Auge..................................................... 23
4.1.3. Augenfehler ......................................................... 23
4.1.4. Vergrösserungszahl eines Instrumentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Lupe .................................................................... 24
4.3. Mikroskop ............................................................... 25
4.4. Fernrohr ................................................................. 26
4.4.1. Keplersches Fernrohr.................................................. 26
4.4.2. Galieisches Fernrohr .................................................. 26
4.4.3. Terrestrisches Fernrohr ................................................ 26
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1. Licht
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1.1. Grundbegriffe
Das Licht ist eine Welle, die sich im isotropen Medium auf einer Geraden ausbreitet. Diese Gerade wird
als Lichtstrahl bezeichnet. Die geometrischen Optik verwendet nur diese einfachen Lichtstrahlen und
befasst sich nicht mit der Natur des Lichtes.
Eine geschlossene Menge Lichtstrahlen wird als Strahlenbündel bezeichnet.
Dieses kann divergent (alle Strahlen gehen von einem Punkt
aus), parallel (alle Strahlen sind parallel) oder convergent (alle Strahlen
gehen auf einen Punkt zu) sein.
"1": Lichtstrahl
"2": Divergentes Lichtbündel
"3": Paralleles Lichtbündel
"4": Konvergentes Lichtbündel
Das Auge als Empfänger der elektromagnetischen Lichtwellen ist nur empfindlich auf das sichtbare Licht
mit der Wellenlänge von 390 nm bis 780 nm. Die Empfindlichkeit zeigt sich mit den Wellenlängen der
verschiedenen Farben. In der Tabelle sind approximativ die Wellenlängen im Vakuum für die verschiedenen
Farben angegeben.
Farbe Violett Blau Grün Gelb Orange Rot
Wellenlänge [nm] 390 - 455 455 - 492 492 - 577 577 - 597 597 - 622 622 - 780
Die Lichtquellen erscheinen hell, wie zum Beispiel: Die Sonne, die verschiedenen Flammenarten oder der
elektrische Lichtbogen. Die andern hellen Körper, wie der Mond, ein weisses Papier sind nur sichtbar,
weil sie von einer Lichtquelle beleuchtet werden. Die Aufteilung der Körper nach diesen beiden Kriterien
ist nicht absolut möglich, weil derselbe Gegenstand als Lichtquelle oder als beleuchteter Körper auftreten
kann. Zum Beispiel, ein stromdurchflossener Metalleiter kann in der Nacht, nur durch sein schwaches
abgegebene Licht, sichtbar sein, dagegen wird er am Tag durch die Sonnenbestrahlung erhellt. Ein
beleuchteter Gegenstand kann seinerseits auch andere Körper beleuchten, man spricht dann von einer
sekundären Lichtquelle. Die primären oder sekundären Lichtquellen unterscheiden sich durch ihre
Dimension, ihre Lichtstärke und durch ihre Farbe.
1.2. Entwicklung der Lichtmodelle
Die Auffassung über das Wesen des Lichtes änderten sich mehrmals im Laufe der Zeit.
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Newton
1672
Huygens
1678
Malus, Fresnel
1815
Maxwell
1865
Einstein
1905
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Das Licht besteht aus Korpuskeln, kleine “Teilchen” die sich mit grosser Geschwindigkeit
geradlinig fortbewegen � Reflexion, Brechung
Das Licht ist eine Welle. Longitudinalwelle in einem, den ganzen Raum erfüllenden
elastischen Medium � Interferenzen, Beugung
Das Licht ist eine transversale Welle � Polarisation)
Das Licht ist eine elektromagnetische Welle. Die Optik ist ein Teilgebiet der Elektrodynamik.
� Maxwellgleichungen
Teilchentheorie, Die “Lichtteilchen” sind Photonen; Teilchen mit der Masse Null
die sich ausschliesslich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. � Relativitätstheorie,
Dualismus Welle-Teilchen.
QED Quantum Electrodynamics. Vereint den Wellen und den Teilchencharakter des
Lichtes
1.3. Brechindex
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c 0 ist konstant und hat den Wert:
Messung von 1972
Die Lichtgeschwindigkeit in lichtdurchlässiger oder teilweise lichtdurchlässiger Materie (Gas, Flüssigkeit,
Festkörper) haben eine Lichtgeschwindigkeit c, die kleiner als c 0 ist.
Für jeden Körper wird ein Brechindex (Brechzahl) n definiert. Diese Kenngrösse ist von der Wellenlänge
(Dispersion) und der Temperatur abhängig.
n(�): Brechindex (-)
c 0:
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (m/s)
c: Lichtgeschwindigkeit in der Materie (m/s)
In der geometrischen Optik wird vorwiegend mit monochromatischem (einfarbig) Licht gearbeitet. Die
bevorzugten Lichtquellen sind Laser oder Entladungslampen.
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1.4. Optische Weglänge
Gegeben sind die zwei Punkte P und Q im homogenen Medium mit dem
Brechindex n. Die aufgewendete Zeit des Lichtes um von P zu Q zu gelangen
misst:
�___________________________________________________________
1.5. Fermatsches Prinzip
n: Brechindex [-]
L: Geometrische Weglänge zwischen P und Q
Das Licht breitet sich zwischen zwei Punkten (P-Q) auf dem Weg mit
der kleinsten Laufzeit aus. In Wirklichkeit zählt nicht der geometrische
Weg, sondern der optische Weg. Somit gilt: Ein Lichtstrahl folgt demjenigen
Weg, der dem kürzesten optischen Weg entspricht.
1.6. Umkehrprinzip des Lichtes
Der Weg, der das Licht beschreitet um von P zu Q zu gelangen ist derselbe
Weg, den ein Lichtstrahl benutzt um von Q zu B zu gelangen. In
der geometrischen Optik hat das Vorzeichen des Richtungspfeils nur
selten eine Bedeutung.
1.7. Optische Abbildung
1.7.1. Lochkamera
Die Eigenschaften der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes ist bei der
Lochkamera sichtbar. Sie ist mit einer kleinen Öffnung S versehen, wo
die Lichtstrahlen von den verschiedenen Punkten des Gegenstandes (A)
durchtreten und auf der Rückwand E auftreffen (A'). So erhält man ein
grobes Bild von einem Gegenstand der genügend leuchtet oder genügend
beleuchtet wird. Nur einen Teil des Lichtbündels ausgehend von
den verschiedenen Punkten des Gegenstandes tritt durch die Öffnung S und formt eine sichtbare Spur
(Bild) auf der Rückwand E. Wie aus der Strahlengeometrie ersichtlich ist, sind die Bildpunkte grösser als
S und überdecken sich gegenseitig. Je kleiner S gewählt wird, desto kleiner werden die Bildpunkte. Die
Öffnung S kann aber nicht beliebig verkleinert werden, weil gleichzeitig die Lichtstärke auf der Rückwand
abnimmt und das Problem der Diffraktion auftritt. Für gute und lichtstarke Abbildungen sind aber
Linsen oder ganze "optische Systeme" erforderlich.
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1.7.2. Reeller Gegenstand - Reelles Bild
Das reelle Bild A' vom reellen Gegenstand A entsteht
aus einem divergenten Lichtbündel, das vom
Punkt A ausgeht und nach dem Durchqueren eines
optischen Systems � O (Spiegel, Linsen, etc.) wieder
zu einem Punkt A' konvergiert. Gegenstand und
Bild liegen ausserhalb von � .
1.7.3. Virtueller Gegenstand - Virtuelles Bild
Das virtuelle Bild A' vom virtuellen Punkt A entsteht
aus einem konvergenten Lichtbündel, das gegen A
konvergiert und nach dem Durchqueren eines
optischen Systems � (Spiegel, Linsen, etc.) diver-
O
giert. Dieses austretende Lichtbündel scheint seinen
Ursprung in einem Bildpunkt A' zu haben, der als virtuelles
Bild bezeichnet wird. Bild und Gegenstand
liegen innerhalb von � .
O
O
Weiter kann aus einem reellen Gegenstand ein virtuelles Bild entstehen oder aus einem virtuellen
Gegenstand ein reelles Bild entstehen. Ein reelles Bild kann auf einem Bildschirm oder Film dargestellt
werden. Dagegen ist das virtuelle Bild nur eine scheinbare Lichtquelle.
Ist der Weg zweier nicht paralleler Lichtstrahlen bekannt, die von derselben Punktquelle ausgehen, so
kann auch das Bild der Quelle bestimmt werden. Flächenförmige Quellen werden so abgebildet, indem
man ihre Extrempunkte abbildet und sie dann gegenseitig verbindet und so zum Bild formt.
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2. Reflexion
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2.1. Reflexionsgesetz
2.2. Der Spiegel
Fällt ein Lichtstrahl unter dem Winkel � i auf eine reflektierende Fläche R,
so wird er mit dem Winkel � von der Fläche zurückgeworfen.
R: Reflektierende Oberfläche
n: Senkrechte auf das reflektierende Flächenelement
r i:
Einfallender Lichtstrahl
r : Reflektierter Lichtstrahl
r
� i:
Einfallswinkel [-]
� : Reflexionswinkel [-]
r
Das Licht wird an glatten Oberflächen reflektiert. Ein guter Reflektor besteht meistens aus einer
Metallschicht auf einem Glasträger (Spiegel). In der Praxis wird Aluminium oder Silber auf einen
Glasträger aufgedampft. Je nach der Dicke der Metallschicht wird nur ein Teil des einfallenden Lichtes
reflektiert. Der andere Teil geht durch die Metallschicht und den Glasträger. Man spricht hier von einem
halbdurchlässigen Spiegel. Auch die lichtdurchlässigen Körper reflektieren einen Teil des einfallenden
Lichtes.
Infolge der einfacheren Herstellung werden
meistens ebene und sphärische Spiegel verwendet.
In seltenen Fällen werden auch zylindrische
und parabolische Formen benutzt.
2.3. Bildkonstruktion
2.3.1. Ebener Spiegel
� Bild eines punktförmigen Gegenstandes
Alle Strahlen, die von A ausgehen (1, 2) und auf der Spiegelebene auftreffen,
werden reflektiert. Für den Beobachter kommen die reflektierten Strahlen
(1', 2') scheinbar vom Punkt A' (virtuelles Bild) der symmetrisch zu A
(Gegenstand) bezüglich der Spiegelfläche liegt.
a: Abstand Gegenstandspunkt [m]
b: Abstand Bildpunkt [m]
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r

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� Bild eines ausgedehnten Gegenstandes
Der ebene Spiegel ergibt für einen ausgedehnten Gegenstand AB ein virtuelles
Bild A'B', das symmetrisch zu AB liegt bezüglich der Spiegelfläche.
Dieses Bild ist genau stigmatisch, weil jeder Punkt des Gegenstandes einem
Punkt des Bildes entspricht.
2.3.2. Sphärischer Spiegel
Der sphärische Spiegel ist charakterisiert durch den Radius r und den Öffnungswinkel
�. Weiter wird bezeichnet:
- Kugelzentrum als das Spiegelzentrum (Z)
- Symmetrieachse des Spiegels als die Hauptspiegelachse (H)
- Schnittpunkt zwischen Hauptachse und Spiegel als Spiegelscheitel (S)
Beim konkaven sphärischen Spiegel liegt die reflektierende Schicht auf der
Innenseite der Kugel und beim konvexen sphärischen Spiegel liegt sie auf der
Aussenseite der Kugel.
Für die weiteren Betrachtungen in diesem Abschnitt wollen wir nur den meist
verwendeten Konkavspiegel berücksichtigen. Die Gesetze der Konvexspiegel
folgen denselben Prinzipien.
� Bild eines punktförmigen Gegenstandes
Alle Lichtstrahlen, die auf dem sphärischen Spiegel auftreffen, werden
reflektiert. Sie werden in der Einfallseben mit dem Einfallswinkel bezüglich
der Spiegelnormalen reflektiert. Für den sphärischen Spiegel ist
die Richtung der Normalen für jeden Spiegelpunkt gleich dem Kugelradius.
Mit dieser Eigenschaft kann im sphärischen Spiegel der Bildpunkt
A' vom Gegenstand A konstruiert werden. Die allgemeine Bildkonstruktion
eines punktförmigen Gegenstandes erfordert somit mehrere
Winkelmessungen, was unangenehm ist. Einfacher wird das Bild mit den
folgenden drei ausgezeichneten Strahlen konstruiert.
Der Zentralstrahl verläuft durch das Spiegelzentrum und trifft senkrecht
auf den Spiegel. Er wird senkrecht reflektiert und verlässt den Spiegel in
der Richtung des Spiegelzentrums Z.
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Der Hauptstrahl verläuft parallel zur Hauptachse und trifft im Punkt I
auf den Spiegel. Nach der Reflexion schneidet er die Hauptachse im
Punkt F. I hat von der Hauptachse den Abstand h.
�_____________________________________________________
__________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
Der Punkt F bildet den Spiegelbrennpunkt und die Distanz FZ wird als Brennweite f bezeichnet. Auf den
Brennpunkt treffen alle reflektierten Strahlen, die parallel zur Hauptachse auf den sphärischen Spiegel mit
einem genügend kleinen Einfallswinkel auftreffen.
f: Brennweite [m]
r: Spiegelradius [m]
Der Brennstrahl verläuft durch den Brennpunkt F. Nach dem Umkehrprinzip
ist leicht ersichtlich, dass der einfallende Lichtstrahl parallel zur
Hauptachse reflektiert wird.
Mit Hilfe von nur zwei ausgezeichneten Lichtstrahlen kann das Bild A'
von der Punktquelle A konstruiert werden.
� Bild eines ausgedehnten Gegenstandes
Das Bild eines ausgedehnten Gegenstandes besteht aus den Bildpunkten
der einzelnen Gegenstandspunkte. Für die Bestimmung der
Grösse und Lage des Bildes dienen die Extrempunkte (A',B') des
Bildes aus der Abbildung der Extrempunkte (A, B) des Gegenstandes.
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� Spiegelgleichung
�______________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
�: Abbildungsmasstab oder Lateralvergrösserung [-]
AB: Gegenstandsgrösse [m]
A'B': Bildgrösse [m]
a: Gegenstandsweite [m]
b: Bildweite [m]
f: Brennweite [m]
� < 0 (> 0): Bild hat ungleiche (gleiche) Richtung wie Gegenstand
Alle Gleichungen sind auch für konvexe Spiegel und virtuelle
Bilder gültig, wobei folgenden Bedingungen für die
Vorzeichen gelten:
f > 0 (< 0): Konkaver (konvexer) Spiegel
a > 0 (< 0): Reeller (virtueller) Gegenstand
b > 0 (< 0): Reelles (virtuelles) Bild
Der konvexe Spiegel ergibt nur virtuelle Bilder mit einer
Vergrösserung 0 < � < 1.
Die sphärischen Spiegel werden in vielen optischen Apparaten
verwendet. Vor allem der Konkavspiegel erlaubt eine
reelle Abbildung mit kleineren Lichtverlusten als mit einer Linse.
2.3.3. Parabolischer Spiegel
Dieser Spiegel hat ein Rotationsparaboloid als Form der reflektierenden
Schicht. Alle einfallenden Lichtstrahlen parallel zur Spiegelhauptachse
werden auf einen Punkt reflektiert, den Brennpunkt F des Rotationsparaboloids.
Anderseits erhält man ein paralleles Lichtbündel von einer
Quelle, die sich im Brennpunkt befindet. Diese Eigenschaft ist durch die
Parabelgleichung gegeben und ist weder abhängig vom Einfallswinkel
des Lichtstrahls noch vom Öffnungswinkel des Spiegels. Diese Reflektoren
werden in Teleskopen und Scheinwerfer verwendet.
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3. Brechung (Refraktion)
3.1. Brechungsgesetz
Durchquert ein Lichtstrahl eine Grenzschicht zwischen zwei lichtdurchlässigen Körper mit unterschiedlichen
optischen Eigenschaften, so entsteht auf der Trennfläche:
- Eine Brechung eines Anteils des einfallenden Lichtstrahls
- Eine Reflexion vom restlichen Anteil des einfallenden Lichtstrahls
Unter Brechung des Lichtes versteht man die Richtungsänderung des Lichtes,
wenn ein Lichtstrahl die Grenzfläche zwischen zwei Körper mit verschiedenen
Lichtgeschwindigkeiten durchquert. Der gebrochene Strahl liegt stets in einer
Ebene mit dem einfallenden und dem reflektierten Strahl.
R: Grenzschicht zwischen Körper 1 und 2
r i:
Einfallender Lichtstrahl
r b:
Gebrochener Lichtstrahl
r r:
Reflektierter Lichtstrahl
n: Senkrechte auf das Flächenelement der Grenzschicht
�: Einfallswinkel [-]
�: Brechungswinkel [-]
n 1:
Brechindex im Körper 1 [-]
n : Brechindex im Körper 2 [-]
2
Die Lichtgeschwindigkeit in der Materie ist stets kleiner als im Vakuum und somit ist n immer grösser als
1. Mit guter Näherung kann n LUFT = 1 gesetzt werden. Ist n 1 > n 2 so so sagt man, Medium 1 sei dichter als
das Medium 2.
Das Brechungsgesetz wurde zuerst experimentell von SNELL gezeigt und dann theoretisch durch DES-
CARTE interpretiert.
3.2. Totalreflexion
Ein Lichtstrahl dringt von einem Körper mit dem Brechindex n 1 in einen
Körper mit dem Brechindex n 2ein, wobei n 1grösser als n 2ist.
Wird nun der
Einfallswinkel � erhöht, so wird ein kritischer Winkel � K erreicht, bei dem
der Brechungswinkel � den Wert �/2 annimmt.
� K:
Kritischer Winkel [-]
K
Wird der Einfallswinkel grösser als der kritische Winkel � , so verschwindet die Lichtbrechung und der
einfallende Lichtstrahl wird nur noch totalreflektiert.
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Anwendung der Totalreflexion in der Glasfaser:
Das Licht wird an der Grenzschicht zwischen Kern (n 1)
und Mantel
(n 2) totalreflektiert. Der Brechindex n 2 ist etwa 2% geringer als der
Brechindex n .
1
3.3. Planparallele Schichten
3.3.1. Brechung an einer planparallelen Schicht
Ein Lichtstrahl durchdringt eine Schicht mit planparallelen Flächen, wobei
die angrenzenden Brechindexe identisch sind. Der Strahl weicht von seiner
ursprünglichen Richtung nicht ab, aber er wird um die Distanz � parallel
verschoben.
�________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
�: Strahlverschiebung [m]
d: Schichtdicke [m]
�: Einfallswinkel [-]
�: Brechungswinkel [-]
3.3.2. Mehrere planparallele Schichten
Ein Lichtstrahl, der mehrere planparallele Schichten durchquert, wird in der
i-ten Schicht um den Winkel � abgelenkt.
i
�________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
� i:
Einfallswinkel in der Schicht i [-]
� i:
Brechungswinkel in der Schicht i [-]
n : Brechindex in der Schicht i [-]
i
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3.4. Brechung am Prisma
Ein Prisma ist ein transparenter Körper, der mit zwei nicht parallelen Flächen
F und G abgegrenzt ist. Die beiden Flächen schneiden sich in der brechenden
Kante AB und bilden zusammen den brechenden Winkel �. Jede Ebene
senkrecht zur brechenden Kante CDE bildet eine Hauptschnittebene. In der
Folge wird die Betrachtung auf die folgenden Bedingungen begrenzt:
- Die Lichtstrahlen liegen in der Hauptschnittebene
- Das Prisma ist optisch dichter als seine Umgebung (n P > n)
- Das Licht ist monochromatisch
3.4.1. Strahlenverlauf im Prisma
Betrachten wir einen monochromatischen Lichtstrahl in einer Hauptschnittebene des Prismas. Der Strahl
durchquert das Prisma und erfährt eine Brechung beim Eintreten (A) und eine solche beim Austreten (B).
Die Ablenkung des Lichtstrahls durch das Prisma entspricht dem Ablenkwinkel �.
�______________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
�: Ablenkwinkel [-]
� 1:
Einfallswinkel [-]
� 2:
Ausfallswinkel [-]
�: Brechender Prismawinkel [-]
Der Ersatz von � 2 durch eine Funktion f(� 1) führt zu �(� 1):
�_________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
P
n : Brechindex Prisma [-]
n: Brechindex Umgebung [-]
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3.4.2. Minimale Ablenkung �min
Wird der Einfallswinkel � 1 zunehmend erhöht, so verringert
sich der Ablenkwinkel � und vergrössert sich
nach dem Durchgang eins Minimalwertes � min wieder.
Mit Hilfe der Differentialrechnung kann gezeigt werden,
dass der Ablenkwinkel � minimal wird, wenn der
Einfallswinkel � 1 und der Ausfallswinkel � 2 gleich
gross sind.
�: Ablenkwinkel [-]
� 1:
Einfallswinkel [-]
� : Ausfallswinkel [-]
3.4.3. Frauenhofersche Gleichung
2
Aus der Messung des minimalen Ablenkwinkels � min eines gegebenen Prismas kann der Brechindex nP
des Prismenmaterials bestimmt werden:
�_________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
3.4.4. Dispersion verursacht durch das Prisma
n P:
Brechindex vom Prisma [-]
n: Brechindex der Prismenumgebung [-]
� min:
Minimale Ablenkung [-]
�: Brechender Winkel [-]
Ein Prisma aus transparentem Material lenkt das Licht um den Winkel
� ab, der von der Wellenlänge, d.h. von der Farbe des Lichtes
abhängig ist. Die verschiedenen Farben eines parallel einfallenden
Lichtbündels (L) werden um verschiedene Winkel abgelenkt und
ergeben somit eine Farbzerstreuung oder Dispersion. Das Dispersionsverhalten
n(�) für gut durchlässige Körper kann angenähert nach
Cauchy mit der folgenden Beziehung beschrieben werden:
n: Brechindex [-]
�: Wellenlänge [m]
n D:
Brechindex bei � = 587.6 nm [-]
a: Materialabhängige Konstante [m ] 2
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3.4.6. Relative Dispersion
Prismenmaterialien mit verschiedenen Brechindexen n ergeben unterschiedliche Längen des Spektrums.
Verglichen werden die verschiedenen Dispersionsvermögen mit der relativen Dispersion � rel oder der
Abbeschen Zahl �
� rel:
Relative Dispersion [-]
n D:
Brechindex für � = 587,6 nm (gelb)
n F:
Brechindex für � = 486,1 nm (blau)
n C:
Brechindex für � = 656.3 nm (rot)
�: Abbesche Zahl [-]
3.5. Brechung an der Kugelfläche
3.5.1. Abbildung eines Punktes
Zwei Medien mit den Brechindexen n 1 und n 2 sind mit einer
kugelförmigen Oberfläche mit dem Radius r und dem Kugelscheitel
S voneinander getrennt. Der Punkt A' ist das Bild des Gegenstandes
A, der auf der Hauptachse H liegt. Unter der Beachtung
der ähnlichen Dreiecke APZ und A'QZ gilt:
Mit der Lichtbrechung auf der Trennfläche gilt: �__________________________________________
Für Strahlen mit einem kleinen Einfallswinkel � d.h. paraxiale Strahlen (cos � � 1; s 1 � a; cos � � 1;
s � b) gilt:
2
�__________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
3.5.2. Brennpunkte an der Kugelfläche
n i:
Brechindex im Medium i [-]
a: Gegenstandsabstand [m] [1]
b: Bildabstand [m]
r: Radius der Kugelfläche [m]
Der objektseitige Brennpunkt F 1 ist der Standort des Gegenstandes, wenn
das Bild im Unendlichen b = � liegt, wird a = f . Mit Gleichung [1] gilt:
�_______________________________________________________
1
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Der bildseitige Brennpunkt F 2 ist der Standort des Bildes, wenn der Gegenstand im Unendliche a = �
liegt, wird b = f . Mit Gleichung [1] gilt:
2
�___________________________________________________________________
Die Gleichung [1] multipliziert mit r/(n 2 - n 1)
ergibt:
�___________________________________________________________________
3.5.3. Abbildungsmasstab
f 1:
Objektseitiger Brennpunkt [m]
f : Bildseitiger Brennpunkt [m]
Das Bild A'B' eines Gegenstandes AB geformt aus paraxialen
Strahlen erreicht die folgende Vergrösserung:
�__________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
3.5.4. Vorzeichenkonvention
2
�: Abbildungsmasstab [-]
AB: Grösse des Gegenstandes [m]
A'B': Grösse des Bildes [m]
n : Brechindex im Medium i [-]
i
a: Gegenstandsabstand [m]
b: Bildabstand [m]
Damit die hergeleiteten Gleichungen allgemein für paraxiale Strahlen gültig sind, gelten die folgenden
Konventionen:
- Die Lichtstrahlen gehen von links nach rechts
- a > 0 (< 0): Gegenstand liegt links (rechts) vom Scheitel S
- b > 0 (< 0): Bild liegt rechts (links) vom Scheitel S
- r > 0 (< 0): Kugelzentrum Z liegt rechts (links) vom Scheitel S
- f 1 > 0 (< 0): Brennpunkt objektseitig F 1 liegt links (rechts) vom Scheitel S
- f > 0 (< 0): Brennpunkt bildseitig F liegt rechts (links) vom Scheitel S
2 2
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3.5.5. Abbildung eines "grossen" Gegenstandes
Die Bildpunkte eines grossen Gegenstandes werden mit paraxialen
Strahlen zur Hauptachse H und je nach Bedarf (wenn cos � � 1) zu
verschiedenen Nebenachsen N konstruiert.
3.6. Linsen
Unter einer Linse versteht man einen durchsichtigen Körper, der durch zwei Kugelflächen begrenzt ist.
Im Extremfall kann die eine Begrenzungsfläche auch eine Ebene sein. Die Lichtstrahlen mit kleinen
Divergenz- oder Konvergenzwinkeln durchqueren die Linse und werden dabei zweimal gebrochen.
Allgemeine Form des Linsenkörpers:
3.6.1. Linsenformen
Z 1, Z 2:
Kugelzentren
r 1, r 2:
Kugelradien
S 1, S 2:
Kugelscheitel
H: Hauptachse
M: Optisches Zentrum
L: Lichtstrahl
n: Brechindex der Linse
Je nach der Position der Kugelzentren und der relativen Grösse von r 1 und r 2 unterscheidet man:
� Sammellinse (Konvexlinse): Diese Linsen sind in der Mitte dicker als an den Randzonen
� Zerstreuungslinse (Konkavlinse): Diese Linsen sind in der Mitte dünner als an den Randzonen
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Linsen mit dem Abstand S1S 2viel kleiner als die Kugelradien r iwerden
als dünne Linsen bezeichnet. Bei
optischen Betrachtungen mit dünnen Linsen werden die Punkte S 1, S 2 und M zu einem Punkt
zusammengefasst. Die Linsendicke wird dabei vernachlässigt.
3.6.2. Dünne Linsen
3.6.2.1. Linsengleichung
Die Linsengleichung kann aus der Doppelbrechung an Kugelflächen
(I,II) hergeleitet werden. Dabei werden nur achsparallele Strahlen
berücksichtigt und die Linsendicke vernachlässigt. Die
Abbildungsgleichung erfolgt aus der Brechung an den Kugelflächen
I und II unter Berücksichtigung der Vorzeichen:
(I):___________________________________________________1)
(II):__________________________________________________2)
1+2):_______________________________________________________________
a: Gegenstandsabstand [m]
b: Bildabstand [m]
n i:
Brechindex der Körper ausserhalb der Linse [-]
n L:
Brechindex des Linsenkörpers [-]
r , r : Kugelradien [m]
1 2
Beschränken wir uns auf den einfacheren Fall, wo die Linse beidseitig
mit nur einem Körper umgeben ist (Brechindex: n), so gilt für die
Abbildungsgleichung bei einer dünnen Linse:
_____________________________________________________
3.6.2.2. Brennpunkt und Brennweite
n: Brechi. ausserhalb der Linse
[-]
An jeder Linse können zwei Brennpunkte (F 1, F 2)
definiert werden.
Der bildseitige Brennpunkt F 1 liegt auf der Höhe des Gegenstandes,
wenn das Bild im Unendlichen (b = �) liegt. Der objektseitige
Brennpunkt F 2 liegt auf der Höhe des Bildes, wenn der Gegenstand
im Unendlichen (a = �) liegt. Der Abstand vom optischen Zentrum
zum Brennpunkt wird als Brennweite f bezeichnet.
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b = �; a � f 1:________________________________________________________
a = �; b � f 2:________________________________________________________
f 1 = f 2 = f. Der Vergleich mit der Abbildungsgleichung ergibt:
f: Brennweite [m]
n L:
Brechindex des Linsenkörpers [-]
n: Brechindex ausserhalb der Linse (Luft n = 1) [-]
r i:
Kugelradien [m]
a: Gegenstandsabstand [m]
b: Bildabstand [m]
Für Linsen in der Luft (n = 1) wird 1/f als Brechkraft D bezeichnet und mit der Masseinheit Dioptrie
[dpt] angegeben. [D] = dpt = m -1
3.6.2.3. Zerstreuungslinse
Die bisher behandelte Sammellinse hat die Fähigkeit
parallel einfallende Strahlen zu bündeln.
Die Brennweite f ist positiv. Eine Zerstreuungslinse
hingegen zerstreut ein paralleles Strahlenbündel.
Für diese Linse wird die Brennweite negativ.
3.6.2.4. Bildkonstruktion
Ein Bild entsteht mit Hilfe der drei folgenden ausgezeichneten Strahlen (zwei genügen für eine Konstruktion):
"1" Der Zentralstrahl, der durch das Linsenzentrum M verläuft, wird nicht abgelenkt.
"2" Der Hauptstrahl, der parallel zur Hauptachse liegt, wird von der Linse so abgelenkt, dass er durch
den Brennpunkt F 2 verläuft.
"3" Der Brennstrahl, der durch den Brennpunkt F 1 verläuft, wird von der Linse so abgelenkt, dass er
parallel zur Hauptachse zu liegen kommt.
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Das Bild des Gegenstandes AB ist gegeben durch die Abbildung sämtlicher Punkte
des Gegenstandes. Im allgemeinen genügt aber die Abbildung des Punktes A (Punkt
mit dem grössten Abstand von der optischen Achse) und dem Achspunkt B (Punkt
liegt unterhalb von A).
3.6.2.5. Abbildungsmasstab - Gesetz von Newton
Der Abbildungsmasstab ist das Verhältnis der Bildgrösse zur Gegenstandsgrösse.
Aus den ähnlichen Dreiecken der ausgezeichneten
Strahlen ergibt sich:
�______________________________________________________
_______________________________________________________
3.6.2.6. Vorzeichenkonvention
�: Abbildungsmasstab [-]
AB: Gegenstandsgrösse [m]
A'B': Bildgrösse [m]
a: Gegenstandsweite [m]
b: Bildweite [m]
f: Brennweite [m]
Mit der folgenden Konvention sind die Linsengleichungen allgemein anwendbar:
S Die Strahlen gehen von links nach rechts
S Gegenstand (reell) links von der Linse: a > 0
Gegenstand (virtuell) rechts von der Linse: a < 0
S Bild (reell) rechts von der Linse: b > 0
Bild (virtuell) links von der Linse: b < 0
S Krümmungszentrum rechts von der Fläche: r > 0
Krümmungszentrum links von der Fläche: r < 0
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S Sammellinse: f > 0
Zerstreuungslinse: f < 0
S Punkte oberhalb der Achse: AB, A'B' > 0
Punkte unterhalb der Achse: AB, A'B' < 0
3.7. System dünner Linsen
3.7.1. Gesamtbrennweite
Viele optische Systeme bestehen aus mehreren Linsen mit
gemeinsamer optischer Achse. Die Gesamtbrennweite f eines
Systems von zwei Linsen (L 1, L 2) mit den Brennweiten (f 1, f 2)
ist gegeben mit:
f: Gesamtbrennweite [m]
f i:
Brennweite der Linse i [m]
d: Abstand der Linsen [m]
Zwei dünne Linsen mit den Brennweiten f 1und f 2 können durch eine resultierende Brennweite f bezogen
auf die beiden Hauptschnittebenen ersetzt werden. Auf die Herleitung der Gesamtbrennweite wird hier
verzichtet.
3.7.2. Zwischenbild
Eine einfache Möglichkeit die Lage der Bild- und Objektebene und den Abbildungsmasstab zu berechnen
ergibt die folgende Überlegung:
a) Die Linse L 1 erzeugt vom Objekt AB das Zwischenbild
A'B' an der Position b .
b) Die Linse L 2 erzeugt vom Zwischenbild A'B' das
Bild A'

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4. Optische Instrumente
4.1. Das Auge
4.1.1. Augenstruktur
Das Licht, das in das Auge eindringt, durchquert vier verschiedene
Schichten mit vier verschiedenen Brechindexen. Das sind:
- Die Hornhaut (H) ist eine vorgewölbte durchsichtige Schicht
und hat im allgemeinen eine sphärischer Form R H = 0.78 cm.
- Die vordere Augenkammer (K) ist mit einer wässrigen Flüssigkeit
gefüllt, deren Brechindex angenähert beim Brechindex von
Wasser liegt n K = 1.337.
- Die Linse (L) ist bikonvex, elastisch und von den Zilarmuskeln
(Z) umgeben n L = 1.358.
- Der Glaskörper (G) besteht aus einer durchsichtigen galert-
artigen Masse und belegt den grössten Teil des Auges. n = n
G K
- Die Iris (I) ist eine farbige Membran mit eine kreisförmigen Öffnung in der Mitte. Sie gibt dem Auge
die Farbe.
- Die Pupille (P) ist die kreisförmige Öffnungen in der Iris. Sie regelt die ins Auge eintretende
Lichtmenge. Der Pupillendurchmesser verändert sich zwischen 2 und 8 mm.
- Die Netzhaut (R) ist eine lichtempfindliche dünne Schicht hinter dem Glaskörper. Sie wird aus den
optischen Nerven gebildet, die das geformte Bild auf der Netzhaut in das Nervenzentrum im Gehirn
übertragen. Der kleine Bereich von ca 2 mm Durchmesser, der gelbe Fleck (T), ist die empfindlichste
Stelle der Netzhaut.
- Der Blinde Fleck (B) von ca 1 mm Durchmesser, ist die Eintrittsstelle der Sehnerven (N) in die
Netzhaut. Die betreffende Stelle ist für das Licht unempfindlich.
4.1.2. Reduziertes Auge
Das Auge besteht aus mehreren sphärischen Schichten. Die gesamte
Wirkung entspricht ungefähr einer konvexen Linse und wird als "Reduziertes
Auge" bezeichnet. Diese Linse liegt etwas 7 mm hinter der Hornhaut.
4.1.3. Augenfehler
Im normalen Auge wird ein Gegenstand im Unendlichen auf der Netzhaut abgebildet. Verschiebt sich nun
der Gegenstand, so verformen sich die Linsenradien soweit, bis das Bild wieder auf der Netzhaut
erscheint. Diese Linsendeformation wird maximal, wenn der Gegenstand im Nahpunkt liegt. Sie wird als
Akkommodationsvermögen bezeichnet. Für ein normales Auge liegt die Akkommodationszone zwischen
� (Auge in Ruhelage) und ca 25 cm.
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Normalsichtig: Das Auge erfährt für den
Normalgebrauch keine Korrektur.
Kurzsichtig: Das kurzsichtige Auge ist kon
vergent. Ohne Akkommodation wird ein
Objekt in unendlichen vor der Netzhaut abgebildet.
Um diesen Fehler zu korrigieren
wird das Auge mit einer Zerstreuungslinse
korrigiert.
Weitsichtig: Das weitsichtige Auge ist nicht
genug konvergent. Ohne Akkommodation
hat ein Punkt in Unendlichen sein Bild hinter
der Netzhaut. Dieser Sehfehler wird mit
einer Sammellinse behoben.
4.1.4. Vergrösserungszahl eines Instrumentes
Die Grösse eines Objektes ist proportional zum
Tangens des Sehwinkels �. Die Vergrösserungszahl
(oder Angularvergrösserung) � ist das Verhältnis
vom Tangens des Sehwinkels � mit Instrument
zum Tangens des Sehwinkels � ohne
Instrument. Das Objekt bleibt in der gleichen Entfernung
L (Nahpunkt) zum Auge.
4.2. Lupe
�: Vergrösserungszahl [-]
�: Sehwinkel mit Instrument [-]
�: Sehwinkel ohne Instrument [-]
Lupen dienen dazu, kleine Gegenstände dem Auge vergrössert
darzubieten. Ohne Lupe betrachtet ein normalsichtiges
Auge ein kleines Objekt AB an der Akkommodationsgrenze.
Das entspricht der Bezugsweite L = 25 cm. Mit der Lupe
kann ein völlig entspanntes Auge das Bild im Unendlichen
wahrnehmen. In dieser Situation liegt der Gegenstand im
Brennpunkt. Somit gilt für die Vergrösserungszahl �:
�____________________________________________________
L: Bezugsweite [m]
f: Brennweite [m]
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4.3. Mikroskop
Das Mikroskop dient dazu, sehr kleine Gegenstände in geringem Abstand zu betrachten. Im Prinzip
besteht das Mikroskop aus zwei Hauptkomponenten:
- Objektiv (L 1),
wird so bezeichnet, weil es auf der Seite des Gegenstandes liegt. Es besteht aus einem
Linsensystem, wobei darin nicht nur dünne Linsen auftreten. Für die folgende einfache Betrachtung
benutzen wir ein einfaches Objektiv bestehend aus einer dünnen Konvexlinse. L 1 hat nur eine
Brennweite von einigen mm. Das Objektiv erzeugt vom Gegenstand ein vergrössertes, reelles Bild.
Die in das Mikroskop eintretenden Strahlen haben grosse Winkel zur Hauptachse (bis 70�). Die dabei
entstehenden Abbildungsfehler werden weitgehend mit Linsenkombinationen korrigiert.
- Okular (L 2),
liegt, wie der Name sagt, auf der Seite des Auges. Es wird wie eine gute Lupe verwendet
und besteht im allgemeinen aus zwei Linsen. Für die Betrachtung benutzen wir ein einfaches Okular
mit einer dünnen Konvexlinse. Das von L 1 erzeugte Zwischenbild liegt im Brennpunkt von L 2.
Objektiv und Okular zusammen erzeugen ein Endbild im Unendlichen. Die Brennweite von L 2 liegt
etwa bei 2 cm.
AB: Gegenstand
A'B': Reelles Zwischenbild
A'

4.4. Fernrohr
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4.4.1. Keplersches Fernrohr
Im Keplerschen Fernrohr wird mit einer Lupe das Bild von der ersten Linse betrachtet. Das Instrument
besteht aus den beiden Hauptkomponenten:
- Objektiv (L 1),
besteht im allgemeinen aus zwei aneinander gefügte Linsen. Vereinfacht wird es als
eine dünne Konvexlinse mit der Brennweite von 1 bis 2 m und einem grossen Durchmesser bis zu 1
m betrachtet.
- Okular (L 2),
hat die Aufgabe einer Lupe. Es ist vergleichbar mit einer dünnen konvexen Linse mit
einigen cm Brennweite.
A�B �:
Gegenstand im Unendlichen
A'B': Reelles Zwischenbild
A'

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Zusätzliche Linse im Fernrohr:
Die Linse L 2 dient für die Drehung
des Bildes.
Perroscher Prismensatz:
Das Bild A'B' wird mit zwei Prismen
wieder zurückgerichtet. Die brechenden
Winkel der Prismen betragen 90�.
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